En ball med masse $m = 2 \mathrm{~kg}$ slippes fra en høyde $h = 30 \mathrm{~m}$. Vi antar at luftmotstanden er proporsjonal med farten $v$. Fra tidligere forsøk vet vi at den maksimale farten denne ballen kan oppnå når den faller, er $40 \mathrm{~m/s}$. Vi lar tyngdeakselerasjonen være $10 \mathrm{~m/s^2}$.

I denne oppgaven vil vi regne uten benevning.

Bruker vi opplysningene ovenfor sammen med Newtons 2. lov, får vi at farten $v$ må tilfredsstille differensiallikningen

$$v' + \frac{1}{4}v = 10$$

der $v = v(t)$ er farten etter $t$ sekunder.

a)

Forklar at $v(0) = 0$ og løs differensiallikningen.

Etter $t$ sekunder har ballen falt strekningen $s$ gitt ved $s'(t) = v(t)$.

b)

Finn et uttrykk for $s(t)$.

c)

Hvor lang tid tar det før ballen treffer bakken? Hva er farten da?

I stedet for å slippe ballen kaster vi den vertikalt nedover med startfarten $v_0$.

d)

Hva må $v_0$ være for at ballen skal bruke 2 sekunder før den treffer bakken?