Binomisk fordeling i sikkerhetskontroll

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I sikkerhetskontrollen på en flyplass blir i gjennomsnitt hver tiende passasjer tilfeldig trukket ut for en grundigere kontroll. Om én passasjer blir trukket ut, kan vi se på som et binomisk forsøk med $p = 0{,}10$ .

Bestem sannsynligheten for at tre gitte personer som går etter hverandre gjennom sikkerhetskontrollen, blir trukket ut.

Vi lar $X$ være antallet som blir trukket ut av 1000 passasjerer.

Bestem forventningsverdien $\text{E}(X)$ og standardavviket $\text{SD}(X)$ .

Flyplasspersonalet har en mistanke om at for mange personer blir trukket ut. Av 1000 passasjerer viste det seg at 110 ble trukket ut.

Sett opp en hypotesetest med signifikansnivå 5 %. Avgjør om flyplasspersonalet har grunn til mistanke.

Fasit

$P = 0{,}001 = 0{,}1\ \%$

$\text{E}(X) = 100$ , $\text{SD}(X) = \sqrt{90} \approx 9{,}49$

$P(X \geq 110) \approx 15{,}83\ \%$ . Siden $15{,}83\ \% > 5\ \%$ , beholder vi $H_0$ . Flyplasspersonalet har ikke grunnlag for mistanke.

LøsningsforslagKI-generert

Vi betrakter trekkingen av hver passasjer som et uavhengig binomisk forsøk med sannsynlighet $p = 0{,}10$ for å bli trukket ut.

Sannsynligheten for at tre bestemte personer på rad alle blir trukket ut er

P = 0{,}10^3 = 0{,}001 = 0{,}1\ \%

$X$ er binomisk fordelt med $n = 1000$ og $p = 0{,}10$ .

\text{E}(X) = np = 1000 \cdot 0{,}10 = 100

\text{SD}(X) = \sqrt{np(1-p)} = \sqrt{1000 \cdot 0{,}10 \cdot 0{,}90} = \sqrt{90} \approx 9{,}49

Vi forventer altså at 100 av 1000 passasjerer trekkes ut, med et standardavvik på cirka 9,49.

Vi setter opp en ensidig hypotesetest:

$H_0$ : $p = 0{,}10$ (andelen som trekkes ut er som forventet)
$H_1$ : $p > 0{,}10$ (for mange trekkes ut)
Signifikansnivå: $\alpha = 5\ \%$

Vi observerer at 110 av 1000 passasjerer ble trukket ut. Vi beregner sannsynligheten for å få 110 eller flere når $H_0$ er sann, ved hjelp av binomisk fordeling med $n = 1000$ og $p = 0{,}10$ :

P(X \geq 110) \approx 0{,}1583 = 15{,}83\ \%

Siden $p$ -verdien $15{,}83\ \%$ er større enn signifikansnivået $5\ \%$ , beholder vi $H_0$ .

Konklusjon: Flyplasspersonalet har ikke statistisk grunnlag for mistanke om at for mange trekkes ut.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Binomisk fordeling, Hypotesetest, Forventningsverdi, Sannsynlighet

Binomisk fordeling i sikkerhetskontroll

Sync på tvers av enheter

Binomisk fordeling i sikkerhetskontroll

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave