Verdensbefolkning med eksponentiell regresjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Årstall	1920	1940	1960	1980	2000	2010	2017
Folketall i millioner	1902	2285	2991	4401	6088	6889	7474

Tabellen ovenfor viser folketallet i verden noen utvalgte år i perioden fra 1920 til 2017.

La $x$ være antall år etter 1. januar 1920, og bruk regresjon til å vise at funksjonen $f$ gitt ved

f(x) = 1775{,}6 \cdot 1{,}015^x

er en modell som passer godt med tallene i tabellen.

Hvor mange prosent har folketallet økt med per år ifølge modellen i oppgave a)?

Bestem den gjennomsnittlige vekstfarten til $f$ fra $x = 70$ til $x = 95$ . Gi en praktisk tolkning av dette svaret.

FN har utarbeidet prognoser som viser at folketallet i verden vil være 9,8 milliarder i år 2050 og 11,2 milliarder i år 2100.

Vurder om modellen i oppgave a) samsvarer med disse prognosene.

Fasit

Regresjonen i GeoGebra gir $f(x) \approx 1775{,}6 \cdot 1{,}015^x$ , som passer godt med datapunktene.

$\underline{\underline{1{,}5 \,\%}}$ per år

$\underline{\underline{\approx 90{,}8 \text{~millioner per år}}}$

Modellen overvurderer veksten kraftig: $f(130) \approx 12\,300 \mathrm{~mill.}$ mot FNs $9\,800 \mathrm{~mill.}$ i 2050, og $f(180) \approx 25\,900 \mathrm{~mill.}$ mot FNs $11\,200 \mathrm{~mill.}$ i 2100. Modellen samsvarer ikke med prognosene.

LøsningsforslagKI-generert

Vi legger inn datapunktene fra tabellen i GeoGebra, der $x$ er antall år etter 1920:

$x$	0	20	40	60	80	90	97
Befolkning (mill.)	1902	2285	2991	4401	6088	6889	7474

Vi bruker eksponentiell regresjon i GeoGebra og får

f(x) = 1775{,}6 \cdot 1{,}015^x

Grafen nedenfor viser at kurven (blå) følger datapunktene (røde) godt gjennom hele perioden. Den grønne linjen er sekanten fra oppgave c).

Verdensbefolkning med eksponentiell regresjon

Modellen passer godt med dataene.

Vekstfaktoren i modellen er $1{,}015$ . Det betyr at befolkningen øker med

1{,}015 - 1 = 0{,}015 = 1{,}5 \,\%

per år.

Ifølge modellen har folketallet økt med $\underline{\underline{1{,}5 \,\%}}$ per år.

Den gjennomsnittlige vekstfarten fra $x = 70$ til $x = 95$ er

\frac{f(95) - f(70)}{95 - 70}

Vi regner ut:

f(70) = 1775{,}6 \cdot 1{,}015^{70} \approx 5034{,}6 \mathrm{~mill.}

f(95) = 1775{,}6 \cdot 1{,}015^{95} \approx 7305{,}0 \mathrm{~mill.}

\frac{7305{,}0 - 5034{,}6}{95 - 70} = \frac{2270{,}4}{25} \approx 90{,}8 \text{~mill. per år}

Den gjennomsnittlige vekstfarten er $\underline{\underline{\approx 90{,}8 \text{~millioner per år}}}$ .

Perioden $x = 70$ til $x = 95$ svarer til årene 1990–2015. Tolkning: ifølge modellen økte verdensbefolkningen med gjennomsnittlig omtrent 90,8 millioner mennesker per år i denne perioden.

Vi bruker modellen til å beregne befolkningen i 2050 og 2100.

År 2050 svarer til $x = 2050 - 1920 = 130$ :

f(130) = 1775{,}6 \cdot 1{,}015^{130} \approx 12\,301 \mathrm{~mill.} \approx 12{,}3 \mathrm{~milliarder}

FNs prognose er $9{,}8 \mathrm{~milliarder}$ . Modellen gir altså $\approx 2{,}5 \mathrm{~milliarder}$ mer enn FNs prognose, noe som er ca. $25 \,\%$ for høyt.

År 2100 svarer til $x = 2100 - 1920 = 180$ :

f(180) = 1775{,}6 \cdot 1{,}015^{180} \approx 25\,896 \mathrm{~mill.} \approx 25{,}9 \mathrm{~milliarder}

FNs prognose er $11{,}2 \mathrm{~milliarder}$ . Modellen gir mer enn dobbelt så mye som FNs prognose.

Modellen samsvarer ikke med FNs prognoser. Avviket er allerede $25 \,\%$ for høyt i 2050, og hele $131 \,\%$ for høyt i 2100. Dette skyldes at den eksponentielle modellen forutsetter konstant prosentvis vekst for alltid, mens FN forventer at veksten vil avta etter hvert som jordens befolkning nærmer seg et metningsnivå. Modellen er ikke egnet til å spå befolkningsutviklingen langt inn i fremtiden.

Oppgavedata

Hentet fra: 2P-Y V2018, del 2, oppgave 4
Kategori: 2
Vanskegrad: 3
Poeng: 7
Temaer: Regresjon, Eksponentialfunksjon, Vekstfart, Modellering

Verdensbefolkning med eksponentiell regresjon

Sync på tvers av enheter

Verdensbefolkning med eksponentiell regresjon

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave