Logistisk modell for smittsom sykdom

I et område er det brutt ut en smittsom sykdom. Antall personer som blir smittet per uke, kan modelleres med en logistisk funksjon $g$ der

g(t) = \frac{N}{1 + ae^{-kt}}

Her er $N$ , $a$ og $k$ reelle tall, og $g(t)$ er antall personer som blir smittet per uke, $t$ uker etter at sykdommen brøt ut.

Tabellen nedenfor viser $g(t)$ for noen verdier av $t$ .

$t$	0	5	12
$g(t)$	200	2000	9 000

Bruk regresjon til å bestemme $N$ , $a$ og $k$ i uttrykket $g(t)$ .

Nærmere undersøkelser viser at

f(t) = \frac{10000}{1 + 50e^{-0{,}5t}}

er en god modell for antallet som blir smittet per uke, $t$ uker etter at sykdommen brøt ut.

Bruk graftegner til å tegne grafen til $f$ . Bruk grafen til å bestemme når antall smittede personer per uke er 7000.

Bruk CAS til å bestemme $\displaystyle\int_0^{12} f(t)\,dt$ . Hva forteller dette svaret oss?

Hvor mange uker vil det gå før det totale antallet personer som er smittet, overstiger 15 000?

Fasit

$N \approx 10\,095$ , $a \approx 49{,}5$ , $k \approx 0{,}50$

Antall smittede per uke er 7000 etter $\underline{\underline{t \approx 9{,}5 \text{ uker}}}$

$\underline{\underline{\int_0^{12} f(t)\,\mathrm{d}t \approx 43\,700}}$ — totalt antall smittede fra uke 0 til uke 12

$\underline{\underline{T \approx 8{,}1 \text{ uker}}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi legger de tre datapunktene $(0,\, 200)$ , $(5,\, 2000)$ og $(12,\, 9000)$ inn i regnearket i GeoGebra, markerer dem og velger Regresjonsanalyse → Logistisk regresjon.

GeoGebra gir:

g(t) = \frac{N}{1 + ae^{-kt}} \approx \frac{10\,095}{1 + 49{,}5 \cdot e^{-0{,}50t}}

$N \approx 10\,095$ , $a \approx 49{,}5$ , $k \approx 0{,}50$

(Oppgaveteksten opplyser at $f(t) = \dfrac{10\,000}{1 + 50e^{-0{,}5t}}$ er en god tilnærming, noe som stemmer godt med regresjonsresultatet.)

Vi skriver inn funksjonen i GeoGebra:

f(t) = 10000 / (1 + 50 * exp(-0.5 * t))

Deretter tegner vi linjen $y = 7000$ og finner skjæringspunktet med $f$ .

GeoGebra gir skjæringspunktet $(9{,}52,\; 7000)$ .

Antall smittede per uke er 7000 etter $\underline{\underline{t \approx 9{,}5 \text{ uker}}}$ .

I CAS skriver vi:

f(t) := 10000 / (1 + 50 * e^(-0.5 * t))
Integral(f, t, 0, 12)

CAS gir:

\int_0^{12} f(t)\,\mathrm{d}t \approx \underline{\underline{43\,700}}

Tolkning: Siden $f(t)$ angir antall nye smittede per uke og vi integrerer over $t \in [0, 12]$ uker, gir integralet det totale antallet personer som ble smittet fra uke 0 til uke 12. Det vil si at omtrent 43 700 personer ble smittet i løpet av de første 12 ukene.

Vi skal finne $T$ slik at totalt antall smittede overstiger 15 000, altså løse:

\int_0^T f(t)\,\mathrm{d}t = 15\,000

I CAS (numerisk) skriver vi:

NLøs({Integral(f, 0, T) = 15000}, {T})

CAS gir $T \approx 8{,}12$ .

Det vil gå $\underline{\underline{\text{drøyt } 8 \text{ uker}}}$ før totalt 15 000 personer er smittet.

Oppgavedata

Hentet fra: S2 V2017, del 2, oppgave 4
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 8
Temaer: Logistisk vekst, Regresjon, Bestemt integral, Modellering

Logistisk modell for smittsom sykdom

Sync på tvers av enheter

Logistisk modell for smittsom sykdom

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave