Fotballsparkenes banefart og toppunkt med vektorfunksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Fotballbane med ballbane som vektorfunksjon

En fotballspiller tok et frispark. Han sparket ballen i retning av motstandernes mål. Ballens posisjon $t$ sekunder etter at frisparket ble tatt er gitt ved vektorfunksjonen

\vec{r}(t) = \left[28t - 3t^2,\ 10t - 5t^2\right]

Enheten langs aksene er meter.

Bestem banefarten ballen fikk da den ble sparket.

Hvor lang tid tok det fra ballen ble sparket til den traff bakken?

Bestem ballens banefart da den var i sitt høyeste punkt.

Fasit

$2\sqrt{221} \approx 29{,}7$ m/s

$t = 2$ s

$22$ m/s

LøsningsforslagKI-generert

Vi har posisjonsvektor $\vec{r}(t) = [28t - 3t^2,\ 10t - 5t^2]$ der $t$ er tid i sekunder og enheten langs aksene er meter.

Fartsvektoren er den deriverte av posisjonsvektoren:

\vec{v}(t) = \vec{r}\,'(t) = [28 - 6t,\ 10 - 10t]

Banefarten er lengden av fartsvektoren:

|\vec{v}(t)| = \sqrt{(28-6t)^2 + (10-10t)^2}

Vi setter $t = 0$ :

|\vec{v}(0)| = \sqrt{28^2 + 10^2} = \sqrt{784 + 100} = \sqrt{884} = 2\sqrt{221} \approx 29{,}7 \text{ m/s}

Ballen treffer bakken når $y$ -komponenten av posisjonsvektoren er null:

10t - 5t^2 = 0

5t(2 - t) = 0

t = 0 \quad \text{eller} \quad t = 2

$t = 0$ er tidspunktet da ballen ble sparket, så ballen treffer bakken etter $t = 2$ sekunder.

I toppunktet er den vertikale fartskomponenten lik null:

10 - 10t = 0 \implies t = 1

Banefarten i toppunktet:

|\vec{v}(1)| = \sqrt{(28 - 6 \cdot 1)^2 + (10 - 10 \cdot 1)^2} = \sqrt{22^2 + 0^2} = 22 \text{ m/s}

Oppgavedata

Hentet fra: R1 E2021, del 2, oppgave 1
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Vektorer, Derivasjon

Fotballsparkenes banefart og toppunkt med vektorfunksjon

Sync på tvers av enheter

Fotballsparkenes banefart og toppunkt med vektorfunksjon

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave