Parabelmodell for ett gardin

Vi plasserer $x$-aksen langs rullens lengderetning og $y$-aksen langs rullens bredderetning ($0$–$140 \, \mathrm{cm}$). Rullen rommer to rader gardiner: en nedre rad ($y \in [0,70]$) og en øvre rad ($y \in [70,140]$).

Et gardin er $150 \, \mathrm{cm}$ bredt (rett øvre kant) og $70 \, \mathrm{cm}$ høyt (parabelformet nedre kant). Parabelens toppunkt (det laveste punktet på hemmen) er plassert ved $y = 0$, og de to hjørnene av den rette kanten er ved $y = 70$.

Vi setter toppunktet for gardin 1 ved $x = 75$ (midtpunktet av bredden $[0, 150]$) og skriver parabelligningen

$$g_1(x) = \frac{14}{1125}(x - 75)^2$$

Kontroll: $g_1(75) = 0$ og $g_1(0) = g_1(150) = \frac{14}{1125} \cdot 75^2 = 70 \, \checkmark$

Finne offset $D$ mellom nabogardiner

Det neste gardinet ($g_2$) er speilvendt (toppunkt opp, $y = 70$) og forskyves en avstand $D$ i $x$-retningen:

$$g_2(x) = 70 - \frac{14}{1125}(x - D - 75)^2$$

For at de to gardinene ikke skal overlappe hverandre, kreves det at $g_1(x) \geq g_2(x)$ i hele det overlappende intervallet $[D,\, 150]$. Likhetsbetingelsen (tangering) gir systemet

$$\begin{cases} g_1(x) = g_2(x) \\ g_1'(x) = g_2'(x) \end{cases}$$

Fra derivasjonslikheten:

$$\frac{28}{1125}(x - 75) = -\frac{28}{1125}(x - D - 75) \implies x = \frac{D}{2} + 75$$

Setter vi dette inn i $g_1 = g_2$:

$$\frac{14}{1125}\left(\frac{D}{2}\right)^2 = 70 - \frac{14}{1125}\left(\frac{D}{2}\right)^2$$ $$2 \cdot \frac{14}{1125} \cdot \frac{D^2}{4} = 70 \implies \frac{D^2}{2} = \frac{70 \cdot 1125}{14} = 5625 \implies D = 75\sqrt{2} \approx 106 \, \mathrm{cm}$$

GeoGebra CAS bekrefter: tangenten til systemet $\{g_1(x) = g_2(x),\; g_1'(x) = g_2'(x)\}$ gir $D = 75\sqrt{2}$.

Figuren viser de åtte gardinene (fire i nedre rad, fire i øvre rad) plottet som parabelkurver. Blå kurver ($g_1$, $g_3$, …) har toppunkt nede; grønne kurver ($g_2$, $g_4$, …) har toppunkt oppe. Nabokurver er tangente (berøres i ett punkt), som bekrefter at $D = 75\sqrt{2}$ er minste lovlige avstand.

Total rullelengde for åtte gardiner

Med 4 gardiner per rad er gardinsentrene på $x = 75,\; 75 + D,\; 75 + 2D,\; 75 + 3D$. Det siste gardinet slutter ved

$$x_{\max} = (75 + 3D) + 75 = 3D + 150 = 3 \cdot 75\sqrt{2} + 150 = 225\sqrt{2} + 150$$

Toppen og bunnen av rullen er symmetriske og bruker samme lengde, så

$$\boxed{L = 225\sqrt{2} + 150 \approx 468 \, \mathrm{cm}}$$

Bedriften må bruke minst $\mathbf{225\sqrt{2} + 150 \approx 468 \, \mathrm{cm}}$ med tøy.