Vi analyserer egenskapene til $f(x) = 4x \cdot e^{-x}$ og bruker dem til å utelukke grafer.

Nullpunkt

$f(x) = 0$ krever $4x = 0$ siden $e^{-x} > 0$ for alle $x$. Funksjonen har derfor bare ett nullpunkt: $x = 0$. En riktig graf må krysse $x$-aksen nøyaktig én gang, i origo.

Fortegn

For $x > 0$: $4x > 0$ og $e^{-x} > 0$, så $f(x) > 0$.

For $x < 0$: $4x < 0$ og $e^{-x} > 0$, så $f(x) < 0$.

Grafen er negativ til venstre for origo og positiv til høyre.

Toppunkt

Vi deriverer med produktregelen:

$$f'(x) = 4 \cdot e^{-x} + 4x \cdot (-e^{-x}) = 4e^{-x}(1 - x)$$

$f'(x) = 0$ gir $1 - x = 0$, altså $x = 1$.

• For $x < 1$: $f'(x) > 0$ (voksende)
• For $x > 1$: $f'(x) < 0$ (avtagende)

Funksjonen har et globalt maksimum ved $x = 1$ med funksjonsverdi

$$f(1) = 4 \cdot 1 \cdot e^{-1} = \frac{4}{e} \approx 1{,}47$$

Oppførsel i det uendelige

Når $x \to +\infty$: eksponentleddet $e^{-x} \to 0$ raskere enn $x$ vokser, så $f(x) \to 0^+$ (grafen nærmer seg $x$-aksen fra over).

Når $x \to -\infty$: $4x \to -\infty$ og $e^{-x} \to +\infty$, så $f(x) \to -\infty$.

Konklusjon

Den riktige grafen kjennetegnes av:

• Nøyaktig ett nullpunkt i origo
• Negativ for $x < 0$, positiv for $x > 0$
• Ett toppunkt ved $(1,\ 4/e) \approx (1;\ 1{,}47)$
• Går mot $0$ fra over når $x \to +\infty$
• Går mot $-\infty$ når $x \to -\infty$

Bare graf II oppfyller alle disse egenskapene: toppunktet ligger nøyaktig ved $x = 1$, og kurven avtar langsomt mot $x$-aksen uten å krysse den på nytt. Graf I har toppunkt for langt til venstre (ved $x \approx 0{,}5$), graf III krysser $x$-aksen på nytt ved $x = 2$ (to nullpunkter), og graf IV avtar for raskt.