2P Vår 2024

Sara skriver om begge likningene slik at $y$ står alene:

• $4x=-12+y⟹y=4x+12$ — dette er f(x) i programmet
• $2x+24-y=2x^2⟹y=-2x^2+2x+24$ — dette er g(x) i programmet

Strategien er at der grafene til $f$ og $g$ krysser hverandre, er $f(x)=g(x)$, og $x$- og $y$-verdien gir løsningen av likningssystemet.

Programmet tester alle heltallsverdier av $x$ fra $-5$ til $4$ og sjekker om $f(x)=g(x)$. Når det stemmer, skrives løsningen ut.

Ole må gjøre følgende endringer:

1. Endre f(x) til sin første likning løst for $y$: $2x=y-8⟹y=2x+8$, altså return 2 * x + 8

2. Endre g(x) til sin andre likning: $y=x^2+x-48$, altså return x ** 2 + x - 48

3. Utvide range slik at løsningene fanges opp, for eksempel range(-10, 10)

Det endrede programmet:

def f(x):
    return 2 * x + 8

def g(x):
    return x ** 2 + x - 48

for x in range(-10, 10):

    if f(x) == g(x):
        print("Jeg har funnet løsningen x =", x ,"og y =", f(x))

Jeg har funnet løsningen x = -7 og y = -6
Jeg har funnet løsningen x = 8 og y = 24

Løsningene er $(x,y)=(-7,-6)$ og $(x,y)=(8,24)$.

Henrik påpeker at klatreveggen må få plass på et kvadratisk område med areal $20{\mathrm{m}}^2$. Arealet av kvadratet er

som gir sidelengde $s=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\approx \mathrm{4,47}\mathrm{m}$.

Den størst mulige sirkelgrunnflaten som passer inni kvadratet er den innskrevne sirkelen med diameter lik kvadratets side. Da er grunnradiusen

Plattformen på toppen skal ha areal $10{\mathrm{m}}^2$, altså

For å oppfylle kravet om at plattformen ikke er mer enn $\mathrm{2,5}\mathrm{m}$ over bakken, setter vi høyden til det maksimale

Skisse av klatreveggen (sett fra siden):

Klatreveggen er en rettavkortet kjegle med $R=\sqrt{5}\approx \mathrm{2,24}\mathrm{m}$, $r=\sqrt{\frac{10}{\pi }}\approx \mathrm{1,78}\mathrm{m}$ og $h=\mathrm{2,5}\mathrm{m}$.

Hanne foreslår å beregne volumet ved å ta en hel kjegle og trekke fra toppkjeglen som kuttes av.

Siden den rettavkortede kjeglen og den helhetlige kjeglen har samme halvvinkel, er forholdet mellom toppradius og grunnradius det samme som forholdet mellom høydene:

der $H$ er høyden til den hele kjeglen. Vi løser for $H$:

Vi regner ut forholdet

og den hele kjeglens høyde

Høyden til toppkjeglen (den som kuttes av) er

Volumet av den hele kjeglen er

Volumet av toppkjeglen som fjernes er

Volumet av klatreveggen (den rettavkortede kjeglen) er

Man kan også bruke formelen for rettavkortet kjegle direkte:

Det vil gå med omtrent $\underline{\underline{\mathrm{31,87}{\mathrm{m}}^3}}$ betong for å lage klatreveggen.

Et annuitetslån kjennetegnes ved at terminbeløpet er det samme hver gang. I lånekalkulatoren vises månedskostnaden som 10 495 kr hele nedbetalingstiden – dette er et fast beløp uavhengig av termin, noe som er karakteristisk for annuitetslån.

Maksimalt lånebeløp begrenses av kravet om minst 15 % egenkapital:

Johannes kan dermed ikke låne mer enn 1 700 000 kr.

Forklaring av eksempelet:

Regnestykket ${(1+\mathrm{0,015})}^{12}=\mathrm{1,1956}$ viser at dersom man betaler 1,5 % rente per måned, vil en krone vokse til 1,1956 kroner i løpet av 12 måneder. Det tilsvarer en årsrente på 19,56 %, siden $\mathrm{1,1956}-1=\mathrm{0,1956}=\mathrm{19,56}\%$.

Månedlig rente for 5,49 % p.a.:

Vi setter opp likningen der $r$ er den ukjente månedlige renten:

Vi løser for $r$:

En årsrente på $\mathrm{5,49}\%$ tilsvarer omtrent $\underline{\underline{\mathrm{0,4464}\%}}$ per måned.

Fra lånekalkulatoren er terminbeløpet 10 495 kr per måned.

Renter i første termin beregnes av hele restlånet (1 700 000 kr):

Avdrag i første termin er differansen mellom terminbeløpet og rentene:

Andel renter:

Andel avdrag:

Omtrent $\underline{\underline{72\%}}$ av terminbeløpet går til renter og omtrent $\underline{\underline{28\%}}$ går til avdrag i første termin.

Grafen nedenfor viser hvordan restlånet minker over de 25 årene. I starten betales det meste i renter, og avdragene øker gradvis:

Nedbetalingsplanen er beregnet med regneark (se vedlegg). De første terminen ser slik ut:

Beregning av netto månedslønn:

Beregning av månedlige utgifter:

Overskudd per måned:

Stresstest – rente øker med 3 prosentpoeng (til 8,49 %):

Ny månedlig rente: ${(\mathrm{1,0849})}^{\frac{1}{12}}-1\approx \mathrm{0,6806}\%$

Nytt terminbeløp med 8,49 % rente og 25 år:

Nye totale utgifter: $26388-10495+13320=29213\mathrm{kr}$

Overskudd ved stresstest: $33696-29213=4483\mathrm{kr}$

Vurdering: Johannes har råd til å kjøpe leiligheten. Han oppfyller egenkapitalkravet på 15 % (han trenger 300 000 kr i egenkapital). Med normal rente sitter han igjen med omtrent 7 300 kr per måned etter alle faste utgifter. Selv om renten øker med 3 prosentpoeng (stresstesten), har han fortsatt et positivt overskudd på omtrent 4 500 kr per måned. Johannes klarer dermed begge kravene som er nødvendige for å få boliglån.