Vi setter $AD=a$. Da er radien i den store sirkelen

Siden $B$ og $C$ deler $AD$ i tre like store deler, er

Hvordan det svarte området er bygd opp

Buene i figuren er halvsirkler med to ulike radier:

• To store halvsirkler har radius $r_1={\displaystyle \frac{a}{3}}$: én med diameter $AC$ (sentrum i $B$), som buler oppover, og én med diameter $BD$ (sentrum i $C$), som buler nedover.
• To små halvsirkler har radius $r_2={\displaystyle \frac{a}{6}}$: én med diameter $AB$ (sentrum i midtpunktet på $AB$), som buler oppover nær $A$, og én med diameter $CD$ (sentrum i midtpunktet på $CD$), som buler nedover nær $D$.

Alle de fire små og store halvsirklene er tangentielt innskrevet i den store sirkelen i henholdsvis $A$ eller $D$, siden avstanden mellom sentrene alltid er $R-r$.

Ser vi på figuren, er de to små halvsirklene (radius $r_2$, nær $A$ og $D$) hvite — de er “hull” som er klippet ut av de store halvsirklene. Det svarte, S-formede området er altså den store halvsirkelen med diameter $AC$ minus den lille halvsirkelen med diameter $AB$ (en hvit “månesigd” ved $A$), sammen med den store halvsirkelen med diameter $BD$ minus den lille halvsirkelen med diameter $CD$ (tilsvarende hvit månesigd ved $D$).

Areal av det svarte området

Areal av den store sirkelen

Forholdet

Vi kontrollerer i GeoGebra CAS at arealene og forholdet forenkles uavhengig av $a$:

Det betyr at arealet av sirkelen er $3$ ganger så stort som arealet av det svarte området, altså