Båttall og figurtall

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Båttallene $B_{n}$ er antall prikker i figurene nedenfor. Vi ser at $B_{1} = 8$ og $B_{2} = 15$ .

Båttall-figurer 1, 2 og 3

For hånd

Bestem $B_{4}$ .

Mathias ser at han kan dele hver figur i to biter slik at han får en trekant og en del av en større trekant.

Dekomponering av båttall-figur

Ut fra dette ser han at $B_{n} = T_{n} + T_{n + 3} - 3$ , der $T_{n} = 1 + 2 + 3 + \dots + n$ .

For hånd

Bruk dette til å bestemme $B_{5}$ .

For hånd

Bestem en formel for $B_{n}$ uttrykt ved $n$ .

Fasit

$B_{4} = 35$

$B_{5} = 48$

$B_{n} = (n + 1) (n + 3)$

LøsningsforslagKI-generert

Fra figur 3 ( $B_{3} = 24$ ) ser vi at figuren vokser ved at det legges til en rad nederst i den øvre trekanten og en rad i bunnen av figuren. Fra figur $n - 1$ til figur $n$ øker antall prikker med $(n + 3) + n$ .

Fra $B_{3} = 24$ :

B_{4} = 24 + (4 + 3) + 4 = 24 + 7 + 4 = 35

Trekanttallet $T_{n} = 1 + 2 + \dots + n = \frac{n (n + 1)}{2}$ .

Vi bruker Mathias’ relasjon $B_{n} = T_{n} + T_{n + 3} - 3$ :

B_{5} = T_{5} + T_{8} - 3 = \frac{5 \cdot 6}{2} + \frac{8 \cdot 9}{2} - 3 = 15 + 36 - 3 = 48

Vi setter inn $T_{n} = \frac{n (n + 1)}{2}$ og $T_{n + 3} = \frac{(n + 3) (n + 4)}{2}$ i formelen $B_{n} = T_{n} + T_{n + 3} - 3$ :

B_{n} = \frac{n (n + 1)}{2} + \frac{(n + 3) (n + 4)}{2} - 3

= \frac{n^{2} + n + n^{2} + 7 n + 12}{2} - 3

= \frac{2 n^{2} + 8 n + 12}{2} - 3

= n^{2} + 4 n + 6 - 3

= n^{2} + 4 n + 3

= (n + 1) (n + 3)

Kontroll: $B_{1} = 2 \cdot 4 = 8$ ✓, $B_{5} = 6 \cdot 8 = 48$ ✓

Oppgavedata

Hentet fra: S2 H2014, del 2, oppgave 5
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Figurtall, Tallfølger, Rekker

Båttall og figurtall

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Båttall og figurtall

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Båttall og figurtall

Båttall og figurtall

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer