Derivasjon, likninger, potenser og binomialkoeffisienter S1 H11 del1

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Deriver funksjonen

f (x) = 2 x^{3} - 5 x^{2} + 2 x + 3

Løs likningene

\frac{6 x}{5} - 2 = \frac{4}{5} + \frac{x}{2}

3 x^{2} = 18 - 3 x

2 \lg x + 3 = 5

2 \cdot 3^{x} = 54

Bestem koordinatene til skjæringspunktene på grafene til funksjonene

f (x) = x^{2} + x og g (x) = - x + 3

Skriv så enkelt som mulig

\frac{2^{2} \cdot 2 \cdot 2^{3}}{2^{5} \cdot 2^{- 2}}

\frac{{(a^{2} \cdot b)}^{2} \cdot a \cdot b^{3}}{a^{3} \cdot b^{- 2}}

Forkort brøken

\frac{3 a^{2} - 75}{6 a + 30}

Vi har gitt ulikhetene

x > 0

y > 0

x + y \leq 3

3 x + y \leq 6

Tegn ulikhetene inn i et koordinatsystem. Skraver det området i koordinatsystemet som tilfredsstiller alle ulikhetene.

Vi har gitt en funksjon $f$ . Fortegnslinjen til $f^{'} (x)$ er gitt ved

Fortegnslinje for f'(x)

Bestem hvor grafen til $f$ stiger og synker.

Tegn en skisse som viser hvordan grafen til $f$ kan se ut.

En gruppe på to voksne og to barn går på fotballkamp. Billettene koster til sammen 500 kroner. En annen gruppe på én voksen og fire barn betaler til sammen 550 kroner.

Sett opp et likningssystem, og finn prisen for én barnebillett og én voksenbillett.

Vi skal studere sammenhengen mellom noen binomialkoeffisienter.

Skriv opp de seks første radene i Pascals talltrekant.

Bruk oppgave i) 1) til å forklare at $(\binom{5}{3}) = (\binom{4}{2}) + (\binom{4}{3})$

Sett opp en tilsvarende sammenheng for $(\binom{6}{5})$

Fasit

$f^{'} (x) = 6 x^{2} - 10 x + 2$

1) $x = 4$ 2) $x = - 3 eller x = 2$ 3) $x = 10$ 4) $x = 3$

$(- 3,6) og (1,2)$

1) $8$ 2) $a^{2} b^{7}$

$\frac{a - 5}{2}$

Se figur i løsningsforslaget

1) $f synker for x < - 2 og x > 3, vokser for - 2 < x < 3$ 2) Se skisse i løsningsforslaget

$Barnebillett 100 kr, voksenbillett 150 kr$

1) Se Pascals trekant i løsningsforslaget 2) og 3) Se forklaring i løsningsforslaget

LøsningsforslagKI-generert

Vi deriverer $f (x) = 2 x^{3} - 5 x^{2} + 2 x + 3$ ledd for ledd:

f^{'} (x) = 6 x^{2} - 10 x + 2

1) Vi ganger begge sider med fellesnevneren $10$ :

\frac{6 x}{5} - 2 = \frac{4}{5} + \frac{x}{2}

12 x - 20 = 8 + 5 x

7 x = 28

x = 4

2) Vi flytter alt over på én side:

3 x^{2} = 18 - 3 x

3 x^{2} + 3 x - 18 = 0

Vi deler på $3$ :

x^{2} + x - 6 = 0

Vi faktoriserer (to tall med sum $1$ og produkt $- 6$ ):

(x + 3) (x - 2) = 0

x = - 3 eller x = 2

3) Vi isolerer $\lg x$ :

2 \lg x + 3 = 5

2 \lg x = 2

\lg x = 1

x = 10

4) Vi isolerer $3^{x}$ :

2 \cdot 3^{x} = 54

3^{x} = 27 = 3^{3}

x = 3

Vi setter $f (x) = g (x)$ :

x^{2} + x = - x + 3

x^{2} + 2 x - 3 = 0

Vi faktoriserer (to tall med sum $2$ og produkt $- 3$ ):

(x + 3) (x - 1) = 0

x = - 3 eller x = 1

Vi finner $y$ -verdiene med $g (x) = - x + 3$ :

g (- 3) = 3 + 3 = 6 g (1) = - 1 + 3 = 2

Skjæringspunktene er $(- 3, 6) og (1, 2)$ .

1) Vi bruker potensreglene $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$ og $\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n}$ :

\frac{2^{2} \cdot 2 \cdot 2^{3}}{2^{5} \cdot 2^{- 2}} = \frac{2^{2 + 1 + 3}}{2^{5 - 2}} = \frac{2^{6}}{2^{3}} = 2^{3} = 8

2) Vi forenkler teller og nevner hver for seg:

\frac{{(a^{2} \cdot b)}^{2} \cdot a \cdot b^{3}}{a^{3} \cdot b^{- 2}} = \frac{a^{4} b^{2} \cdot a \cdot b^{3}}{a^{3} b^{- 2}} = \frac{a^{5} b^{5}}{a^{3} b^{- 2}} = a^{5 - 3} \cdot b^{5 - (- 2)} = a^{2} b^{7}

Vi faktoriserer teller og nevner. I telleren bruker vi konjugatsetningen:

\frac{3 a^{2} - 75}{6 a + 30} = \frac{3 (a^{2} - 25)}{6 (a + 5)} = \frac{3 (a - 5) (a + 5)}{6 (a + 5)}

Vi forkorter med den felles faktoren $(a + 5)$ og deretter med $3$ :

= \frac{3 (a - 5)}{6} = \frac{a - 5}{2}

Vi finner skjæringspunktene mellom linjene $x + y = 3$ og $3 x + y = 6$ ved å trekke likningene fra hverandre:

(3 x + y) - (x + y) = 6 - 3 \Rightarrow 2 x = 3 \Rightarrow x = 1,5, y = 1,5

Sammen med koordinataksene ( $x = 0$ og $y = 0$ ) avgrenser de to linjene et område med hjørner i $(0,0)$ , $(2,0)$ , $(1,5, 1,5)$ og $(0,3)$ — det er her alle fire ulikhetene er oppfylt samtidig:

Området som tilfredsstiller alle fire ulikhetene

1) Av fortegnslinjen ser vi at $f^{'} (x) < 0$ (stiplet) for $x < - 2$ og $x > 3$ , og $f^{'} (x) > 0$ (heltrukket) for $- 2 < x < 3$ . Det betyr at

f synker for x < - 2 og x > 3, og vokser for - 2 < x < 3

2) Siden $f$ går fra synkende til voksende i $x = - 2$ , har grafen et bunnpunkt der. Siden $f$ går fra voksende til synkende i $x = 3$ , har grafen et toppunkt der:

Skisse av hvordan grafen til f kan se ut

La $v$ være prisen på én voksenbillett og $b$ prisen på én barnebillett. Vi setter opp likningssystemet ut fra opplysningene:

{\begin{matrix} 2 v + 2 b = 500 \\ v + 4 b = 550 \end{matrix}

Vi deler den første likningen på $2$ :

v + b = 250

Vi trekker denne fra den andre likningen for å eliminere $v$ :

(v + 4 b) - (v + b) = 550 - 250

3 b = 300

b = 100

Vi setter inn i $v + b = 250$ :

v = 250 - 100 = 150

$Barnebilletten koster 100 kr, voksenbilletten koster 150 kr$

1) De seks første radene i Pascals talltrekant er:

$n=0$	$1$
$n=1$	$1$	$1$
$n=2$	$1$	$2$	$1$
$n=3$	$1$	$3$	$3$	$1$
$n=4$	$1$	$4$	$6$	$4$	$1$
$n=5$	$1$	$5$	$10$	$10$	$5$	$1$

2) I Pascals trekant er hvert tall lik summen av de to tallene som står skrått over det på raden ovenfor. I rad $5$ finner vi $(\binom{5}{3}) = 10$ . Dette tallet er summen av de to tallene skrått over det i rad $4$ , nemlig $(\binom{4}{2}) = 6$ og $(\binom{4}{3}) = 4$ :

(\binom{5}{3}) = (\binom{4}{2}) + (\binom{4}{3}) (10 = 6 + 4)

3) Etter samme mønster (Pascals regel $(\binom{n}{k}) = (\binom{n - 1}{k - 1}) + (\binom{n - 1}{k})$ ) får vi tilsvarende sammenheng for $(\binom{6}{5})$ :

(\binom{6}{5}) = (\binom{5}{4}) + (\binom{5}{5}) (6 = 5 + 1)

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 24 poeng

Det gis noe uttelling hvis eksaminanden kun finner $x$ -verdiene.

1) Her likestilles $2^{3}$ og 8 som svar.

Det er tilstrekkelig at eksaminanden tegner inn linjene og skraverer området.

1) Svarene må gis som åpne intervaller.
2) Topp- og bunnpunktet bør komme tydelig fram på skissen.

Det gis 1 poeng for å sette opp likningene og ett poeng for å finne løsningen til ligningssystemet.

2) Her er det nok å vise at de tre binomialkoeffisientene er henholdsvis 10, 4 og 6.

Oppgavedata

Hentet fra: S1 H2011, del 1, oppgave 1
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 24
Temaer: Derivasjon, Likninger, Logaritmer, Potenser, Ulikheter, Funksjonsdrøfting, Likningssystem, Kombinatorikk

Derivasjon, likninger, potenser og binomialkoeffisienter S1 H11 del1

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Derivasjon, likninger, potenser og binomialkoeffisienter S1 H11 del1

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Derivasjon, likninger, potenser og binomialkoeffisienter S1 H11 del1

Derivasjon, likninger, potenser og binomialkoeffisienter S1 H11 del1

Lov på eksamen

Temaer