Romfartøy i sirkelbane og reise til Proxima Centauri B

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Et romfartøy med masse $950 k g$ går i en sirkelbane med radius $20 000 k m$ rundt jorda.

Romfartøy med fart v0 i sirkelbane med radius 20 000 km rundt jorda

Kalkulator

Vis at banefarten til romfartøyet $v_{0} = 4,46 k m / s$ .

Kalkulator

Hvor mye energi må tilføres romfartøyet for at det skal unnslippe gravitasjonsfeltet til jorda? Se bort fra alle andre gravitasjonsfelt enn gravitasjonsfeltet til jorda.

Vi tenker oss videre at romfartøyet reiser med en konstant fart $0,80 c$ fra vårt solsystem til planeten Proxima Centauri B. I vårt referansesystem er planeten $4,0 \cdot 10^{16} m$ unna vårt solsystem.

Kalkulator

Hvor lang tid vil ei klokke om bord i romfartøyet vise at reisen tar?

I sitt eget referansesystem er Proxima Centauri B kuleformet med en radius $9,8 \cdot 10^{7} m$ . Romfartøyet passerer planeten med en rettlinjet fart. Farten er $0,80 c$ i forhold til planeten.

Romfartøy som passerer Proxima Centauri B med fart 0,80c, med høyde og bredde markert

Kalkulator

Hvor høy og hvor bred er planeten målt i romfartøyet sitt referansesystem?

Fasit

$v_{0} = \sqrt{\frac{γ M}{r}} = 4,46 k m / s$

$Δ E = 9,46 \cdot 10^{9} J$

$t_{0} = 1,0 \cdot 10^{8} s \approx 3,2 år$

Høyde $2,0 \cdot 10^{8} m$ og bredde $1,2 \cdot 10^{8} m$

LøsningsforslagKI-generert

Den eneste kraften på romfartøyet er gravitasjonskraften fra jorda. Den peker hele tiden mot jordas sentrum og er sentripetalkraften som holder fartøyet i sirkelbanen:

γ \frac{M m}{r^{2}} = m \frac{v_{0}^{2}}{r}

Massen $m$ til romfartøyet forkortes bort, og vi får

v_{0} = \sqrt{\frac{γ M}{r}} = \sqrt{\frac{6,67 \cdot 10^{- 11} N m^{2} / k g^{2} \cdot 5,97 \cdot 10^{24} k g}{2,0 \cdot 10^{7} m}} = 4,46 \cdot 10^{3} m / s = 4,46 k m / s

Nullnivået for potensiell energi i gravitasjonsfeltet er uendelig langt borte. Fartøyet unnslipper hvis det kan komme uendelig langt bort og fortsatt ha en fart større enn eller lik null, altså hvis den totale mekaniske energien er minst null.

I sirkelbanen er

E_{k} = \frac{1}{2} m v_{0}^{2} og E_{p} = - γ \frac{M m}{r} = - m v_{0}^{2},

der vi har brukt $v_{0}^{2} = \frac{γ M}{r}$ fra a). Den totale mekaniske energien i banen er dermed

E = \frac{1}{2} m v_{0}^{2} - m v_{0}^{2} = - \frac{1}{2} m v_{0}^{2}

For å komme opp til $E = 0$ må vi tilføre

Δ E = \frac{1}{2} m v_{0}^{2} = \frac{1}{2} \cdot 950 k g \cdot {(4,462 \cdot 10^{3} m / s)}^{2} = 9,46 \cdot 10^{9} J

Energien som må tilføres, er altså like stor som den kinetiske energien fartøyet allerede har i banen.

I vårt referansesystem tar reisen

t = \frac{s}{v} = \frac{4,0 \cdot 10^{16} m}{0,80 \cdot 3,00 \cdot 10^{8} m / s} = 1,67 \cdot 10^{8} s

Avreisen og ankomsten skjer på samme sted i romfartøyets referansesystem (der klokka er i ro), så klokka om bord måler egentiden $t_{0}$ . Tiden vi måler, er forlenget (tidsdilatasjon) med lorentzfaktoren

γ = \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{v}{c})}^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{1 - {0,80}^{2}}} = \frac{1}{0,60} = 1,667

(her betyr $γ$ lorentzfaktoren, ikke gravitasjonskonstanten). Fra $t = γ t_{0}$ får vi

t_{0} = \frac{t}{γ} = 1,67 \cdot 10^{8} s \cdot 0,60 = 1,0 \cdot 10^{8} s

Det svarer til omtrent $3,2$ år.

Lengdekontraksjon skjer bare i bevegelsesretningen. Lengder vinkelrett på den relative farten er de samme i begge referansesystemene.

Høyden står vinkelrett på farten og er uendret, lik diameteren til planeten:

h = 2 \cdot 9,8 \cdot 10^{7} m = 1,96 \cdot 10^{8} m \approx 2,0 \cdot 10^{8} m

Bredden ligger langs fartsretningen. Egenlengden er diameteren $L_{0} = 1,96 \cdot 10^{8} m$ , og målt fra romfartøyet blir den forkortet:

L = \frac{L_{0}}{γ} = L_{0} \sqrt{1 - {(\frac{v}{c})}^{2}} = 1,96 \cdot 10^{8} m \cdot 0,60 = 1,18 \cdot 10^{8} m \approx 1,2 \cdot 10^{8} m

Målt fra romfartøyet er planeten altså flattrykt i fartsretningen.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 8 poeng

1 poeng: Bruker $v = \sqrt{\frac{γ M}{r}}$ uten å starte med N. 2 lov.

1 poeng: Identifiserer at total mekanisk energi skal være lik null, og bruker dette i beregninger med bevaring av mekanisk energi.

1 poeng: Bruker likningene for relativistisk tid og lengde, men forveksler referansesystemene.

1 poeng for hvert riktig svar
Ikke trekk for å glemme å gange radius med 2

Vedlegg

Vedleggene i oppgavesettet til Fysikk 2 V2025. De kunne brukes på hele eksamen, også del 1 (om hjelpemidlene).

Åpne på egen side: Faktavedlegg · Formelvedlegg · Programmeringsvedlegg

Oppgavedata

Hentet fra: Fysikk 2 V2025, del 2, oppgave 3
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 8
Temaer: Gravitasjon, Satellittbaner, Energibevaring, Relativitetsteori

Romfartøy i sirkelbane og reise til Proxima Centauri B

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Romfartøy i sirkelbane og reise til Proxima Centauri B

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Romfartøy i sirkelbane og reise til Proxima Centauri B

Romfartøy i sirkelbane og reise til Proxima Centauri B

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer