Binomisk sannsynlighet for smittet ørret

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Langs en del av kysten regner man med at 30 % av all ørret er smittet av en bestemt sykdom. Vi fanger 5 tilfeldige ørreter.

Kalkulator

Hva må vi anta for å kunne bruke binomiske sannsynligheter i denne situasjonen?

Kalkulator

Finn sannsynligheten for at

alle 5 er smittet

akkurat 3 er smittet

høyst 3 er smittet

minst 1 er smittet

Fasit

Se forutsetninger i løsningsforslaget.

1) $P (X = 5) = 0,00243$ 2) $P (X = 3) = 0,1323$ 3) $P (X \leq 3) = 0,9692$ 4) $P (X \geq 1) = 0,8319$

LøsningsforslagKI-generert

For å kunne bruke binomiske sannsynligheter må følgende være oppfylt:

Vi gjør et fast antall forsøk, her $n = 5$ (vi fanger 5 ørreter).
Hvert forsøk har bare to mulige utfall: ørreten er enten smittet eller ikke smittet.
Sannsynligheten for «smittet» er den samme for hvert forsøk, $p = 0,30$ . Dette forutsetter at bestanden er så stor at det å fange én ørret ikke endrer andelen smittede vesentlig for de neste (eller at fangsten skjer med tilbakelegging).
Forsøkene (fangstene) er uavhengige av hverandre.

La $X$ være antall smittede ørreter blant de 5 vi fanger. Da er $X$ binomisk fordelt med $n = 5$ og $p = 0,30$ :

P (X = k) = (\binom{5}{k}) \cdot {0,30}^{k} \cdot {0,70}^{5 - k}

Vi beregner sannsynlighetene i GeoGebra CAS med kommandoen FordelingBinomial(n, p, k, kumulativ):

GeoGebra CAS-utregning av binomiske sannsynligheter

1) Alle 5 er smittet

P (X = 5) = (\binom{5}{5}) \cdot {0,30}^{5} \cdot {0,70}^{0} = 0,00243

2) Akkurat 3 er smittet

P (X = 3) = (\binom{5}{3}) \cdot {0,30}^{3} \cdot {0,70}^{2} = 0,1323

3) Høyst 3 er smittet

P (X \leq 3) = \sum_{k = 0}^{3} P (X = k) = 0,9692

4) Minst 1 er smittet

Vi bruker komplementsetningen: $P (X \geq 1) = 1 - P (X = 0)$ .

P (X \geq 1) = 1 - (\binom{5}{0}) \cdot {0,30}^{0} \cdot {0,70}^{5} = 0,8319

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 5 poeng

Både utregning ved formel og bruk av digitalt verktøy må godkjennes.

Oppgavedata

Hentet fra: S1 V2011, del 2, oppgave 3
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Binomisk fordeling, Sannsynlighet

Innstillinger