Derivasjon av tre funksjoner S2 H12

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Deriver funksjonene

g (x) = \frac{3 x - 2}{x^{3}}

h (x) = \ln (x^{3} - x)

k (x) = x^{3} e^{- x^{2}}

Deriver $g (x) = \frac{3 x - 2}{x^{3}}$

Deriver $h (x) = \ln (x^{3} - x)$

Deriver $k (x) = x^{3} e^{- x^{2}}$

Fasit

$g^{'} (x) = \frac{6 - 6 x}{x^{4}}$

$h^{'} (x) = \frac{3 x^{2} - 1}{x^{3} - x}$

$k^{'} (x) = x^{2} e^{- x^{2}} (3 - 2 x^{2})$

LøsningsforslagKI-generert

Vi omskriver brøken til et sum av potenser:

g (x) = \frac{3 x - 2}{x^{3}} = \frac{3 x}{x^{3}} - \frac{2}{x^{3}} = 3 x^{- 2} - 2 x^{- 3}

Nå kan vi derivere ledd for ledd med potensregelen:

g^{'} (x) = 3 \cdot (- 2) x^{- 3} - 2 \cdot (- 3) x^{- 4} = - 6 x^{- 3} + 6 x^{- 4}

Vi skriver om til brøkform med fellesnevner $x^{4}$ :

g^{'} (x) = \frac{- 6 x}{x^{4}} + \frac{6}{x^{4}} = \frac{𝟔 - 𝟔 𝐱}{𝐱^{𝟒}}

Vi bruker kjerneregelen. La $u = x^{3} - x$ , slik at $h = \ln (u)$ .

h^{'} (x) = \frac{u^{'}}{u} = \frac{{(x^{3} - x)}^{'}}{x^{3} - x}

Vi deriverer telleren:

{(x^{3} - x)}^{'} = 3 x^{2} - 1

Dermed:

h^{'} (x) = \frac{𝟑 𝐱^{𝟐} - 𝟏}{𝐱^{𝟑} - 𝐱}

Vi bruker produktregelen med $u = x^{3}$ og $v = e^{- x^{2}}$ :

k^{'} (x) = u^{'} v + u v^{'}

Vi finner de to deriverte:

u^{'} = 3 x^{2}

For $v^{'} = {(e^{- x^{2}})}^{'}$ bruker vi kjerneregelen med indre funksjon $- x^{2}$ :

v^{'} = e^{- x^{2}} \cdot (- 2 x) = - 2 x e^{- x^{2}}

Setter inn i produktregelen:

k^{'} (x) = 3 x^{2} \cdot e^{- x^{2}} + x^{3} \cdot (- 2 x e^{- x^{2}})

k^{'} (x) = 3 x^{2} e^{- x^{2}} - 2 x^{4} e^{- x^{2}}

Vi faktoriserer ut $x^{2} e^{- x^{2}}$ :

k^{'} (x) = 𝐱^{𝟐} 𝐞^{- 𝐱^{𝟐}} (𝟑 - 𝟐 𝐱^{𝟐})

Oppgavedata

Hentet fra: S2 H2012, del 1, oppgave 1
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Derivasjon, Funksjoner

Innstillinger