Gjennomsnittlig og momentan vekstfart for andregradsfunksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En funksjon $f$ er gitt ved

f(x) = 3x^2 + a \cdot x + 2, \quad a \in \mathbb{R}

Bestem $a$ slik at den gjennomsnittlige vekstfarten i intervallet $[2, 4]$ blir $10$ .

Bestem $a$ slik at den momentane vekstfarten i $(2, f(2))$ blir $10$ .

Fasit

$a = -8$

$a = -2$

LøsningsforslagKI-generert

Den gjennomsnittlige vekstfarten til $f$ på intervallet $[2, 4]$ er differenskvotienten

\frac{f(4) - f(2)}{4 - 2}

Vi beregner $f(4)$ og $f(2)$ :

f(4) = 3 \cdot 4^2 + a \cdot 4 + 2 = 48 + 4a + 2 = 50 + 4a

f(2) = 3 \cdot 2^2 + a \cdot 2 + 2 = 12 + 2a + 2 = 14 + 2a

Differenskvotienten blir:

\frac{f(4) - f(2)}{4 - 2} = \frac{(50 + 4a) - (14 + 2a)}{2} = \frac{36 + 2a}{2} = 18 + a

Vi setter dette lik 10 og løser for $a$ :

\begin{aligned} 18 + a &= 10 \\ a &= -8 \end{aligned}

$\underline{\underline{a = -8}}$

Den momentane vekstfarten til $f$ i punktet $(2, f(2))$ er den deriverte $f'(2)$ .

Vi deriverer $f(x) = 3x^2 + ax + 2$ :

f'(x) = 6x + a

Vi setter $f'(2) = 10$ og løser for $a$ :

\begin{aligned} 6 \cdot 2 + a &= 10 \\ 12 + a &= 10 \\ a &= -2 \end{aligned}

$\underline{\underline{a = -2}}$

Oppgavedata

Sync på tvers av enheter