Andregradsfunksjon fra to tangentlikninger

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Andregradsfunksjon og de to tangentene

Om grafen til en andregradsfunksjon $f$ får du vite at

tangenten i punktet $(- 2,0)$ har likningen $y = 9 x + 18$
tangenten i punktet $(8, - 10)$ har likningen $y = - 11 x + 78$

Bestem $f^{'} (x)$ .

Fasit

$f^{'} (x) = 5 - 2 x$

LøsningsforslagKI-generert

Vi skriver $f (x) = a x^{2} + b x + c$ , slik at $f^{'} (x) = 2 a x + b$ .

En tangent i punktet $(x_{0}, f (x_{0}))$ har stigning $f^{'} (x_{0})$ . Vi bruker betingelsene fra begge tangentene til å sette opp et likningssystem.

Tangenten i $(- 2, 0)$ har likningen $y = 9 x + 18$ :

Stigning: $f^{'} (- 2) = 9$ , altså

2 a \cdot (- 2) + b = 9 ⟹ - 4 a + b = 9 (1)

Tangentpunktet ligger på grafen: $f (- 2) = 0$ , altså

a {(- 2)}^{2} + b (- 2) + c = 0 ⟹ 4 a - 2 b + c = 0 (2)

Tangenten i $(8, - 10)$ har likningen $y = - 11 x + 78$ :

Stigning: $f^{'} (8) = - 11$ , altså

2 a \cdot 8 + b = - 11 ⟹ 16 a + b = - 11 (3)

Tangentpunktet ligger på grafen: $f (8) = - 10$ , altså

a \cdot 64 + b \cdot 8 + c = - 10 ⟹ 64 a + 8 b + c = - 10 (4)

Finn $a$ og $b$ fra (1) og (3):

Vi trekker likning (1) fra likning (3):

16 a + b - (- 4 a + b) = - 11 - 9

20 a = - 20 ⟹ a = - 1

Setter $a = - 1$ inn i (1):

- 4 (- 1) + b = 9 ⟹ 4 + b = 9 ⟹ b = 5

Finn $c$ fra (2):

4 (- 1) - 2 \cdot 5 + c = 0 ⟹ - 4 - 10 + c = 0 ⟹ c = 14

Dermed er $f (x) = - x^{2} + 5 x + 14$ , og

f^{'} (x) = - 2 x + 5

$f^{'} (x) = 5 - 2 x$

Oppgavedata

Hentet fra: 1T H2022, del 1, oppgave 4
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Andregradsfunksjon, Derivasjon, Tangent
Kompetansemål: Utforske samanhengar mellom andregradslikningar og andregradsulikskapar, andregradsfunksjonar og kvadratsetningane og bruke samanhengane i problemløysing
Bruke gjennomsnittleg og momentan vekstfart i konkrete døme og gjere greie for den deriverte

Andregradsfunksjon fra to tangentlikninger

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Andregradsfunksjon fra to tangentlikninger

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Andregradsfunksjon fra to tangentlikninger

Andregradsfunksjon fra to tangentlikninger

Lov på eksamen

Temaer