Algebra, sannsynlighet og likninger S1 V12

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Skriv så enkelt som mulig

\frac{2}{a - b} + \frac{a - 2 b}{a^{2} - b^{2}}

Bruk konjugatsetningen til å bestemme $99 \cdot 101$

Hvis ${(x + y)}^{2} = 100$ og $x^{2} + y^{2} = 60$ , hva er da produktet $x \cdot y$ ?

Vi kaster to terninger.

Bestem sannsynligheten for at summen av antall øyne blir 10.

Løs likningen

\frac{2}{x - 1} + \frac{3}{x^{2} - 1} = 1 + \frac{6}{x + 1}

Løs likningen

2 \lg (x + 1) = 4

Bruk potensregneregler til å avgjøre hvilket tall som er størst av $2^{75}$ og $3^{50}$

En kinosal har 80 seter. En voksenbillett koster 100 kroner og en barnebillett 60 kroner. Ved en forestilling var salen fullsatt. De samlede billettinntektene var 6 000 kroner.

Hvor mange voksne og hvor mange barn var til stede på forestillingen?

Styret i en ungdomsklubb består av to jenter og fire gutter. To fra styret er invitert til et møte i kommunen for å legge fram klubbens ønsker.

Bestem sannsynligheten for at én gutt og én jente møter dersom de trekkes ut på en tilfeldig måte.

Fasit

1) $\frac{3 a}{a^{2} - b^{2}}$ 2) $9999$ 3) $x \cdot y = 20$

$P = \frac{1}{12}$

1) $x = 2 eller x = - 6$ 2) $x = 99$ 3) $3^{50} er størst$

$30 voksne og 50 barn$

$P = \frac{8}{15}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi setter uttrykkene på felles brøkstrek. Legg merke til at $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ , konjugatsetningen:

\frac{2}{a - b} + \frac{a - 2 b}{a^{2} - b^{2}} = \frac{2 (a + b)}{(a - b) (a + b)} + \frac{a - 2 b}{(a - b) (a + b)} = \frac{2 a + 2 b + a - 2 b}{(a - b) (a + b)} = \frac{3 a}{a^{2} - b^{2}}

Vi skriver $99 = 100 - 1$ og $101 = 100 + 1$ og bruker konjugatsetningen $(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}$ :

99 \cdot 101 = (100 - 1) (100 + 1) = 100^{2} - 1^{2} = 10000 - 1 = 9999

Vi bruker at ${(x + y)}^{2} = x^{2} + 2 x y + y^{2}$ :

100 = {(x + y)}^{2} = x^{2} + 2 x y + y^{2} = (x^{2} + y^{2}) + 2 x y = 60 + 2 x y

2 x y = 40 \Rightarrow x \cdot y = 20

De mulige kombinasjonene av to terninger som gir sum $10$ er $(4,6)$ , $(5,5)$ og $(6,4)$ , altså $3$ av totalt $6 \cdot 6 = 36$ utfall:

P (sum = 10) = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}

Vi merker oss at $x \neq 1$ og $x \neq - 1$ , og at $x^{2} - 1 = (x - 1) (x + 1)$ . Vi multipliserer alle ledd med $(x - 1) (x + 1)$ :

2 (x + 1) + 3 = (x - 1) (x + 1) + 6 (x - 1)

2 x + 2 + 3 = x^{2} - 1 + 6 x - 6

2 x + 5 = x^{2} + 6 x - 7

x^{2} + 4 x - 12 = 0

Vi bruker abc-formelen:

x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2} = \frac{- 4 \pm 8}{2}

Dette gir $x = 2$ eller $x = - 6$ . Begge er gyldige siden ingen av dem er $1$ eller $- 1$ .

Vi løser likningen $2 \lg (x + 1) = 4$ ved først å dele på $2$ :

\lg (x + 1) = 2

x + 1 = 10^{2} = 100

x = 99

Vi skriver om begge potensene med samme eksponent. Siden $sfd (75,50) = 25$ :

2^{75} = {(2^{3})}^{25} = 8^{25} 3^{50} = {(3^{2})}^{25} = 9^{25}

Siden $9 > 8$ , er $9^{25} > 8^{25}$ , altså er $3^{50}$ størst.

La $v$ være antall voksne og $b$ være antall barn. Siden salen er fullsatt med $80$ seter:

v + b = 80

Billettinntektene var $6000$ kroner, med $100$ kroner per voksenbillett og $60$ kroner per barnebillett:

100 v + 60 b = 6000

Fra den første likningen får vi $b = 80 - v$ . Vi setter dette inn i den andre likningen:

100 v + 60 (80 - v) = 6000

100 v + 4800 - 60 v = 6000

40 v = 1200

v = 30

Da er $b = 80 - 30 = 50$ .

Styret har $6$ medlemmer, $2$ jenter og $4$ gutter. Vi trekker $2$ tilfeldig og bruker hypergeometrisk fordeling:

P (1 gutt og 1 jente) = \frac{(\binom{4}{1}) \cdot (\binom{2}{1})}{(\binom{6}{2})} = \frac{4 \cdot 2}{15} = \frac{8}{15}

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 16 poeng

Eksaminanden må bruke konjugatsetningen for få uttelling.
Riktig svar bør gi noe utelling.

En god løsning ser at $2^{75} = {(2^{3})}^{25}$ og $3^{50} = {(3^{2})}^{25}$ for å avgjøre dette spørsmålet.

Oppgavedata

Hentet fra: S1 V2012, del 1, oppgave 1
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 16
Temaer: Rasjonale uttrykk, Konjugatsetningen, Potenser, Sannsynlighet, Likninger, Logaritmer, Likningssystem, Kombinatorikk

Algebra, sannsynlighet og likninger S1 V12

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Algebra, sannsynlighet og likninger S1 V12

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Algebra, sannsynlighet og likninger S1 V12

Algebra, sannsynlighet og likninger S1 V12

Lov på eksamen

Temaer