Bestemt og ubestemt integral R2 V26

Bestem integralene

\int_0^2 \left( e^{2x} + x \right) dx

\int \frac{\sin(\ln x)}{x}\, dx

Fasit

$\underline{\underline{\dfrac{1}{2}(e^4 + 3)}}$

$\underline{\underline{-\cos(\ln x) + C}}$

Løsningsforslag

Vi bruker at $\int e^{ax} \, \mathrm{d}x = \dfrac{1}{a} e^{ax} + C$ og $\int x \, \mathrm{d}x = \dfrac{1}{2}x^2 + C$ :

\begin{aligned} \int_0^2 \left( e^{2x} + x \right) \, \mathrm{d}x &= \left[ \frac{1}{2}e^{2x} + \frac{1}{2}x^2 \right]_0^2 \\ &= \left( \frac{1}{2}e^{4} + \frac{1}{2} \cdot 4 \right) - \left( \frac{1}{2}e^{0} + 0 \right)\\ &= \frac{1}{2}e^{4} + 2 - \frac{1}{2}\\ &=\frac{1}{2}e^{4} + \frac{3}{2} = \underline{\underline{\dfrac{1}{2}(e^4+3)}} \end{aligned}

Vi bruker substitusjon. La $u = \ln x$ , da er $\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} = \dfrac{1}{x}$ , altså $\mathrm{d}u = \dfrac{1}{x}\,\mathrm{d}x$ .

\int \frac{\sin(\ln x)}{x} \, \mathrm{d}x = \int \sin(u) \, \mathrm{d}u

= -\cos(u) + C

Vi substituerer tilbake $u = \ln x$ :

= \underline{\underline{-\cos(\ln x) + C}}

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

Kandidaten kan få 1 poeng for å integrere riktig og 1 poeng for å finne riktig verdi.

Riktig strategi, men feil i utregningen kan gi 1 poeng. Kandidaten kan få full uttelling selv om $C$ utelates i svaret, men det tas med i helhetsvurderingen.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Integrasjon, Bestemt integral, Substitusjon
Kompetansemål: Gjøre rede for analysens fundamentalteorem og gjøre rede for konsekvenser av teoremet

Bestemt og ubestemt integral R2 V26

Sync på tvers av enheter

Bestemt og ubestemt integral R2 V26

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave