Påstand 1 — RIKTIG

La $T$ være de totale utgiftene til klassefesten og $n$ antall elever. Beløpet hver elev betaler er

$$b = \frac{T}{n}$$

Her er $T$ en fast konstant (totalprisen endrer seg ikke når flere eller færre elever er med). Vi kan skrive dette som

$$b \cdot n = T$$

Dette er nettopp definisjonen på omvendt proporsjonalitet: produktet av de to størrelsene er konstant. Påstand 1 er derfor riktig.

Påstand 2 — FEIL

Proporsjonalitet krever at forholdet $\frac{y}{x}$ er konstant for alle verdier av $x$. Det holder ikke at $y$ bare øker når $x$ øker.

Moteksempel: La $y = x + 1$. Når $x$ øker, øker $y$ også. Men

$$\frac{y}{x} = \frac{x+1}{x} = 1 + \frac{1}{x}$$

Dette forholdet er ikke konstant — det endrer seg med $x$. Dermed er $y = x + 1$ ikke proporsjonal med $x$, selv om begge øker sammen.

For at to størrelser skal være proporsjonale, kreves det at grafen er en rett linje gjennom origo, altså $y = kx$ for en konstant $k$. Påstand 2 er feil.

Påstand 3 — FEIL

Omvendt proporsjonalitet krever at produktet $x \cdot y$ er konstant for alle verdier av $x$ og $y$ — ikke bare i ett enkelt tilfelle.

Moteksempel: Ta $y = x^2 + 1$. La $x = 2$ og $y = 5$. Halvér $x$ til $x = 1$ og sjekk om $y$ dobler seg til $y = 10$:

$$y = 1^2 + 1 = 2 \neq 10$$

Altså dobler ikke $y$ seg når $x$ halveres her.

Men poenget er enda skarpere: selv om man observerer at $y$ dobler seg akkurat én gang når $x$ halveres, garanterer det ikke omvendt proporsjonalitet. Omvendt proporsjonalitet betyr at $x \cdot y = k$ for en konstant $k$ og alle verdier — ett enkelt tilfelle er ikke nok til å fastslå det.

Eksempel der det ene tilfellet stemmer, men sammenhengen ikke er omvendt proporsjonal: La $y = \frac{6}{x} + x - 2$. For $x = 2$ er $y = 3 + 2 - 2 = 3$. For $x = 1$ er $y = 6 + 1 - 2 = 5 \neq 6$, så forholdet er ikke konstant. Påstand 3 er feil.

Påstand 4 — FEIL

For en sirkel med radius $r$ er arealet $A = \pi r^2$ og omkretsen $O = 2\pi r$. Forholdet mellom areal og omkrets er

$$\frac{A}{O} = \frac{\pi r^2}{2\pi r} = \frac{r}{2}$$

Dette forholdet avhenger av $r$ — det er ikke konstant. Dermed er arealet ikke proporsjonalt med omkretsen.

Konkret eksempel: For $r = 1$ er $A = \pi$ og $O = 2\pi$, så $\frac{A}{O} = \frac{1}{2}$. For $r = 2$ er $A = 4\pi$ og $O = 4\pi$, så $\frac{A}{O} = 1$. Siden $\frac{A}{O}$ endrer seg, er størrelsene ikke proporsjonale. Påstand 4 er feil.