Andregrads overskuddsfunksjon for osteprodusent og salgspris

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En annen bedrift produserer kun én type oster. Om denne bedriften får du vite følgende:

Det daglige overskuddet $O$ kan beskrives ved hjelp av en andregradsfunksjon $O (x)$ , der $x$ er antall produserte oster.
Overskuddet er størst når de produserer 450 oster per dag.
Overskuddet er på 4400 kroner dersom de produserer 600 oster per dag.
Dersom de en dag ikke produserer noen oster, vil de få et underskudd på 6000 kroner.

Kalkulator

Hvor stort blir overskuddet dersom de produserer 300 oster per dag?

Du får vite at de daglige kostnadene ved å produsere 150 oster er 16 000 kroner.

Kalkulator

Hva er salgsprisen per ost?

Fasit

$O (300) = 4400 kr$

$p = 110 kr$

LøsningsforslagKI-generert

Overskuddsfunksjonen er en andregradsfunksjon $O (x) = a x^{2} + b x + c$ . Vi bruker de tre opplysningene i oppgaveteksten til å bestemme $a$ , $b$ og $c$ :

Uten produksjon ( $x = 0$ ) er det et underskudd på $6000$ kroner: $O (0) = - 6000 \Rightarrow c = - 6000$ .
Overskuddet er størst ved $x = 450$ , altså er toppunktet til parabelen i $x = 450$ : $- \frac{b}{2 a} = 450 \Rightarrow b = - 900 a$ .
Ved $x = 600$ er overskuddet $4400$ kroner: $O (600) = 4400 \Rightarrow 360000 a + 600 b - 6000 = 4400$ .

Vi setter $b = - 900 a$ inn i den siste likningen og løser for $a$ , deretter finner vi $b$ :

\begin{matrix} 360000 a + 600 \cdot (- 900 a) - 6000 & = 4400 \\ 360000 a - 540000 a - 6000 & = 4400 \\ - 180000 a & = 10400 \\ a & = - \frac{10400}{180000} = - \frac{13}{225} \approx - 0,05778 \end{matrix}

b = - 900 \cdot (- \frac{13}{225}) = 52

Dette stemmer med det GeoGebra CAS viser i utklippet under (linje 2), der funksjonen er lagt inn direkte:

O (x) = - \frac{13}{225} x^{2} + 52 x - 6000

CAS-utregning av O(x), O(300), O(150) og salgspris

Overskuddet ved $x = 300$ finner vi ved å sette $x = 300$ inn i $O (x)$ , se linje 3 i CAS-utklippet:

O (300) = - \frac{13}{225} \cdot 300^{2} + 52 \cdot 300 - 6000 = 4400

Det er verdt å legge merke til at $300$ og $600$ ligger like langt fra toppunktet $x = 450$ (henholdsvis $150$ til venstre og $150$ til høyre). Siden en parabel er symmetrisk om toppunktet, må $O (300) = O (600)$ — og $O (600) = 4400$ var jo gitt i oppgaveteksten. Dermed kunne vi funnet svaret uten å regne ut $O (x)$ i det hele tatt.

Overskuddet ved $300$ produserte oster er $4400 kr$ .

Overskudd er inntekt minus kostnad: $O (x) = I (x) - K (x)$ , der $I (x) = p \cdot x$ er inntekten ved salgspris $p$ per ost.

Vi finner først overskuddet ved $150$ oster, se linje 4 i CAS-utklippet:

O (150) = - \frac{13}{225} \cdot 150^{2} + 52 \cdot 150 - 6000 = 500

Kostnaden ved $150$ oster er oppgitt til $K (150) = 16000$ kroner. Da finner vi inntekten:

O (150) = I (150) - K (150) \Rightarrow I (150) = O (150) + K (150) = 500 + 16000 = 16500

Salgsprisen per ost er inntekten delt på antall oster, se linje 5 i CAS-utklippet:

p = \frac{I (150)}{150} = \frac{16500}{150} = 110

Salgsprisen per ost er $110 kr$ .

Oppgavedata

Hentet fra: S1 H2022, del 2, oppgave 4
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 4
Temaer: Andregradsfunksjon, Overskudd, Økonomi, Modellering

Andregrads overskuddsfunksjon for osteprodusent og salgspris

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Andregrads overskuddsfunksjon for osteprodusent og salgspris

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Andregrads overskuddsfunksjon for osteprodusent og salgspris

Andregrads overskuddsfunksjon for osteprodusent og salgspris

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer