Dyrebestand med lineær og eksponentiell modell

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En dyrebestand består i dag av 12 000 dyr. En gruppe forskere antar at bestanden vil avta lineært, og at det vil være 6 000 dyr igjen om 10 år.

Sett opp en modell som viser hvor mange dyr det vil være i bestanden om $x$ år dersom antakelsen er riktig.

En annen gruppe forskere antar at bestanden vil avta eksponensielt, og at det vil være 11 400 dyr igjen om ett år.

Sett opp en modell som viser hvor mange dyr det vil være i bestanden om $x$ år dersom denne antakelsen er riktig.

Ifølge hvilken av de to modellene ovenfor vil det være færrest dyr igjen i bestanden om 10 år?

Fasit

$\underline{\underline{f(x) = 12\,000 - 600x}}$

$\underline{\underline{g(x) = 12\,000 \cdot 0{,}95^x}}$

Den lineære modellen gir færrest dyr: $\underline{\underline{6\,000 \mathrm{~dyr}}}$ mot $\approx 7\,185 \mathrm{~dyr}$ for den eksponentielle.

LøsningsforslagKI-generert

Vi vet at bestanden starter på $12\,000$ dyr og at det vil være $6\,000$ dyr igjen om 10 år. Vi setter opp en lineær funksjon:

f(x) = 12\,000 + a \cdot x

Vi finner stigningstallet $a$ ved å bruke de to kjente punktene $(0, 12\,000)$ og $(10, 6\,000)$ :

a = \frac{6\,000 - 12\,000}{10 - 0} = \frac{-6\,000}{10} = -600

Modellen er:

\underline{\underline{f(x) = 12\,000 - 600x}}

Dette betyr at bestanden minker med 600 dyr per år.

Vi vet at bestanden starter på $12\,000$ dyr og at det vil være $11\,400$ dyr igjen etter ett år. Vi setter opp en eksponentiell funksjon:

g(x) = 12\,000 \cdot k^x

Vi setter inn $x = 1$ og $g(1) = 11\,400$ :

12\,000 \cdot k^1 = 11\,400

k = \frac{11\,400}{12\,000} = 0{,}95

Modellen er:

\underline{\underline{g(x) = 12\,000 \cdot 0{,}95^x}}

Dette betyr at bestanden minker med $5 \,\%$ per år.

Vi beregner bestanden om 10 år for begge modellene.

Lineær modell:

f(10) = 12\,000 - 600 \cdot 10 = 12\,000 - 6\,000 = 6\,000

Eksponentiell modell:

g(10) = 12\,000 \cdot 0{,}95^{10} \approx 7\,185

Den lineære modellen gir $6\,000$ dyr, mens den eksponentielle modellen gir omtrent $7\,185$ dyr.

Svar: Ifølge den lineære modellen vil det være færrest dyr igjen — $\underline{\underline{6\,000 \mathrm{~dyr}}}$ — mot omtrent $7\,185$ dyr i den eksponentielle modellen.

Det gir mening: en eksponentiell nedgang bremser etter hvert fordi den alltid tar en fast prosentandel av det som er igjen, mens en lineær nedgang fjerner like mange dyr hvert år uansett.

Oppgavedata

Hentet fra: 2P-Y V2018, del 1, oppgave 6
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Modellering, Lineære funksjoner, Eksponentialfunksjon

Dyrebestand med lineær og eksponentiell modell

Sync på tvers av enheter

Dyrebestand med lineær og eksponentiell modell

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave