Vi deriverer $f(x)=5e^{3x}$ med kjerneregelen. Den ytre funksjonen er $5e^u$ og den indre er $u=3x$, med $u^{\prime }=3$.

Vi deriverer $g(x)=x^3\cdot \ln (2x)$ med produktregelen, ${\left(uv\right)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$, med $u=x^3$ og $v=\ln (2x)$.

Vi setter $x_1=1$ inn i likningen for å vise at det er en løsning.

Siden $x=1$ er en løsning, kan vi dele polynomet på $(x-1)$.

Vi faktoriserer andregradsuttrykket:

De to andre løsningene er dermed $x=5$ og $x=-1$. Alle løsningene er

Vi bruker logaritmereglene $\lg \left({\displaystyle \frac{1}{c}}\right)=-\lg (c)$ og $\lg (p)+\lg (q)=\lg (pq)$.

Vi leser av grafen.

1. For $x\le -2$ er grafen vannrett med $y=-2$. Fra $(-2,-2)$ stiger grafen rett fram til $(0,2)$, og er så vannrett med $y=2$ for $0\le x\le 1$, med et fylt (lukket) endepunkt i $(1,2)$ — altså $f(1)=2$. Grenseverdien fra venstre i $x=1$ er dermed $2$. Fra $x=1$ starter en ny del av grafen i et åpent (ikke-utfylt) punkt i $(1,3)$, vannrett med $y=3$ fram til $(2,3)$. Grenseverdien fra høyre i $x=1$ er dermed $3$. Siden venstre- og høyregrensa er ulike ($2\ne 3$), har grafen et hopp i $x=1$. Funksjonen er derfor $\underline{\underline{\text{ikke kontinuerlig i }x=1}}$.

2. I $x=-2$ er det et knekkpunkt — stigningstallet endrer seg brått fra $0$ (den flate linja til venstre) til $2$ (den stigende linja), så funksjonen er ikke deriverbar der. I $x=0$ er det også et knekkpunkt, der stigningstallet endrer seg fra $2$ til $0$ (den vannrette linja $y=2$). I $x=1$ er funksjonen ikke deriverbar fordi den ikke er kontinuerlig der. I $x=2$ er det et knekkpunkt der stigningstallet endrer seg fra $0$ (den vannrette linja $y=3$) til om lag $-\frac{4}{3}$ (den fallende linja ned mot $(5,-1)$).

Vi faktoriserer telleren for å fjerne faktoren som gir $0/0$.

1. Fra figuren ligger $O$ i origo og $A$ på førsteaksen, mens $B$ og $C$ ligger på toppen av kvadratet med $C$ på andreaksen. Siden kvadratet har side $a$:

2. Diagonalene er $OB$ og $AC$. Vi finner vektorene og regner ut prikkproduktet.

Siden prikkproduktet er $0$, står diagonalene vinkelrett på hverandre. $■$

1. Retningsvektoren til $l$ finner vi som $\overrightarrow{AB}=B-A=[2-1,4-2]=[1,2]$. Linja gjennom $A$ med denne retningen har parameterframstilling

2. Linja $m$ gjennom $C(6,2)$ med retningsvektor $[-2,1]$:

Vi setter de to parameterframstillingene like for å finne skjæringspunktet:

Fra den andre likningen får vi $s=2t$. Setter vi dette inn i den første:

Setter vi $t=1$ inn i parameterframstillingen for $l$:

Skjæringspunktet er