Bakeri brød modell og optimering

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Et bakeri baker og selger et populært brød. Tabellen nedenfor viser sammenhengen mellom antall bakte brød per dag og hvor mye det koster å bake brødene.

Antall brød	50	75	100	125	150	175	200	225	250	275
Kostnader (kroner)	650	780	1000	1150	1400	1700	2000	2400	2830	3300

Utsalgsprisen per brød settes til 27 kroner.

Brød fra bakeri

Bruk blant annet tallene i tabellen til å lage en modell for overskuddet til bakeriet dersom de baker og selger $x$ brød per dag.

Bruk modellen fra oppgave a) til å bestemme hvor mange brød de må bake og selge hver dag for at overskuddet skal bli størst mulig. Hvor stort blir dette overskuddet?

Fasit

$O(x) = -0{,}0344x^2 + 26{,}52x - 558$

Størst overskudd ved $x \approx 386$ brød, men dette er utenfor måleområdet (50–275). Innenfor dataene er overskuddet størst ved $x = 275$ brød, med $O(275) \approx 4134$ kr.

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker GeoGebra CAS til å lage en andregradsmodell for kostnadene basert på tabellen. FitPoly-regresjonen gir:

K(x) \approx 0{,}0344x^2 + 0{,}480x + 558

Inntekten er

I(x) = 27x

Overskuddet er inntekt minus kostnader:

O(x) = I(x) - K(x) = 27x - (0{,}0344x^2 + 0{,}480x + 558)

O(x) = -0{,}0344x^2 + 26{,}52x - 558

Vi finner maksimalt overskudd ved å løse $O'(x) = 0$ :

O'(x) = -0{,}0688x + 26{,}52 = 0

x = \frac{26{,}52}{0{,}0688} \approx 386

Da vil overskuddet være $O(386) \approx 4553$ kr.

Men: måleområdet i tabellen er $50 \leq x \leq 275$ . Verdien $x \approx 386$ ligger utenfor dette området – modellen ekstrapolerer forbi dataene, og vi kan ikke være sikre på at den beskriver virkeligheten godt der. Innenfor måleområdet er overskuddet en stigende funksjon (siden toppunktet er ved $x \approx 386 > 275$ ), så overskuddet er størst ved den høyeste dataverdien:

O(275) = -0{,}0344 \cdot 275^2 + 26{,}52 \cdot 275 - 558 \approx 4134 \text{ kr}

Bakeriet bør altså bake og selge 275 brød per dag for å få størst mulig overskudd innenfor det området modellen er pålitelig, og overskuddet vil da være ca. 4134 kroner.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Modellering, Optimering, Funksjoner

Bakeri brød modell og optimering

Sync på tvers av enheter

Bakeri brød modell og optimering

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave