Vi faktoriserer $g(x)$ for å finne nullpunktene:

$$g(x) = x^3 - 3x^2 - 13x + 15 = (x-1)(x+3)(x-5)$$

Nullpunktene er $x = -3$, $x = 1$ og $x = 5$.

Arealfunksjonen

Trekanten $ABP$ har:

• Grunnlinje $AB$ langs $x$-aksen fra $A(1,0)$ til $B(s,0)$, med lengde $s - 1$
• Høyde lik den loddrette avstanden fra $P(s, g(s))$ til $x$-aksen, altså $|g(s)|$

For $s \in \langle 1, 5 \rangle$ er $g(s) < 0$ (grafen ligger under $x$-aksen mellom nullpunktene $x=1$ og $x=5$), så $|g(s)| = -g(s)$.

Arealet til trekanten er:

$$T(s) = \frac{1}{2} \cdot (s-1) \cdot (-g(s)) = \frac{1}{2}(s-1)\bigl(-(s^3-3s^2-13s+15)\bigr)$$ $$T(s) = -\frac{1}{2}s^4 + 2s^3 + 5s^2 - 14s + \frac{15}{2}$$

Finn maksimum

Vi deriverer og setter $T'(s) = 0$:

$$T'(s) = -2s^3 + 6s^2 + 10s - 14$$ $$T'(s) = 0 \implies s = -2\sqrt{2}+1, \quad s = 1, \quad s = 2\sqrt{2}+1$$

Siden $s \in \langle 1, 5 \rangle$ er den eneste relevante løsningen $s = 2\sqrt{2} + 1 \approx 3{,}83$.

Verifikasjon med andrederivattesten: $T''(s) = -6s^2 + 12s + 10$, og

$$T''(2\sqrt{2}+1) = -32 < 0$$

så $s = 2\sqrt{2} + 1$ gir et maksimum.

Beregn arealet

$$g(2\sqrt{2}+1) = -16\sqrt{2}$$ $$T(2\sqrt{2}+1) = \frac{1}{2} \cdot (2\sqrt{2}+1-1) \cdot 16\sqrt{2} = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{2} \cdot 16\sqrt{2} = \frac{1}{2} \cdot 32 \cdot 2 = 32$$

Det største arealet til trekanten $ABP$ er $\mathbf{32}$, og det oppnås for $s = 2\sqrt{2} + 1$.