Wikipedia-artikler og logistisk modell

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Tabellen nedenfor viser det totale antallet artikler som var tilgjengelige på Wikipedia noen utvalgte år.

År	2002	2004	2006	2008	2010	2012
Antall artikler	19 700	188 800	895 000	2 153 000	3 144 000	3 835 000

Basert på disse tallene påstår en journalist at i 2020 vil antallet tilgjengelige artikler være rundt 7 millioner. En annen journalist påstår at antall artikler vil stabilisere seg på rundt 4 millioner.

Vurder hvilke matematiske modeller journalistene kan ha brukt for å komme fram til disse tallene.

En modell for antall tilgjengelige artikler er gitt ved en funksjon $g$ . Økningen av antall artikler (i millioner) per år er ifølge denne modellen

g'(x) = \frac{576 \, e^{-0{,}68x}}{(1 + 211 e^{-0{,}68x})^2}

Her er $x$ antall år etter 2000.

Bruk graftegner til å bestemme hvilket år antall artikler vokste raskest, ifølge denne modellen.

Bestem $\displaystyle\int_0^{15} g'(x)\,dx$

Hva er den praktiske tolkningen av dette svaret?

Fasit

Lineær modell: $f(x) = 417\,144x - 1\,214\,093$ , gir $f(20) \approx 7\,13$ mill. Logistisk modell: $g(x) = \frac{4\,008\,254}{1 + 211{,}4052 \cdot e^{-0{,}6801x}}$ , har grenseverdi $\approx 4{,}008$ mill.

$g'(x)$ er størst for $x \approx 7{,}87$ , det vil si i år 2007.

$\displaystyle\int_0^{15} g'(x)\,dx \approx 3{,}96$ mill. Tolkning: antall Wikipedia-artikler økte med ca. 3,96 millioner fra 2000 til 2015.

LøsningsforslagKI-generert

Lineær og logistisk modell for Wikipedia-artikler

Vi setter $x$ = antall år etter 2000 og antall artikler i millioner. Datapunktene fra tabellen er:

$x$	2	4	6	8	10	12
Artikler (mill)	0,0197	0,1888	0,8950	2,1530	3,1440	3,8350

Lineær regresjonsmodell:

Lineær regresjon på datapunktene gir:

f(x) = 417\,144x - 1\,214\,093

For 2020 ( $x = 20$ ):

f(20) = 417\,144 \cdot 20 - 1\,214\,093 \approx 7\,128\,792 \approx 7{,}13 \text{ mill}

Dette stemmer med journalistens påstand om ca. 7 millioner i 2020. Journalisten som spår 7 millioner, kan altså ha brukt en lineær modell.

Logistisk regresjonsmodell:

Logistisk regresjon gir en modell på formen $g(x) = \dfrac{L}{1 + A \cdot e^{-kx}}$ , med tilnærmede parameterverdier:

g(x) = \frac{4\,008\,254}{1 + 211{,}4052 \cdot e^{-0{,}6801x}}

Når $x \to \infty$ nærmer $g(x)$ seg grenseverdien $L \approx 4\,008\,254 \approx 4{,}0$ millioner. Dette stemmer med journalistens påstand om at antallet vil stabilisere seg på rundt 4 millioner. Journalisten som spår stabilisering, kan ha brukt en logistisk modell.

Antall artikler vokser raskest der $g'(x)$ har sitt største verdi (toppunkt). Vi tegner grafen til

g'(x) = \frac{576\,e^{-0{,}68x}}{(1 + 211\,e^{-0{,}68x})^2}

og avleser maksimum med graftegner. Toppunktet ligger ved $x \approx 7{,}87$ .

x \approx 7{,}87 \implies \text{år} = 2000 + 7{,}87 \approx \textbf{2007}

Ifølge modellen vokste antall Wikipedia-artikler raskest i år 2007.

Vi beregner det bestemte integralet:

\int_0^{15} g'(x)\,dx

Ved analysens fundamentalteorem er dette lik $g(15) - g(0)$ . Vi bruker graftegner til å beregne integralet numerisk:

\int_0^{15} g'(x)\,dx \approx 3{,}96

Praktisk tolkning: Integralet av $g'(x)$ over $[0, 15]$ gir den samlede endringen i antall Wikipedia-artikler fra $x = 0$ (år 2000) til $x = 15$ (år 2015). Svaret $\approx 3{,}96$ millioner betyr at antall tilgjengelige Wikipedia-artikler økte med ca. 3,96 millioner i perioden 2000–2015.

Oppgavedata

Hentet fra: S2 V2016, del 2, oppgave 1
Kategori: 2
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Logistisk vekst, Modellering, Integrasjon

Wikipedia-artikler og logistisk modell

Sync på tvers av enheter

Wikipedia-artikler og logistisk modell

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave