Aritmetisk og geometrisk rekke med betingelser

I en rekke $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}$ er $a_{2} = 8$ og $a_{4} = 2$ .

Bestem summen av de seks første leddene i rekken, dersom den er aritmetisk.

Det fins to geometriske rekker som tilfredsstiller betingelsene ovenfor.

Bestem summen av de seks første leddene i hver av de to geometriske rekkene.

Fasit

$s_{6} = 21$

$s_{6} = \frac{63}{2}$ eller $s_{6} = - \frac{21}{2}$

LøsningsforslagKI-generert

I en aritmetisk rekke er $a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$ . Vi har:

a_{2} = a_{1} + d = 8 og a_{4} = a_{1} + 3 d = 2

Vi trekker den første fra den andre:

2 d = 2 - 8 = - 6 ⟹ d = - 3

a_{1} = 8 - (- 3) = 11

Summen av de seks første leddene:

s_{6} = \frac{6}{2} (2 \cdot 11 + 5 \cdot (- 3)) = 3 (22 - 15) = 21

I en geometrisk rekke er $a_{n} = a_{1} \cdot k^{n - 1}$ . Vi har:

a_{2} = a_{1} k = 8 og a_{4} = a_{1} k^{3} = 2

Vi deler:

\frac{a_{4}}{a_{2}} = k^{2} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} ⟹ k = \pm \frac{1}{2}

Tilfelle 1: $k = \frac{1}{2}$ , da er $a_{1} = \frac{8}{1 / 2} = 16$

s_{6} = 16 \cdot \frac{1 - {(1 / 2)}^{6}}{1 - 1 / 2} = 16 \cdot \frac{1 - 1 / 64}{1 / 2} = 16 \cdot \frac{63 / 64}{1 / 2} = 16 \cdot \frac{63}{32} = \frac{63}{2}

Tilfelle 2: $k = - \frac{1}{2}$ , da er $a_{1} = \frac{8}{- 1 / 2} = - 16$

s_{6} = - 16 \cdot \frac{1 - {(- 1 / 2)}^{6}}{1 - (- 1 / 2)} = - 16 \cdot \frac{1 - 1 / 64}{3 / 2} = - 16 \cdot \frac{63 / 64}{3 / 2} = - 16 \cdot \frac{63}{96} = - \frac{21}{2}

Oppgavedata

Hentet fra: S2 V2022, del 1, oppgave 3
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Rekker
Kompetansemål: Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker

Innstillinger