Bibliotekgebyr med lineær og geometrisk vekst

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Nils har funnet en bok på loftet. Tippoldefaren til Nils lånte boka på biblioteket og skulle levert den inn igjen 23.11.1911.

Nils lurer på hvor dyrt dette kunne blitt for tippoldefar dersom biblioteket hadde beregnet gebyr for sen innlevering. Han ser for seg at biblioteket kunne beregnet gebyr etter to ulike modeller.

Modell 1 Et gebyr på 10 øre en uke etter at boka skulle vært levert inn igjen, og så 5 øre i tilleggsgebyr for hver uke som går etter det. (Det vil si at dersom boka hadde blitt levert tre uker for sent, ville gebyret vært på totalt 20 øre.)

Modell 2 Et gebyr på 10 øre en uke etter at boka skulle vært levert inn igjen, og deretter øker dette gebyret med 0,2 % hver uke. (Det vil si at dersom boka hadde blitt levert tre uker for sent, ville gebyret vært på totalt 10,04004 øre.)

I denne oppgaven regner vi at det er 52 uker i et år.

Kalkulator

Tenk deg at tippoldefar leverer inn boka i dag.

Hvor mye måtte han ha betalt i gebyr dersom biblioteket hadde brukt modell 1?

Hvor mye måtte han ha betalt i gebyr dersom biblioteket hadde brukt modell 2?

Kalkulator

For hvilken av de to modellene kommer gebyret raskest opp i 10 kroner?

Fasit

$260,05 kr$ (modell 1) og $3245,52 kr$ (modell 2)

Modell 1 når $10 kr$ først, $etter 199 u k e r$ (modell 2 bruker $2306$ uker)

LøsningsforslagKI-generert

Boka skulle vært levert $23.11.1911$ , og i dag (eksamensåret) er den omtrent $100$ år forsinket. Med $52$ uker i året tilsvarer dette

n = 100 \cdot 52 = 5200 uker for sent

Modell 1 er en aritmetisk rekke med startledd $a_{1} = 10$ øre (uke 1) og differanse $d = 5$ øre per uke. Gebyret etter $n$ uker er

a_{n} = a_{1} + (n - 1) \cdot d

For $n = 5200$ :

a_{5200} = 10 + (5200 - 1) \cdot 5 = 26 005 øre = 260,05 kr

Modell 2 er en geometrisk rekke med startledd $a_{1} = 10$ øre og vekstfaktor $k = 1,002$ per uke. Gebyret etter $n$ uker er

a_{n} = a_{1} \cdot k^{n - 1}

For $n = 5200$ :

a_{5200} = 10 \cdot {1,002}^{5199} \approx 324 552 øre \approx 3245,52 kr

Med modell 1 måtte tippoldefar betalt $260,05 kr$ , mens han med modell 2 måtte betalt hele $3245,52 kr$ i gebyr.

Vi finner hvor mange uker det tar før gebyret når $1000$ øre ( $= 10 kr$ ) i hver av modellene.

Modell 1: Vi løser $a_{n} = 1000$ :

10 + (n - 1) \cdot 5 = 1000

n - 1 = 198

n = 199

Etter $199$ uker er gebyret nøyaktig $10 kr$ i modell 1.

Modell 2: Vi løser $a_{n} = 1000$ :

10 \cdot {1,002}^{n - 1} = 1000

{1,002}^{n - 1} = 100

n - 1 = \frac{\lg 100}{\lg 1,002} \approx 2304,9

n \approx 2305,9

Siden $n$ må være et helt antall uker, tar det $2306$ uker før gebyret i modell 2 passerer $10 kr$ .

Siden $199 ≪ 2306$ , er det $modell 1$ som først når $10 kr$ i gebyr — allerede etter $199$ uker, mens modell 2 bruker over $2300$ uker på grunn av den langsommere prosentvise starten.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 6 poeng

Ved grafisk løsning skal avlesning markeres tydelig. Dette gjelder også ved bruk av digitale verktøy.

En systematisk «prøve og feile»-metode bør gi uttelling. (Se Vurderingsveiledning 2011.)

Oppgavedata

Hentet fra: 2P-Y H2011, del 2, oppgave 3
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Lineær vekst, Geometrisk vekst, Modellering, Økonomi

Bibliotekgebyr med lineær og geometrisk vekst

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Bibliotekgebyr med lineær og geometrisk vekst

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Bibliotekgebyr med lineær og geometrisk vekst

Bibliotekgebyr med lineær og geometrisk vekst

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer