Annuitetslån med variabel rente og antall terminer

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Svanhild vurderer å ta opp et annuitetslån på 600 000 kroner. Hun kan velge mellom en fast årlig rente på 3,5 % og flytende rente. Lånet har én termin per år med en nedbetalingstid på 20 år. Første innbetaling skjer om ett år.

Forklar hvorfor vi kan bestemme terminbeløpet ved en fast årlig rente på 3,5 % ved å løse følgende likning:

\frac{x}{1{,}035}\left(1 + \frac{1}{1{,}035} + \frac{1}{1{,}035^2} + \cdots + \frac{1}{1{,}035^{19}}\right) = 600\,000

Bestem terminbeløpet ved å løse denne likningen.

Svanhild vurderer å be banken om å endre lånebetingelsene.

Hva er den høyeste renten Svanhild kan ha dersom hun maksimalt kan betale 50 000 kroner i terminbeløp med 20 års nedbetalingstid?

Bankens rådgiver mener at Svanhild må kunne betale en fast årlig rente på 6,5 %. For at Svanhild skal klare en slik rente, må hun øke antall terminer. Lånet har fremdeles én termin per år.

Hvor mange terminer må Svanhild betale dersom terminbeløpet skal være mindre enn 50 000 kroner med en fast årlig rente på 6,5 %?

Fasit

$\underline{\underline{x \approx 42\,216{,}65 \, \mathrm{kr}}}$

$\underline{\underline{r \approx 5{,}45 \,\%}}$

$\underline{\underline{n = 25 \mathrm{~terminer}}}$

LøsningsforslagKI-generert

Svanhild tar opp et lån på $600\,000 \, \mathrm{kr}$ og betaler terminbeløp $x$ per år i 20 år med rente $3{,}5 \,\%$ . Første innbetaling skjer om ett år.

Nåverdien av det første terminbeløpet er $\dfrac{x}{1{,}035}$ , nåverdien av det andre er $\dfrac{x}{1{,}035^2}$ , og så videre. Nåverdien av det siste terminbeløpet (etter 20 år) er $\dfrac{x}{1{,}035^{20}}$ .

Siden summen av nåverdiene av alle terminbeløpene skal tilsvare lånebeløpet, får vi:

\frac{x}{1{,}035} + \frac{x}{1{,}035^2} + \cdots + \frac{x}{1{,}035^{20}} = 600\,000

Vi kan faktorisere ut $\dfrac{x}{1{,}035}$ :

\frac{x}{1{,}035}\left(1 + \frac{1}{1{,}035} + \frac{1}{1{,}035^2} + \cdots + \frac{1}{1{,}035^{19}}\right) = 600\,000

Dette er likningen oppgaven viser. Vi løser den i GeoGebra CAS (se linje 1 i figuren under).

GeoGebra CAS: annuitetslån S2 V2013

GeoGebra gir $x \approx 42\,216{,}65$ .

Terminbeløpet ved $3{,}5 \,\%$ rente er $\underline{\underline{x \approx 42\,216{,}65 \, \mathrm{kr}}}$ .

Vi bruker annuitetsformelen direkte. Terminbeløpet $T$ ved rente $r$ , $n = 20$ terminer og lån $L = 600\,000$ er:

T = \frac{L \cdot r \cdot (1+r)^{n}}{(1+r)^{n} - 1}

Vi ønsker å finne den høyeste renten $r$ slik at $T \leq 50\,000$ . Vi setter opp likningen:

\frac{600\,000 \cdot r \cdot (1+r)^{20}}{(1+r)^{20} - 1} = 50\,000

Vi løser i GeoGebra CAS (se linje 2 i figuren). Den negative løsningen er ikke fysisk meningsfull, og vi beholder $r \approx 0{,}0545$ .

Den høyeste renten er $\underline{\underline{r \approx 5{,}45 \,\%}}$ .

Nå er renten $r = 6{,}5 \,\%$ og lån $L = 600\,000 \, \mathrm{kr}$ . Vi vil finne minste heltall $n$ slik at terminbeløpet $T < 50\,000 \, \mathrm{kr}$ .

Vi setter opp ulikheten $T < 50\,000$ :

\frac{600\,000 \cdot 0{,}065 \cdot 1{,}065^{n}}{1{,}065^{n} - 1} < 50\,000

Vi løser tilhørende likning $T = 50\,000$ (se linje 3 i figuren). GeoGebra gir $n \approx 24{,}04$ .

Vi kan også løse analytisk. La $u = 1{,}065^n$ :

\frac{39\,000 \cdot u}{u - 1} = 50\,000

39\,000 \, u = 50\,000 \, u - 50\,000

50\,000 = 11\,000 \, u \implies u = \frac{50}{11}

1{,}065^n = \frac{50}{11} \implies n = \frac{\ln\!\left(\tfrac{50}{11}\right)}{\ln(1{,}065)} \approx 24{,}04

Siden $n$ må være et heltall og $n \approx 24{,}04$ , er grenseverdien ikke nådd for $n = 24$ . Vi sjekker:

$n = 24$ : $T \approx 50\,038{,}62 \, \mathrm{kr}$ (over grensen)
$n = 25$ : $T \approx 49\,188{,}89 \, \mathrm{kr}$ (under grensen) ✓

Svanhild må betale $\underline{\underline{n = 25 \mathrm{~terminer}}}$ for at terminbeløpet skal være under $50\,000 \, \mathrm{kr}$ .

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Annuitetslån, Rekker, Geometrisk rekke

Annuitetslån med variabel rente og antall terminer

Sync på tvers av enheter

Annuitetslån med variabel rente og antall terminer

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave