Overskuddsfunksjon derivasjon og maksimum

Funksjonen $O$ gitt ved

O(x) = -0{,}05x^2 + 100x - 10\,000

er en god modell for overskuddet i kroner som en bedrift har hver uke, dersom den produserer og selger $x$ enheter av en vare.

Bestem $O'(500)$ . Gi en tolkning av svaret i denne situasjonen.

Hva er det maksimale overskuddet denne bedriften kan ha hver uke, ifølge modellen $O$ ?

Fasit

$O'(500) = 50$ . Overskuddet øker med omtrent 50 kroner per ekstra enhet når bedriften produserer 500 enheter.

Maksimalt ukentlig overskudd er 40 000 kroner (ved $x = 1000$ enheter).

LøsningsforslagKI-generert

Vi deriverer $O(x) = -0{,}05x^2 + 100x - 10\,000$ :

O'(x) = -0{,}1x + 100

Vi setter inn $x = 500$ :

O'(500) = -0{,}1 \cdot 500 + 100 = -50 + 100 = 50

Tolkning: Når bedriften produserer 500 enheter per uke, øker overskuddet med omtrent 50 kroner for hver ekstra enhet som produseres og selges.

Overskuddet er størst når $O'(x) = 0$ :

-0{,}1x + 100 = 0

x = \frac{100}{0{,}1} = 1000

Siden andregradsleddet i $O(x)$ er negativt ( $-0{,}05 < 0$ ), er $x = 1000$ et maksimumspunkt.

Det maksimale ukentlige overskuddet er:

O(1000) = -0{,}05 \cdot 1000^2 + 100 \cdot 1000 - 10\,000

= -50\,000 + 100\,000 - 10\,000 = 40\,000

Det maksimale ukentlige overskuddet er 40 000 kroner.

Oppgavedata

Sync på tvers av enheter