Vi bruker kjerneregelen på $f(x)=3\cdot e^{2x}$, med indre funksjon $u=2x$ og $u^{\prime }=2$:

Vi bruker produktregelen på $h(x)=x\cdot \ln x$:

Retningsvektoren til linja er $\overrightarrow{v}=B-A=(3-1,7-2)=(2,5)$. Med $A(\mathrm{1,2})$ som festepunkt blir parameterframstillingen

det vil si $x=1+2t$ og $y=2+5t$.

Skjæring med $y$-aksen ($x=0$):

Skjæringspunkt: $(0,-{\displaystyle \frac{1}{2}})$.

Skjæring med $x$-aksen ($y=0$):

Skjæringspunkt: $({\displaystyle \frac{1}{5}},0)$.

Vi setter $x=-1$ inn i $f(x)=x^3-3x^2-x+3$:

Siden $f(-1)=0$, er $f(x)$ delelig med $x+1$. Polynomdivisjon gir

Dermed er

Nullpunktene til $f$ er $x=-1$, $x=1$ og $x=3$. Siden $f$ er et tredjegradspolynom med positiv ledende koeffisient, veksler fortegnet i hvert nullpunkt, fra negativt:

Ulikheten $f(x)\ge 0$ er oppfylt for

Vi bruker avstandsformelen:

Vi undersøker om Pythagoras’ setning er oppfylt for den lengste siden, $AC$:

Siden $22\ne 26$, er trekanten ikke rettvinklet.

Der grafen til $f$ har et toppunkt eller bunnpunkt (horisontal tangent), må den deriverte være null. Den heltrukne grafen har toppunkt i $(\mathrm{1,4})$ og bunnpunkt i $(\mathrm{3,0})$, og nettopp i $x=1$ og $x=3$ krysser den stiplede grafen $x$-aksen. Dette stemmer med at den deriverte er null der funksjonen har topp- eller bunnpunkt. I tillegg er den stiplede grafen formet som en parabel (andregradsgraf), noe som passer med at den deriverte av et tredjegradspolynom er et andregradspolynom.

Konklusjon: den heltrukne grafen er $f$, og den stiplede grafen er $f^{\prime }$.

Fortegnslinjer:

$f(x)$ er null i $x=0$ og $x=3$ (der grafen berører $x$-aksen uten å krysse i $x=3$), negativ for $x<0$ og positiv ellers:

$f^{\prime }(x)$ er null i $x=1$ og $x=3$ (der $f$ har topp- og bunnpunkt), positiv der $f$ vokser og negativ der $f$ avtar:

$f^{\prime \prime }(x)$ er null der $f^{\prime }$ har sitt bunnpunkt, altså i $x=2$ (vendepunktet til $f$). $f^{\prime }$ avtar for $x<2$ og vokser for $x>2$, så $f^{\prime \prime }$ er negativ for $x<2$ og positiv for $x>2$: