Pensjonssparing med faste innbetalinger og uttak

Ingrid inngår en pensjonsavtale der hun skal spare 20 000 kroner i året. Den første innbetalingen skjer 1. januar 2018. Den siste innbetalingen skjer 1. januar 2052. Hun får en fast rente på $3{,}00 \text{ \%}$ per år.

Bruk CAS til å vise at Ingrid vil ha 1 209 242 kroner på konto rett etter siste innbetaling.

Ingrid planlegger å ta ut et fast beløp hvert år. Det første uttaket vil hun gjøre 1. januar 2053 og det siste uttaket 1. januar 2067. Da skal kontoen være tom. Hun regner med en rente på $3{,}00 \text{ \%}$ per år.

Hvor mye kan hun ta ut per år?

Ingrid synes det er tilstrekkelig å ta ut 80 000 kroner i året fra og med 1. januar 2053.

Bruk CAS til å bestemme når kontoen vil være tom i dette tilfellet.

Fasit

$\underline{\underline{S = 1\,209\,242 \, \mathrm{kr}}}$

$\underline{\underline{u \approx 101\,294 \, \mathrm{kr}}}$

Kontoen tømmes i 2073

LøsningsforslagKI-generert

Vi setter $b = 20\,000$ (årlig innbetaling) og $r = 1{,}03$ (vekstfaktor). Første innbetaling skjer 1. januar 2018 og siste 1. januar 2052 — det er 35 innbetalinger totalt (fra 2018 til og med 2052).

Rett etter siste innbetaling har den første innbetalingen rukket å vokse i 34 år, den andre i 33 år, osv., og den siste er nettopp satt inn. Summen er:

S = b \cdot r^{34} + b \cdot r^{33} + \cdots + b \cdot r + b = b \sum_{i=0}^{34} r^i

I CAS skriver vi:

\texttt{b := 20000}

\texttt{r := 1{,}03}

\texttt{S := b * Sum(r\^{}i, i, 0, 34)}

\texttt{Avrund(S, 0)}

CAS gir $S = \mathbf{\underline{\underline{1\,209\,242 \, \mathrm{kr}}}}$

Rett etter siste innbetaling (1. januar 2052) har Ingrid $I = 1\,209\,242 \, \mathrm{kr}$ på konto. La $u$ være det ukjente faste årlige uttaket. Pengene fortsetter å vokse med $r = 1{,}03$ mellom hvert uttak.

Vi setter opp hva som er igjen på kontoen år for år etter første uttak:

År	Saldo
1. jan. 2052	$I$
1. jan. 2053 (etter uttak 1)	$I \cdot r - u$
1. jan. 2054 (etter uttak 2)	$I \cdot r^2 - u(r + 1)$
$\vdots$	$\vdots$
1. jan. 2067 (etter uttak 15)	$I \cdot r^{15} - u \displaystyle\sum_{i=0}^{14} r^i$

Kontoen skal være tom etter siste uttak i 2067, så vi løser:

I \cdot r^{15} - u \sum_{i=0}^{14} r^i = 0

I CAS:

\texttt{I := 1209242}

\texttt{Løs(I * r\^{}15 - u * Sum(r\^{}i, i, 0, 14) = 0, u)}

CAS gir $u \approx \mathbf{\underline{\underline{101\,294 \, \mathrm{kr}}}}$

Nå er $u = 80\,000 \, \mathrm{kr}$ per år. Vi bruker samme uttrykk for saldo etter $n$ uttak (fra og med 2053):

P_n = I \cdot r^{n} - u \sum_{i=0}^{n-1} r^i = 0

I CAS løser vi for $n$ :

\texttt{Løs(I * r\^{}n - 80000 * Sum(r\^{}i, i, 0, n-1) = 0, n)}

CAS gir $n \approx 20{,}44$ , altså er kontoen tom 20,44 år etter 1. januar 2053 — som tilsvarer omtrent midten av 2073.

Vi sjekker: etter 19 uttak (dvs. etter uttak i 2071) er det $\approx 111\,063 \, \mathrm{kr}$ igjen. Etter 20 uttak (2072) er det $\approx 34\,395 \, \mathrm{kr}$ igjen — nok til å ta ut hele uttaket i 2072, men ikke et fullt uttak i 2073. I 2073 tar Ingrid ut de resterende $34\,395 \, \mathrm{kr}$ og kontoen er tom.

Kontoen tømmes i $\mathbf{\underline{\underline{2073}}}$ .

Oppgavedata

Hentet fra: S2 V2017, del 2, oppgave 2
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Geometrisk rekke, Sparing, Cas

Pensjonssparing med faste innbetalinger og uttak

Sync på tvers av enheter

Pensjonssparing med faste innbetalinger og uttak

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave