Villrein felt under jakt – logistisk funksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Det årlige antall villrein felt under jakt i årene etter 1980 kan beskrives ved funksjonen

f(x) = \frac{13132}{1 + 0{,}20 \cdot e^{0{,}07x}}

Her er $x$ antall år etter 1980.¹

Hvor mange dyr ble felt i 2010 ifølge denne modellen?

Bruk $f'(x)$ til å vise at det stadig felles færre dyr årlig.

Bestem eventuelle vendepunkter på grafen til $f$ . Hva forteller resultatet oss?

Tegn grafen til $f$ . Hvor mange villrein ble felt totalt i årene fra og med 1980 til og med 2010 ifølge denne modellen?

Fasit

$\underline{\underline{f(30) \approx 4987 \mathrm{~dyr}}}$

$f'(x) < 0$ for alle $x$ siden telleren alltid er negativ og nevneren alltid positiv.

Vendepunkt i $x = \dfrac{\ln 5}{0{,}07} \approx 23$ , dvs. ca. år 2003. $f(23) = 6566 \mathrm{~dyr}$ .

$\displaystyle\int_0^{30} f(x)\,\mathrm{d}x \approx \underline{\underline{246\,527 \mathrm{~dyr}}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi setter $x = 30$ (år 2010 er 30 år etter 1980):

f(30) = \frac{13132}{1 + 0{,}20 \cdot e^{0{,}07 \cdot 30}}

GeoGebra CAS gir $f(30) \approx 4987$ .

Ifølge modellen ble det felt omtrent $\underline{\underline{4987 \mathrm{~villrein}}}$ i 2010.

Vi deriverer $f(x) = \dfrac{13132}{1 + 0{,}20 \cdot e^{0{,}07x}}$ med kvotientregelen. La $u(x) = 1 + 0{,}20 \cdot e^{0{,}07x}$ , slik at $u'(x) = 0{,}20 \cdot 0{,}07 \cdot e^{0{,}07x} = 0{,}014 \cdot e^{0{,}07x}$ .

f'(x) = -\frac{13132 \cdot u'(x)}{\left[u(x)\right]^2} = -\frac{13132 \cdot 0{,}014 \cdot e^{0{,}07x}}{\left(1 + 0{,}20 \cdot e^{0{,}07x}\right)^2}

Vi ser at:

Teller: $13132 \cdot 0{,}014 \cdot e^{0{,}07x} > 0$ for alle $x$ (eksponentialfunksjonen er alltid positiv).
Nevner: $\left(1 + 0{,}20 \cdot e^{0{,}07x}\right)^2 > 0$ for alle $x$ .

Dermed er $f'(x) < 0$ for alle $x$ , og $f$ er strengt avtagende. Det felles altså stadig færre dyr hvert år.

GeoGebra CAS bekrefter (se linje 2 i utklippet under):

GeoGebra CAS – derivert, vendepunkt og integral

Vi løser $f''(x) = 0$ . For en funksjon på formen

f(x) = \frac{A}{1 + B \cdot e^{kx}}

kan en vise at $f''(x) = 0$ når $B \cdot e^{kx} = 1$ , dvs.

e^{kx} = \frac{1}{B} \implies kx = \ln\!\left(\frac{1}{B}\right) = -\ln B

Med $B = 0{,}20$ og $k = 0{,}07$ :

x = \frac{-\ln(0{,}20)}{0{,}07} = \frac{\ln 5}{0{,}07} \approx 23

Funksjonsverdi i vendepunktet:

f\!\left(\frac{\ln 5}{0{,}07}\right) = \frac{13132}{1 + 0{,}20 \cdot \frac{1}{0{,}20}} = \frac{13132}{1 + 1} = \frac{13132}{2} = 6566

GeoGebra CAS gir vendepunktet $(22{,}99;\, 6566)$ (linje 4 i utklippet).

Vendepunktet er omtrent $(23;\, 6566)$ , som tilsvarer år $1980 + 23 = 2003$ . I dette punktet skifter $f''$ fortegn fra negativ til positiv: kurven er konkav (bøyd nedover) for $x < 23$ og konveks (bøyd oppover) for $x > 23$ . Biologisk betyr det at nedgangen i antall felte villrein var størst rundt år 2003 – etter 2003 avtar nedgangen gradvis.

Graf

$Graf av f(x) = \frac{13132}{1 + 0{,}20 \cdot e^{0{,}07x}} med vendepunkt$

Grafen viser en avtagende funksjon. Vendepunktet (rød punkt) er markert ved $x \approx 23$ , $f \approx 6566$ .

Totalt antall villrein felt 1980–2010

Vi beregner det bestemte integralet fra $x = 0$ (1980) til $x = 30$ (2010):

\int_0^{30} f(x) \, \mathrm{d}x

GeoGebra CAS (linje 5 i utklippet) gir:

\int_0^{30} f(x) \, \mathrm{d}x \approx 246\,527

Ifølge modellen ble det totalt felt omtrent $\underline{\underline{246\,527 \mathrm{~villrein}}}$ i perioden 1980–2010.

Modell basert på tall fra http://www.ssb.no/aarbok/tab/tab-357.html (02.10.2010) ↩

Oppgavedata

Hentet fra: S2 H2012, del 2, oppgave 2
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 8
Temaer: Logistisk vekst, Derivasjon, Funksjonsdrøfting, Modellering, Integrasjon

Villrein felt under jakt – logistisk funksjon

Sync på tvers av enheter

Villrein felt under jakt – logistisk funksjon

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Villrein felt under jakt – logistisk funksjon

Villrein felt under jakt – logistisk funksjon

Footnotes