Bestemme koeffisienter i tredjegradsfunksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x

Om grafen til $f$ får du vite at

Bruk disse opplysningene til å sette opp et likningssystem som du kan bruke til å bestemme $a$ , $b$ og $c$ .

Løs likningssystemet.

Fasit

Se løsningsforslag

$a = - 1$ , $b = 4$ , $c = 3$

LøsningsforslagKI-generert

Vi har $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x$ og $f^{'} (x) = 3 a x^{2} + 2 b x + c$ .

Punkt $(1, 6)$ :

f (1) = a + b + c = 6 (I)

Punkt $(- 1, 2)$ :

f (- 1) = - a + b - c = 2 (II)

Toppunkt med $x = 3$ betyr $f^{'} (3) = 0$ :

f^{'} (3) = 27 a + 6 b + c = 0 (III)

Vi legger sammen (I) og (II):

(a + b + c) + (- a + b - c) = 6 + 2 \Rightarrow 2 b = 8 \Rightarrow b = 4

Vi setter $b = 4$ inn i (I): $a + c = 2$ , altså $c = 2 - a$ (IV).

Vi setter $b = 4$ og (IV) inn i (III):

27 a + 24 + (2 - a) = 0 \Rightarrow 26 a + 26 = 0 \Rightarrow a = - 1

Fra (IV): $c = 2 - (- 1) = 3$ .

a = - 1, b = 4, c = 3

Funksjonen er $f (x) = - x^{3} + 4 x^{2} + 3 x$ .

Oppgavedata

Hentet fra: S2 V2021, del 1, oppgave 5
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Funksjonsdrøfting, Likningssystem
Kompetansemål: Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon

Innstillinger