1) $f(x)=x^3\cdot \ln x$. Vi bruker produktregelen med $u=x^3$ og $v=\ln x$:

2) $g(x)=4e^{x^2-3x}$. Vi bruker kjerneregelen med indre funksjon $x^2-3x$, som har derivert $2x-3$:

1) Vi setter $x=2$ inn i $P(x)=x^3-4x^2-4x+16$:

Siden $P(2)=0$, er $(x-2)$ en faktor i $P(x)$. Vi utfører polynomdivisjon:

Vi faktoriserer andregradsuttrykket videre: $x^2-2x-8=(x-4)(x+2)$. Dermed er

2) Nullpunktene til $P$ er $x=-2$, $x=2$ og $x=4$. Siden $P(x)$ er et tredjegradsuttrykk med positiv ledende koeffisient, går grafen fra minus mot pluss uendelig. Vi setter opp fortegnslinje for de tre faktorene $(x+2)$, $(x-2)$ og $(x-4)$:

Ulikheten $P(x)\le 0$ er dermed oppfylt for

«Per er fra Bergen» $\Rightarrow$ «Per er fra Norge».

Bergen ligger i Norge, så hvis Per er fra Bergen, må han også være fra Norge. Implikasjonen går altså den ene veien. Den motsatte veien holder ikke: at Per er fra Norge betyr ikke at han nødvendigvis er fra Bergen — han kan like gjerne være fra Oslo, Trondheim eller et annet sted i Norge. Riktig symbol er derfor $\Rightarrow$.

Vi har $\overrightarrow{a}=[3,5]$.

1) $\overrightarrow{b}$ skal være dobbelt så lang som $\overrightarrow{a}$, men med motsatt retning. Det betyr at $\overrightarrow{b}=-2\cdot \overrightarrow{a}$:

2) En vektor normalt på $\overrightarrow{a}=[a_1,a_2]=[\mathrm{3,5}]$ finner vi ved å bytte om koordinatene og skifte fortegn på én av dem: $\overrightarrow{c}=[-a_2,a_1]$:

(Kontroll: $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}=3\cdot (-5)+5\cdot 3=-15+15=0$, så vektorene står normalt på hverandre.)

Vi dividerer begge sider med 4:

Vi tar fjerderoten på begge sider. Siden $2^4=16$ og også ${(-2)}^4=16$, får vi to muligheter:

Første likning gir ${\displaystyle \frac{x}{100}}=1\Rightarrow x=100$.

Andre likning gir ${\displaystyle \frac{x}{100}}=-3\Rightarrow x=-300$.

Uttrykket $1+\frac{x}{100}$ er en vekstfaktor. Skal $x$ tolkes som en prosentvis endring i en praktisk sammenheng (f.eks. rente), er vekstfaktoren normalt positiv, og da er $\underline{\underline{x=100}}$ det aktuelle svaret. Rent algebraisk er også $x=-300$ en løsning av likningen.

Trekanten $ABC$ er innskrevet i sirkelen med radius $r$, med $AB=\frac{3}{2}r$ og $\angle ABC=45°$.

Fordi $\angle ABC$ er en periferivinkel som spenner over buen $AC$, er sentralvinkelen $\angle AOC$ (der $O$ er sirkelens sentrum) dobbelt så stor: $\angle AOC=2\cdot 45°=90°$.

Konstruksjon:

1. Tegn en sirkel med sentrum $O$ og radius $r$.

2. Merk av et punkt $A$ på sirkelen, og tegn radien $OA$.

3. Sett passerspissen i $A$ med åpning ${\displaystyle \frac{3}{2}}r$, og slå en bue som skjærer sirkelen i et punkt $B$. Da er $AB={\displaystyle \frac{3}{2}}r$ en korde i sirkelen.

4. Konstruer en linje gjennom $O$ som står normalt på $OA$ (halveringsnormalen på en diameter gjennom $A$, eller ved å konstruere en $90°$-vinkel i $O$). Denne linjen skjærer sirkelen i to punkter; velg det punktet $C$ som ligger på samme bue som $B$ (slik at $\angle AOC=90°$ og periferivinkelen $\angle ABC$ dermed blir $45°$).

5. Tegn linjestykkene $AC$ og $BC$. Trekant $ABC$ er nå ferdig konstruert.

   Konstruksjonen er gyldig fordi periferivinkelsetningen sikrer at $\angle ABC=\frac{1}{2}\angle AOC=45°$ når $A$, $B$ og $C$ alle ligger på sirkelen og $\angle AOC=90°$.