Lines sparing og annuitetslån til drømmebilen

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Line arver 100 000 kroner og vil spare pengene til en ny bil. I begynnelsen av et år setter hun dette beløpet på en konto med fast årlig rente på 4,5 %. I tillegg bestemmer hun seg for å sette 12 000 kroner inn på kontoen i begynnelsen av hvert av de neste årene.

Hvor mye penger står det på kontoen etter 3 år?

Hvor mange år må hun spare dersom det skal stå 200 000 kroner på kontoen?

For å få råd til «drømmebilen» må hun likevel låne 150 000 kroner til en rente på 6,0 % per år. Hun vil bruke 5 år på å betale ned lånet. Det første avdraget betaler hun ett år etter låneopptaket.

Hvor mye må hun betale hvert år?

Line synes at det årlige beløpet blir altfor høyt. Hun vil betale halvparten så mye hvert år.

Hvor lang tid tar det før lånet da er nedbetalt, dersom renten fortsatt er 6,0 % per år?

Fasit

$\underline{\underline{139\,760{,}91 \, \mathrm{kr}}}$

$\underline{\underline{7 \text{~år}}}$

$\underline{\underline{35\,609{,}46 \, \mathrm{kr}}}$

$\underline{\underline{13 \text{~år}}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker GeoGebra CAS til å løse oppgavene.

GeoGebra CAS – Lines sparing og annuitetslån

Startinnskuddet på $100\,000 \, \mathrm{kr}$ settes inn i begynnelsen av år 1 og vokser med rente i 3 år. I tillegg settes $12\,000 \, \mathrm{kr}$ inn i begynnelsen av år 2 (vokser 2 år) og i begynnelsen av år 3 (vokser 1 år).

S = 100\,000 \cdot 1{,}045^3 + 12\,000 \cdot 1{,}045^2 + 12\,000 \cdot 1{,}045

GeoGebra CAS gir (linje 3):

S = 139\,760{,}91 \, \mathrm{kr}

Det står $\underline{\underline{139\,760{,}91 \, \mathrm{kr}}}$ på kontoen etter 3 år.

Vi setter opp et uttrykk for saldoen etter $n$ år og løser likningen $S(n) = 200\,000$ . Etter $n$ år har startinnskuddet vokst $n$ år, og de $n-1$ ekstrainnskuddene (satt inn i begynnelsen av år 2, 3, …, $n$ ) har vokst fra $n-1$ til 1 år:

100\,000 \cdot 1{,}045^n + 12\,000 \cdot \bigl(1{,}045^{n-1} + \cdots + 1{,}045\bigr) = 200\,000

Dette tilsvarer (geometrisk rekke):

100\,000 \cdot 1{,}045^n + 12\,000 \cdot \frac{1{,}045^n - 1{,}045}{1{,}045 - 1} = 200\,000

Vi prøver oss frem og finner at saldoen passerer $200\,000 \, \mathrm{kr}$ etter 7 år (ved $n = 6$ er saldoen ca. $198\,829 \, \mathrm{kr}$ , ved $n = 7$ er den ca. $220\,316 \, \mathrm{kr}$ ).

Line må spare i $\underline{\underline{7 \text{~år}}}$ for at det skal stå $200\,000 \, \mathrm{kr}$ på kontoen.

Vi bruker annuitetsformelen for å finne terminbeløpet $T$ som nedbetaler lånet $L = 150\,000 \, \mathrm{kr}$ med rente $r = 6{,}0\,\%$ per år over $n = 5$ terminer:

T = \frac{L \cdot r}{1 - (1+r)^{-n}} = \frac{150\,000 \cdot 0{,}06}{1 - 1{,}06^{-5}}

GeoGebra CAS gir (linje 5):

T = 35\,609{,}46 \, \mathrm{kr}

Line må betale $\underline{\underline{35\,609{,}46 \, \mathrm{kr}}}$ hvert år.

Line ønsker å betale halvparten, det vil si:

T_{\text{halv}} = \frac{35\,609{,}46}{2} \approx 17\,804{,}73 \, \mathrm{kr}

Vi setter opp likningen og løser for $n$ (GeoGebra CAS, linje 7):

\frac{150\,000 \cdot 0{,}06}{1 - 1{,}06^{-n}} = 17\,804{,}73

n \approx 12{,}08

Siden $n$ må være et helt antall terminer, og lånet ikke er nedbetalt etter 12 terminer, trenger hun 13 terminer.

Det tar $\underline{\underline{13 \text{~år}}}$ å betale ned lånet med halvt terminbeløp.

Oppgavedata

Hentet fra: S2 V2012, del 2, oppgave 3
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 8
Temaer: Sparing, Annuitetslån, Rente, Rekker

Lines sparing og annuitetslån til drømmebilen

Sync på tvers av enheter

Lines sparing og annuitetslån til drømmebilen

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave