Vi deriverer ledd for ledd med potensregelen $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{x}^n=n{x}^{n-1}$.

For $g$ bruker vi kjerneregelen med indre funksjon $u=3x$, der $u^{\prime }=3$.

Vi bruker logaritmereglene $n\ln a=\ln (a^n)$, $\ln a+\ln b=\ln (ab)$ og $\ln a-\ln b=\ln \left(\frac{a}{b}\right)$.

Vi slår sammen leddene ett om gangen:

1) Nullpunkter

Dette gir $x=0$ eller $x^2=3$, altså

2) Topp- og bunnpunkt

Vi deriverer og finner nullpunktene til $f^{\prime }$:

Fortegnsskjema for $f^{\prime }$: $f^{\prime }(x)>0$ for $x<-1$, $f^{\prime }(x)<0$ for $-1<x<1$ og $f^{\prime }(x)>0$ for $x>1$.

Siden $f^{\prime }$ går fra positiv til negativ i $x=-1$, er dette et toppunkt:

Siden $f^{\prime }$ går fra negativ til positiv i $x=1$, er dette et bunnpunkt:

3) Skisse

Grafen til $f$ er en kubikkfunksjon som kommer fra $-\infty$, stiger til toppunktet $(-\mathrm{1,2})$, synker til bunnpunktet $(1,-2)$, og stiger deretter mot $\infty$. Den krysser $x$-aksen i $x=-\sqrt{3}\approx -\mathrm{1,7}$, $x=0$ og $x=\sqrt{3}\approx \mathrm{1,7}$.

Vi prøver $x=1$, som er en faktor i konstantleddet $3$:

Dermed er $x=1$ en løsning, og $(x-1)$ er en faktor i $P(x)$. Vi utfører polynomdivisjon:

Vi faktoriserer andregradsuttrykket:

Dermed er $P(x)=(x-1)(x-3)(x+1)$, og løsningene av $P(x)=0$ er

Fartsvektoren finner vi ved å derivere posisjonsvektoren komponentvis:

Akselerasjonsvektoren finner vi ved å derivere fartsvektoren komponentvis: