Ball i fritt fall med luftmotstand

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En ball med masse $m = 2 k g$ slippes fra en høyde $h = 30 m$ . Vi antar at luftmotstanden er proporsjonal med farten $v$ . Fra tidligere forsøk vet vi at den maksimale farten denne ballen kan oppnå når den faller, er $40 m / s$ . Vi lar tyngdeakselerasjonen være $10 m / s^{2}$ .

I denne oppgaven vil vi regne uten benevning.

Bruker vi opplysningene ovenfor sammen med Newtons 2. lov, får vi at farten $v$ må tilfredsstille differensiallikningen

v^{'} + \frac{1}{4} v = 10

der $v = v (t)$ er farten etter $t$ sekunder.

Kalkulator

Forklar at $v (0) = 0$ og løs differensiallikningen.

Etter $t$ sekunder har ballen falt strekningen $s$ gitt ved $s^{'} (t) = v (t)$ .

Kalkulator

Finn et uttrykk for $s (t)$ .

Kalkulator

Hvor lang tid tar det før ballen treffer bakken? Hva er farten da?

I stedet for å slippe ballen kaster vi den vertikalt nedover med startfarten $v_{0}$ .

Kalkulator

Hva må $v_{0}$ være for at ballen skal bruke 2 sekunder før den treffer bakken?

Fasit

$v (t) = 40 - 40 \cdot e^{- t / 4}$

$s (t) = 40 t + 160 \cdot e^{- t / 4} - 160$

$t \approx 2,73 s, v \approx 19,8 m / s$

$v_{0} \approx 8,23$

LøsningsforslagKI-generert

Ballen slippes fra en høyde, den blir altså ikke kastet eller gitt noen starthastighet. Idet den slippes er farten derfor $0$ , det vil si $v (0) = 0$ .

Vi løser den lineære differensiallikningen

v^{'} + \frac{1}{4} v = 10

med integrerende faktor $μ (t) = e^{t / 4}$ :

{(v \cdot e^{t / 4})}^{'} = 10 \cdot e^{t / 4}

v \cdot e^{t / 4} = 40 \cdot e^{t / 4} + C

v (t) = 40 + C \cdot e^{- t / 4}

Setter inn $v (0) = 0$ :

0 = 40 + C \Rightarrow C = - 40

Dette gir

v (t) = 40 - 40 \cdot e^{- t / 4} = 40 (1 - e^{- t / 4})

Vi ser at $v (t) \to 40$ når $t \to \infty$ , som stemmer med at maksfarten (grensehastigheten) er oppgitt til $40 m / s$ .

Siden $s^{'} (t) = v (t)$ , finner vi $s (t)$ ved å integrere:

s (t) = \int (40 - 40 \cdot e^{- t / 4}) d t = 40 t + 160 \cdot e^{- t / 4} + C

Ballen har ikke falt noe ved $t = 0$ , så $s (0) = 0$ :

0 = 160 + C \Rightarrow C = - 160

s (t) = 40 t + 160 \cdot e^{- t / 4} - 160

Ballen treffer bakken når den har falt $h = 30 m$ , det vil si når $s (t) = 30$ :

40 t + 160 \cdot e^{- t / 4} - 160 = 30

Løst i GeoGebra CAS (se utklipp) gir dette to løsninger, $t = - 2,22$ og $t = 2,73$ . Siden $t$ må være positiv, forkaster vi den negative løsningen:

t \approx 2,73 s

Farten når ballen treffer bakken er

v (2,73) = 40 - 40 \cdot e^{- 2,73 / 4} \approx 19,8 m / s

GeoGebra CAS: løsning av differensiallikning, tid og fart ved bakken, samt startfart i d

Nå er $v (0) = v_{0}$ i stedet for $0$ . Med samme integrerende faktor som i a) får vi

v (t) = 40 + (v_{0} - 40) \cdot e^{- t / 4}

Strekningen blir da

s (t) = \int v (t) d t = 40 t - 4 (v_{0} - 40) \cdot e^{- t / 4} + C

Med $s (0) = 0$ finner vi $C = 4 (v_{0} - 40)$ , som gir

s (t) = 40 t + 4 (v_{0} - 40) (1 - e^{- t / 4})

Ballen skal treffe bakken etter $2$ sekunder, altså $s (2) = 30$ :

40 \cdot 2 + 4 (v_{0} - 40) (1 - e^{- 0,5}) = 30

Løst i GeoGebra CAS (se utklipp) gir dette

v_{0} \approx 8,23 m / s

Oppgavedata

Hentet fra: R2 H2009, del 2, oppgave 5
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Differensiallikning, Modellering, Integrasjon

Ball i fritt fall med luftmotstand

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Ball i fritt fall med luftmotstand

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Ball i fritt fall med luftmotstand

Ball i fritt fall med luftmotstand

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer