Tre tangerende sirkler og sammenheng mellom radiene

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Tre sirkler med sentre i $S_1$ , $S_2$ og $S_3$ har radiene $a$ , $b$ og $c$ . Alle sirklene tangerer linja $l$ . Tangeringspunktene er $A$ , $B$ og $C$ . Sirklene tangerer hverandre parvis i punktene $D$ , $E$ og $F$ , slik figur 1 viser.

Tre tangerende sirkler – figur 1

Forklar at $S_1S_2 = a + b$ . Finn også $S_1S_3$ og $S_2S_3$ uttrykt ved radiene.

Bruk Pytagoras og vis at $AC = 2\sqrt{ab}$ . Se figur 2.

Pytagoras-figur for AC – figur 2

Vis på tilsvarende måte at $AB = 2\sqrt{ac}$ og $BC = 2\sqrt{bc}$ .

Bruk resultatene fra b) og c) til å vise følgende sammenheng mellom radiene i sirklene:

\frac{1}{\sqrt{c}} = \frac{1}{\sqrt{a}} + \frac{1}{\sqrt{b}}

Vi setter $a = b = r$ . Finn $c$ uttrykt ved $r$ .

Konstruer figuren når $r = 4 \mathrm{~cm}$ , enten med passer og linjal eller med dynamisk programvare. Forklar hvordan du har utført konstruksjonen.

Oppgavedata

Hentet fra: R1 V2008, del 2, oppgave 5
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Temaer: Geometri, Sirkel, Bevis, Konstruksjon

Tre tangerende sirkler og sammenheng mellom radiene

Sync på tvers av enheter

Tre tangerende sirkler og sammenheng mellom radiene

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave