Stabling av erteboksbokser i to mønstre

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Figur 1 og figur 2 viser to ulike stablingsmønstre

Marius og Maria arbeider i en dagligvarebutikk. De skal stable bokser med erter.

Marius stabler boksene som vist i figur 1. I figur 1 har han laget et tårn med fire etasjer.

Hvor mange bokser trenger Marius for å lage et tårn med 20 etasjer dersom han stabler boksene på denne måten?

Marius har 400 bokser.

Hvor mange etasjer vil det være i det største tårnet han kan lage?

Maria vil stable boksene som vist i figur 2. I figur 2 har hun laget et tårn med tre etasjer.

Hvor mange bokser trenger Maria for å lage et tårn med 20 etasjer dersom hun stabler boksene på denne måten?

Maria har 4 000 bokser.

Hvor mange etasjer vil det være i det største tårnet hun kan lage?

Fasit

$\underline{\underline{210 \text{ bokser}}}$

$\underline{\underline{27 \text{ etasjer}}}$

$\underline{\underline{1540 \text{ bokser}}}$

$\underline{\underline{27 \text{ etasjer}}}$

LøsningsforslagKI-generert

I figur 1 har etasje $k$ (telt fra toppen) $k$ bokser: toppen har 1 boks, etasjen under har 2, osv. Med $n$ etasjer blir totalt antall bokser

S_1(n) = \sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}

Vi bruker GeoGebra CAS til å beregne og bekrefte formelen:

GeoGebra CAS: Marius-formelen og S1(20)

CAS bekrefter at $S_1(n) = \dfrac{1}{2}n^2 + \dfrac{1}{2}n = \dfrac{n(n+1)}{2}$ og gir

S_1(20) = \frac{20 \cdot 21}{2} = \mathbf{210}

Marius trenger $\underline{\underline{210 \text{ bokser}}}$ for et tårn med 20 etasjer.

Vi løser ulikheten $S_1(n) \leq 400$ , dvs. $\dfrac{n(n+1)}{2} \leq 400$ .

CAS gir den eksakte løsningen $n = \dfrac{\sqrt{3201} - 1}{2} \approx 27{,}79$ , og vi sjekker:

S_1(27) = \frac{27 \cdot 28}{2} = 378 \leq 400 \qquad S_1(28) = \frac{28 \cdot 29}{2} = 406 > 400

Det største tårnet Marius kan lage har $\underline{\underline{27 \text{ etasjer}}}$ (bruker 378 bokser).

I figur 2 er hver etasje en fylt trekant. Etasje $k$ (telt fra toppen) inneholder trekanttallet $1 + 2 + \cdots + k = \dfrac{k(k+1)}{2}$ bokser: toppen har 1 boks, neste etasje $1+2=3$ , deretter $1+2+3=6$ , osv. Med $n$ etasjer blir totalt antall bokser summen av de $n$ første trekanttallene:

S_2(n) = \sum_{k=1}^{n} \frac{k(k+1)}{2} = \frac{n(n+1)(n+2)}{6}

Dette er tetraedertallene. Vi bruker GeoGebra CAS til å beregne og bekrefte formelen:

GeoGebra CAS: Maria-formelen og S2(20)

CAS gir

S_2(20) = \frac{20 \cdot 21 \cdot 22}{6} = \mathbf{1540}

Maria trenger $\underline{\underline{1540 \text{ bokser}}}$ for et tårn med 20 etasjer.

Vi løser ulikheten $S_2(n) \leq 4000$ , dvs. $\dfrac{n(n+1)(n+2)}{6} \leq 4000$ .

CAS gir den øvre løsningen $n \approx 27{,}5$ , og vi sjekker nabotallene:

S_2(27) = \frac{27 \cdot 28 \cdot 29}{6} = 3654 \leq 4000 \qquad S_2(28) = \frac{28 \cdot 29 \cdot 30}{6} = 4060 > 4000

Det største tårnet Maria kan lage har $\underline{\underline{27 \text{ etasjer}}}$ (bruker 3654 bokser).

Oppgavedata

Hentet fra: 1T H2021, del 2, oppgave 7
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 8
Temaer: Rekker, Aritmetisk rekke, Sum av rekke, Modellering
Kompetansemål: Modellere situasjonar knytte til ulike tema, drøfte, presentere og forklare resultata og argumentere for om modellane er gyldige

Stabling av erteboksbokser i to mønstre

Sync på tvers av enheter

Stabling av erteboksbokser i to mønstre

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave