Derivasjon av tre funksjoner S2 H12

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Deriver funksjonene

g(x) = \dfrac{3x - 2}{x^3}

h(x) = \ln(x^3 - x)

k(x) = x^3 e^{-x^2}

Deriver $g(x) = \dfrac{3x-2}{x^3}$

Deriver $h(x) = \ln(x^3 - x)$

Deriver $k(x) = x^3 e^{-x^2}$

Fasit

$\underline{\underline{g'(x) = \dfrac{6 - 6x}{x^4}}}$

$\underline{\underline{h'(x) = \dfrac{3x^2 - 1}{x^3 - x}}}$

$\underline{\underline{k'(x) = x^2 e^{-x^2}(3 - 2x^2)}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi omskriver brøken til et sum av potenser:

g(x) = \frac{3x - 2}{x^3} = \frac{3x}{x^3} - \frac{2}{x^3} = 3x^{-2} - 2x^{-3}

Nå kan vi derivere ledd for ledd med potensregelen:

g'(x) = 3 \cdot (-2) x^{-3} - 2 \cdot (-3) x^{-4} = -6x^{-3} + 6x^{-4}

Vi skriver om til brøkform med fellesnevner $x^4$ :

g'(x) = \frac{-6x}{x^4} + \frac{6}{x^4} = \mathbf{\underline{\underline{\dfrac{6 - 6x}{x^4}}}}

Vi bruker kjerneregelen. La $u = x^3 - x$ , slik at $h = \ln(u)$ .

h'(x) = \frac{u'}{u} = \frac{(x^3 - x)'}{x^3 - x}

Vi deriverer telleren:

(x^3 - x)' = 3x^2 - 1

Dermed:

h'(x) = \mathbf{\underline{\underline{\dfrac{3x^2 - 1}{x^3 - x}}}}

Vi bruker produktregelen med $u = x^3$ og $v = e^{-x^2}$ :

k'(x) = u'v + uv'

Vi finner de to deriverte:

u' = 3x^2

For $v' = (e^{-x^2})'$ bruker vi kjerneregelen med indre funksjon $-x^2$ :

v' = e^{-x^2} \cdot (-2x) = -2x e^{-x^2}

Setter inn i produktregelen:

k'(x) = 3x^2 \cdot e^{-x^2} + x^3 \cdot (-2x e^{-x^2})

k'(x) = 3x^2 e^{-x^2} - 2x^4 e^{-x^2}

Vi faktoriserer ut $x^2 e^{-x^2}$ :

k'(x) = \mathbf{\underline{\underline{x^2 e^{-x^2}(3 - 2x^2)}}}

Oppgavedata

Sync på tvers av enheter