Grenseverdier med algebraisk forenkling

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Bestem grenseverdiene

\lim_{x\to 3} \dfrac{3(x^2-3)}{x-3}

\lim_{x\to 4} \dfrac{\sqrt{x}-2}{x-4}

Fasit

Grenseverdien eksisterer ikke (venstre- og høyregrense stemmer ikke overens).

$\underline{\underline{\frac{1}{4}}}$

Løsningsforslag

Vi ser at nevneren går mot null når $x\to 3$ , mens telleren går mot $3 \cdot (9-3)=3\cdot 6 = 18$ .

La oss se hva som skjer når vi nærmer oss $3$ fra venstre side. Jeg velger $x=2{,}5$ for å få en følelse for tallene.

\frac{3(2{,}5^{2}-3)}{2{,}5-3}=\frac{3(6{,}25-3)}{-0{,}5}=\frac{3 \cdot 3{,}25}{-0{,}5} = -19{,}5

Hvis vi hadde valgt en verdi nærmere $3$ ville fått et enda mer ekstremt negativt svar.

\lim_{ x \to 3^{-} } \frac{3(x^{2}-3)}{x-3}= -\infty

Når vi nærmer oss 3 fra høyre side så får vi (vi velger 3,5)

\frac{3(3{,}5^{2}-3)}{3{,}5-3}=\frac{3(12{,}25-3)}{0{,}5}=\frac{3 \cdot 9{,}25}{0{,}5} \approx 55

Hvis vi hadde valgt et tall nærmere 3 ville vi fått et enda mer ekstremt positivt svar.

\lim_{ x \to 3^{+} } \frac{3(x^{2}-3)}{x-3}= \infty

Grenseverdien eksisterer ikke siden grenseverdiene fra venstre og høyre side ikke stemmer overens.

Vi ser at både teller og nevner går mot null når $x\to 4$ :

Teller: $\sqrt{4}-2 = 2-2 = 0$
Nevner: $4-4 = 0$

Siden vi har et ubestemt uttrykk på formen « $\frac{0}{0}$ », kan vi bruke L’Hôpitals regel. Vi deriverer teller og nevner hver for seg:

\begin{aligned} \lim_{x\to 4} \frac{\sqrt{x}-2}{x-4} &= \lim_{x\to 4} \frac{(\sqrt{x}-2)'}{(x-4)'} \\ &= \lim_{x\to 4} \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}}{1} \\ &= \frac{1}{2\sqrt{4}} = \underline{\underline{\frac{1}{4}}} \end{aligned}

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

Kandidaten får full uttelling ved å vise at grenseverdien ikke eksisterer eller at grenseverdien er $\pm\infty$ .

Riktig strategi, men feil svar kan gi 1 poeng. For å få full uttelling ved bruk av L’Hôpitals regel må kandidaten vise til at kravet for å bruke regelen er oppfylt.

Oppgavedata

Hentet fra: S1 V2025, del 1, oppgave 4
Delt med: S1, R1
Vanskegrad: 3
Poeng: 4
Temaer: Grenseverdi
Kompetansemål: Bruke ulike strategier for å utforske og bestemme grenseverdier til funksjoner, og utforske og argumentere for anvendelser av grenseverdier

Grenseverdier med algebraisk forenkling

Sync på tvers av enheter

Grenseverdier med algebraisk forenkling

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave