Sirkel med diameter og innskrevet trekant

Sirkel med sentrum S, diameter AB og C på periferien

En sirkel har sentrum i $S$ . $AB$ er diameter, og $C$ ligger på sirkelperiferien. Arealet av $\triangle SBC$ er $3\cdot\sqrt{2}$ .

Bestem sirkelens radius. Bruk eksakte verdier.

Bestem arealet av $\triangle ABC$ . Bruk eksakte verdier.

Fasit

$\underline{\underline{r = 2\sqrt{3}}}$

$\underline{\underline{T_{\triangle ABC} = 6\sqrt{2}}}$

LøsningsforslagKI-generert

Siden $S$ er sentrum i sirkelen, er $SA = SB = SC = r$ (alle er radier). Dermed er $\triangle SBC$ likebeint med $SB = SC = r$ .

Fra figuren ser vi at $\angle BSC = 45°$ .

Arealet av en trekant er $T = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin C$ , der $a$ og $b$ er to sider og $C$ er vinkelen mellom dem. For $\triangle SBC$ :

T_{\triangle SBC} = \frac{1}{2} \cdot SB \cdot SC \cdot \sin(\angle BSC) = \frac{1}{2} \cdot r \cdot r \cdot \sin 45° = \frac{r^2 \sqrt{2}}{4}

Vi setter opp likningen $T_{\triangle SBC} = 3\sqrt{2}$ og løser i CAS:

GeoGebra CAS: Løs(¼√2·r² = 3√2, r) gir r = 2√3

\frac{r^2 \sqrt{2}}{4} = 3\sqrt{2} \quad\Rightarrow\quad r^2 = 12 \quad\Rightarrow\quad \mathbf{r = 2\sqrt{3}}

(Den negative løsningen $r = -2\sqrt{3}$ forkastes siden en radius er positiv.)

$\triangle ABC$ og $\triangle SBC$ har felles høyde fra $C$ ned til linja $AB$ .

Grunnlinja i $\triangle ABC$ er $AB = 2r$
Grunnlinja i $\triangle SBC$ er $SB = r$

Derfor er arealet av $\triangle ABC$ dobbelt så stort som arealet av $\triangle SBC$ :

T_{\triangle ABC} = \frac{AB}{SB} \cdot T_{\triangle SBC} = \frac{2r}{r} \cdot 3\sqrt{2} = 2 \cdot 3\sqrt{2} = \mathbf{6\sqrt{2}}

Oppgavedata

Hentet fra: 1T H2022, del 2, oppgave 3
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Temaer: Geometri, Trigonometri, Sirkel, Eksakte verdier, Arealsetningen
Kompetansemål: Gjere greie for definisjonane av sinus, cosinus og tangens og bruke trigonometri til å berekne lengder, vinklar og areal i vilkårlege trekantar
Bruke trigonometri til å analysere og løyse samansette teoretiske og praktiske problem med lengder, vinklar og areal

Sirkel med diameter og innskrevet trekant

Sync på tvers av enheter

Sirkel med diameter og innskrevet trekant

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave