Vi finner nullpunktene ved å faktorisere $f(x)=x^2-4x+3$. Vi trenger to tall som har produkt $3$ og sum $-4$: det er $-1$ og $-3$. Da er

$f(x)=0$ når $x=1$ eller $x=3$.

Nullpunktene er $\underline{\underline{x=1\text{ og }x=3}}$.

Symmetrilinjen til grafen til en andregradsfunksjon $f(x)=a{x}^2+bx+c$ er den vertikale linjen $x=-{\displaystyle \frac{b}{2a}}$. Her er $a=1$ og $b=-4$:

Symmetrilinjen er $\underline{\underline{\ell :x=2}}$. (Dette stemmer også med at nullpunktene $x=1$ og $x=3$ ligger symmetrisk om $x=2$.)

Grafen til $f$ er en parabel med bunnpunkt på $\ell$: $f(2)=4-8+3=-1$, altså bunnpunkt $(2,-1)$.

Vi deriverer $f$:

Stigningstallet til tangenten skal være $2$, så vi løser

Tangeringspunktet er $(3,f(3))$, der $f(3)=9-12+3=0$, altså punktet $(3,0)$.

Tangentlikningen (ettpunktsformelen $y-y_0=a(x-x_0)$):

Tangenten i c) er $\underline{\underline{y=2x-6}}$.

b, c og d — skisse

Grafen til $f$, symmetrilinjen $\ell$, og de to tangentene er skissert sammen i koordinatsystemet under.

Tangenten $y=2x-6$ fra c) skjærer $\ell :x=2$ når vi setter $x=2$ inn:

Skjæringspunktet er $P(2,-2)$.

Fra skissen ser vi at den andre tangenten ser ut til å berøre grafen til $f$ i punktet $(1,0)$ og gå gjennom $P(2,-2)$. Stigningstallet leses da av som

Med ettpunktsformelen gjennom $(\mathrm{1,0})$:

Den grafisk bestemte tangentlikningen er $\underline{\underline{y=-2x+2}}$.

Vi sjekker om $x=1$ faktisk gir en tangent som går gjennom $P(2,-2)$.

Stigningstallet til tangenten i $x=1$:

Tangeringspunktet: $f(1)=1-4+3=0$, altså $(1,0)$.

Tangentlikningen:

Vi kontrollerer at denne tangenten går gjennom $P(2,-2)$:

Dette stemmer med $P(2,-2)$. Likningen $y=-2x+2$ som ble funnet grafisk i d), er derfor $\underline{\underline{\text{riktig}}}$.