Sannsynlighetsfordeling med likningssystem (s2 v15)

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En stokastisk variabel $X$ har følgende sannsynlighetsfordeling:

$x$	0	1	2
$P(X)$	$a$	$b$	$c$

Vi får oppgitt at forventningsverdien $\text{E}(X) = \dfrac{1}{2}$ og variansen $\text{Var}(X) = \dfrac{1}{2}$ .

Vis at disse opplysningene gir likningssystemet

\begin{cases} a + b + c = 1 \\ b + 2c = \dfrac{1}{2} \\ a + b + 9c = 2 \end{cases}

Bestem ved regning verdien av $a$ , $b$ og $c$ .

Fasit

Se løsningsforslag.

$a = \dfrac{5}{8}$ , $b = \dfrac{1}{4}$ , $c = \dfrac{1}{8}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker tre kjente egenskaper for sannsynlighetsfordelinger.

Likning i: Summen av alle sannsynligheter er 1:

a + b + c = 1

Likning ii: Forventningsverdien er $\text{E}(X) = \sum x \cdot P(X = x)$ :

\text{E}(X) = 0 \cdot a + 1 \cdot b + 2 \cdot c = b + 2c

Siden $\text{E}(X) = \dfrac{1}{2}$ får vi:

b + 2c = \frac{1}{2}

Likning iii: Variansen er $\text{Var}(X) = \sum (x - \mu)^2 \cdot P(X = x)$ der $\mu = \text{E}(X) = \dfrac{1}{2}$ :

\text{Var}(X) = \left(0 - \frac{1}{2}\right)^2 \cdot a + \left(1 - \frac{1}{2}\right)^2 \cdot b + \left(2 - \frac{1}{2}\right)^2 \cdot c

= \frac{1}{4}a + \frac{1}{4}b + \frac{9}{4}c

Siden $\text{Var}(X) = \dfrac{1}{2}$ gir dette $\dfrac{1}{4}a + \dfrac{1}{4}b + \dfrac{9}{4}c = \dfrac{1}{2}$ . Ganger vi med 4:

a + b + 9c = 2

Dermed er likningssystemet vist:

\begin{cases} a + b + c = 1 \\ b + 2c = \dfrac{1}{2} \\ a + b + 9c = 2 \end{cases}

Vi trekker likning i fra likning iii:

(a + b + 9c) - (a + b + c) = 2 - 1 \implies 8c = 1 \implies c = \frac{1}{8}

Setter $c = \dfrac{1}{8}$ inn i likning ii:

b + 2 \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{2} \implies b + \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \implies b = \frac{1}{4}

Setter inn i likning i:

a + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = 1 \implies a = 1 - \frac{3}{8} = \frac{5}{8}

a = \frac{5}{8}, \quad b = \frac{1}{4}, \quad c = \frac{1}{8}

Oppgavedata

Hentet fra: S2 V2015, del 1, oppgave 6
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Diskrete sannsynlighetsfordelinger, Forventningsverdi, Varians, Likningssystem

Sync på tvers av enheter