a) Hvis $f(a) = f(b)$ for en funksjon $f$, så er $a = b$.

Påstanden er usann.

Et moteksempel: La $f(x) = x^2$. Da er $f(-2) = 4 = f(2)$, men $-2 \neq 2$.

Påstanden gjelder bare for injektive (én-til-én) funksjoner. En generell funksjon kan godt gi samme funksjonsverdi for to ulike innverdier.

---

b) Hvis $0 < a < b$, så er $\ln a < \ln b$.

Påstanden er sann.

Logaritmefunksjonen $\ln x$ er strengt voksende for $x > 0$. Det betyr at dersom $a < b$, så er $\ln a < \ln b$.

Begrunnelse: $\ln x$ er definert som den deriverte $(\ln x)' = \frac{1}{x} > 0$ for alle $x > 0$, og en funksjon med positiv derivert overalt er strengt voksende.

Alternativt: anta $0 < a < b$. Da er $\frac{b}{a} > 1$, og siden $\ln$ er definert slik at $\ln t > 0$ for $t > 1$:

$$\ln b - \ln a = \ln\!\left(\frac{b}{a}\right) > 0 \implies \ln a < \ln b$$

---

c) Hvis $a > 0$ og $x > 0$, så er $(\ln x)' = (\ln(ax))'$.

Påstanden er sann.

Vi bruker logaritmeregelen $\ln(ax) = \ln a + \ln x$, og siden $\ln a$ er en konstant når $a > 0$:

$$(\ln(ax))' = (\ln a + \ln x)' = 0 + \frac{1}{x} = \frac{1}{x} = (\ln x)'$$

De to funksjonene skiller seg bare med en konstant ($\ln a$), og konstanter forsvinner ved derivasjon. CAS bekrefter at begge deriverte er $\dfrac{1}{x}$.