Binomialkoeffisient og hypergeometrisk sannsynlighet S1 V11

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Regn ut binomialkoeffisienten $(\binom{8}{3})$

En gruppe på 8 elever består av like mange gutter som jenter. Vi trekker tilfeldig ut 3 elever.

Hva er sannsynligheten for å trekke ut 2 gutter og 1 jente?

Hva er sannsynligheten for å trekke ut minst 1 jente?

Fasit

$(\binom{8}{3}) = 56$

$P = \frac{3}{7} \approx 0,429$

$P = \frac{13}{14} \approx 0,929$

LøsningsforslagKI-generert

Binomialkoeffisienten $(\binom{8}{3})$ regnes ut med formelen $(\binom{n}{r}) = \frac{n!}{r! \cdot (n - r)!}$ :

(\binom{8}{3}) = \frac{8!}{3! \cdot 5!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{336}{6} = 56

Gruppen består av like mange gutter som jenter, altså $4$ gutter og $4$ jenter. Vi trekker $3$ elever uten tilbakelegging, så dette er hypergeometrisk sannsynlighet. Antall måter å velge $2$ gutter av $4$ og $1$ jente av $4$ er $(\binom{4}{2}) \cdot (\binom{4}{1})$ , og totalt antall måter å trekke $3$ av $8$ elever er $(\binom{8}{3})$ :

P (2 gutter og 1 jente) = \frac{(\binom{4}{2}) \cdot (\binom{4}{1})}{(\binom{8}{3})} = \frac{6 \cdot 4}{56} = \frac{24}{56} = \frac{3}{7} \approx 0,429

Vi bruker komplementhendelsen: «minst 1 jente» er det motsatte av «0 jenter» (altså alle 3 er gutter). Antall måter å trekke $0$ jenter av $4$ og $3$ gutter av $4$ er $(\binom{4}{0}) \cdot (\binom{4}{3})$ :

P (0 jenter) = \frac{(\binom{4}{0}) \cdot (\binom{4}{3})}{(\binom{8}{3})} = \frac{1 \cdot 4}{56} = \frac{4}{56} = \frac{1}{14}

Da blir sannsynligheten for minst 1 jente:

P (minst 1 jente) = 1 - P (0 jenter) = 1 - \frac{1}{14} = \frac{13}{14} \approx 0,929

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 6 poeng

Bruk av Pascals trekanten bør gi full uttelling.

og c) En løsning med opptelling av antall muligheter må også aksepteres.

Oppgavedata

Hentet fra: S1 V2011, del 1, oppgave 2
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Kombinatorikk, Sannsynlighet, Hypergeometrisk fordeling

Binomialkoeffisient og hypergeometrisk sannsynlighet S1 V11

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Binomialkoeffisient og hypergeometrisk sannsynlighet S1 V11

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Binomialkoeffisient og hypergeometrisk sannsynlighet S1 V11

Binomialkoeffisient og hypergeometrisk sannsynlighet S1 V11

Lov på eksamen

Temaer