Maraton regresjon og logistisk modell

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I 1992 skrev forskerne Ward og Whipp en artikkel i tidsskriftet Nature. De brukte regresjon til å hevde at de beste kvinnelige løperne før eller siden vil løpe like raskt som de mannlige på maratondistansen.

I tabellene ser du gjennomsnittsfarten for verdensrekordløp i maraton for noen år.

Menn:

Årstall	1909	1913	1920	1935	1960	1970	1988
Fart (m/s)	4,38	4,51	4,61	4,81	5,20	5,43	5,55

Kvinner:

Årstall	1963	1967	1970	1973	1975	1979	1985
Fart (m/s)	3,24	3,75	3,85	4,22	4,44	4,77	4,98

Lag lineære modeller $f$ og $g$ for farten til menn og kvinner. La $x$ være antall år etter 1900.

Hvilket år vil kvinner løpe like raskt som menn, ifølge modellene?

Raskeste mannlige løper (Dennis Kimetto) løp i 2014 med en gjennomsnittsfart på $5{,}72 \mathrm{~m/s}$ , mens beste kvinnelige løper (Tirfi Tsegaye) samme år løp med en gjennomsnittsfart på $5{,}01 \mathrm{~m/s}$ .

Hvordan vurderer du gyldigheten til modellene ovenfor ut fra disse resultatene?

En logistisk modell for gjennomsnittlig maratonfart (i m/s) for mennenes rekordløp $x$ år etter 1900 er gitt ved:

h(x) = \frac{6{,}65}{1 + 0{,}751 e^{-0{,}012x}}

Vi tenker oss at vi kan bruke den logistiske modellen også etter år 2000. Hvilket år vil da maraton første gang bli løpt på under to timer? Maratondistansen er 42 195 m.

Fasit

$f(x) = 0{,}015x + 4{,}293$ (menn), $g(x) = 0{,}081x - 1{,}745$ (kvinner)

Kvinner løper like raskt som menn i år 1991 ( $x \approx 91{,}6$ )

Modellene er dårlige ved ekstrapolering. For menn: modellen gir $f(114) \approx 6{,}01$ mot faktisk $5{,}72$ (avvik $5\,\%$ ). For kvinner: $g(114) \approx 7{,}49$ mot faktisk $5{,}01$ (avvik $\approx 49\,\%$ ). Spesielt kvinnemodellen er uegnet utenfor dataintervallet.

Maratonfart $\approx 5{,}86\,\text{m/s}$ oppnås av den logistiske modellen ved $x \approx 143$ , dvs. år 2043.

LøsningsforslagKI-generert

Lineær regresjon for maratonfart

Vi legger inn datapunktene i et digitalt verktøy og utfører lineær regresjon. La $x$ være antall år etter 1900.

Menn:

f(x) = 0{,}015x + 4{,}293

Kvinner:

g(x) = 0{,}081x - 1{,}745

Vi finner skjæringspunktet mellom $f$ og $g$ :

0{,}015x + 4{,}293 = 0{,}081x - 1{,}745

4{,}293 + 1{,}745 = 0{,}081x - 0{,}015x

6{,}038 = 0{,}066x

x \approx 91{,}5

Det vil si at modellene spår at kvinner løper like raskt som menn omtrent $91{,}5$ år etter 1900, altså rundt år 1991.

Vi beregner hva modellene gir i 2014 ( $x = 114$ ):

f(114) = 0{,}015 \cdot 114 + 4{,}293 \approx 6{,}01\,\text{m/s}

g(114) = 0{,}081 \cdot 114 - 1{,}745 \approx 7{,}49\,\text{m/s}

Faktiske rekorder i 2014 var $5{,}72\,\text{m/s}$ (menn) og $5{,}01\,\text{m/s}$ (kvinner). Avvikene er henholdsvis ca. $5\,\%$ og ca. $49\,\%$ .

Modellene er lineære og basert på relativt få datapunkter over et begrenset tidsintervall. De passer godt innenfor dataintervallet, men ekstrapolering langt frem i tid er upålitelig. Det er ikke rimelig å anta at farten kan øke lineært uten begrensning — en løper kan ikke holde vilkårlig høy fart. Kvinnemodellen er spesielt unøyaktig fordi den er basert på en periode med rask fremgang som ikke fortsatte.

For en sub-2-times maraton må gjennomsnittsfarten være:

v = \frac{42\,195\,\text{m}}{2 \cdot 3600\,\text{s}} = \frac{42\,195}{7200} \approx 5{,}86\,\text{m/s}

Den logistiske modellen er:

h(x) = \frac{6{,}65}{1 + 0{,}751\,e^{-0{,}012x}}

Vi setter $h(x) = 5{,}86$ :

\frac{6{,}65}{1 + 0{,}751\,e^{-0{,}012x}} = 5{,}86

1 + 0{,}751\,e^{-0{,}012x} = \frac{6{,}65}{5{,}86} \approx 1{,}1348

0{,}751\,e^{-0{,}012x} \approx 0{,}1348

e^{-0{,}012x} \approx \frac{0{,}1348}{0{,}751} \approx 0{,}1795

-0{,}012x = \ln(0{,}1795) \approx -1{,}717

x \approx \frac{1{,}717}{0{,}012} \approx 143

Ifølge den logistiske modellen vil maraton første gang kunne løpes på under to timer ved $x \approx 143$ , dvs. rundt år 2043.

Oppgavedata

Hentet fra: S2 H2015, del 2, oppgave 2
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 8
Temaer: Regresjon, Logistisk vekst, Modellering, Lineære funksjoner

Maraton regresjon og logistisk modell

Sync på tvers av enheter

Maraton regresjon og logistisk modell

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave