Sykkelen koster $P$ kroner som ny. Rett etter kjøp, dvs. etter $x = 0$ år, er erstatningen

Det stemmer med oppgaveteksten: du får kjøpsprisen minus 2000 kr egenandel.

Hvert år avtar erstatningen med $10 \,\%$. Det betyr at den beholder $90 \,\% = 0{,}9$ av verdien fra år til år (eksponentiell avskrivning). Etter $x$ år har erstatningen blitt multiplisert med $0{,}9$ nøyaktig $x$ ganger:

• Faktoren $(P - 2000)$ er startverdien (erstatningen uten avskrivning, men med egenandel).
• Faktoren $0{,}9^x$ viser at verdien synker med $10 \,\%$ hvert år.

Modellen beskriver altså forsikringsutbetalingen etter $x$ år, gitt at du betaler 2000 kr i egenandel og erstatningen avtar med 10 % per år.

Vi setter inn $P = 10\,000$ og $x = 7$:

Vi regner ut $0{,}9^7$:

Dermed:

Dersom sykkelen blir stjålet etter 7 år, får du utbetalt ca. $\underline{\underline{3826 \, \mathrm{kr}}}$.

Du betaler 150 kr i forsikringspremie hvert år. Etter $x$ år har du totalt betalt $150 \cdot x$ kroner.

Netto beløp er det du får utbetalt minus det du har betalt inn:

Med $P = 10\,000$:

Modellen for netto beløp er $\underline{\underline{G(x) = 8000 \cdot 0{,}9^x - 150x}}$.

Et positivt $G(x)$ betyr at du tjener på forsikringen (får mer ut enn du betaler inn), et negativt $G(x)$ betyr at du taper.

Vi beregner $G(x)$ for noen verdier rundt $x = 13$:

Vi ser at $G(13) \approx 83 \, \mathrm{kr} > 0$ og $G(14) \approx -270 \, \mathrm{kr} < 0$.

Modellen viser at nullpunktet til $G(x)$ ligger mellom $x = 13$ og $x = 14$ — nærmere bestemt rundt $x \approx 13{,}2$ år.

Ronny har omtrent rett, men ikke helt. Etter 13 år er $G(13) > 0$, altså tjener du fortsatt (knapt) på forsikringen. Det er ikke lønnsomt å si opp forsikringen etter 13 hele år — nullpunktet passeres i løpet av det 14. året. Et mer presist råd ville vært å si opp forsikringen etter ca. 13 år (dvs. ikke fornye avtalen inn i det 14. året).