Tredjegradsfunksjon fra punkt, toppunkt og tangent

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Du får vite følgende om en tredjegradsfunksjon $f$ gitt ved

f(x) = a \cdot x^3 + b \cdot x^2 + c \cdot x + d

Bruk opplysningene ovenfor til å bestemme $a$ , $b$ , $c$ og $d$ .

LøsningsforslagKI-generert

Vi kjenner $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ og $f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$ .

De tre opplysningene gir fire likninger (toppunktet gir to — ett fra $f$ -verdien og ett fra at den deriverte er null):

\textcolor{steelblue}{f(2) = 6:} \quad 8a + 4b + 2c + d = 6

\textcolor{seagreen}{f(-2) = 8:} \quad {-8a} + 4b - 2c + d = 8

\textcolor{seagreen}{f'(-2) = 0:} \quad 12a - 4b + c = 0

\textcolor{tomato}{f'(3) = 4:} \quad 27a + 6b + c = 4

Vi løser likningssystemet i GeoGebra CAS:

GeoGebra CAS — likningssystem og løsning

CAS gir:

a = \frac{3}{20}, \quad b = \frac{7}{40}, \quad c = -\frac{11}{10}, \quad d = \frac{63}{10}

Dermed er

\underline{\underline{f(x) = \frac{3}{20}x^3 + \frac{7}{40}x^2 - \frac{11}{10}x + \frac{63}{10}}}

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 3 poeng

I utgangspunktet knyttes ett poeng til hvert kulepunkt.

Oppgavedata

Hentet fra: 1T H2024, del 2, oppgave 5
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Funksjonsdrøfting, Likningssystem, Derivasjon
Kompetansemål: Bruke gjennomsnittleg og momentan vekstfart i konkrete døme og gjere greie for den deriverte
Utforske og beskrive eigenskapane ved polynomfunksjonar, rasjonale funksjonar, eksponentialfunksjonar og potensfunksjonar

Sync på tvers av enheter