S1 — alle oppgaver
Kunnskapsgrunnlag for KI-assistenter: alle 484 oppgaver i S1 (Samfunnsfaglig matematikk) fra matematikkoppgaver.no, samlet som markdown. Oppgavene er sortert fra nyeste eksamen. Matematikk er skrevet i LaTeX ($…$ og $$…$$).
Denne versjonen har ikke fasit eller løsningsforslag. Samme samling med løsningsforslag: https://matematikkoppgaver.no/s1-raadata-losning/
Matematikk S1 er moderne bruk av matematikk i samfunnsfag og økonomi.
## Om innholdet
- Eksamensoppgavene er offentlige og kommer fra Utdanningsdirektoratet (UDIR).
- Løsningsforslagene er laget for matematikkoppgaver.no og kan inneholde feil. Nettadressen under hver oppgave går til oppgavesiden med figurer og ferdige formler.
- Bilder står som markdown-bilder med bildetekst og nettadresse.
- Læreplan LK20: https://www.udir.no/lk20/mat04-02/kompetansemaal-og-vurdering/kv295?lang=nob
- Læreplan LK06 (utgått): https://www.udir.no/kl06/MAT4-01/Hele/Kompetansemaal/matematikk-s1
- Sist generert: 2026-09-27
## Forklaring på feltene
- **Eksamen:** eksamensperioden og læreplanen (LK20 er gjeldende, LK06 er den forrige).
- **Del:** del 1 løses uten hjelpemidler, del 2 med hjelpemidler som digitale verktøy.
- **Nivå:** vanskegrad fra 1 (lett) til 3 (krevende), klassifisert av KI.
- **Kompetansemål:** mål fra læreplanen som oppgaven dekker, med kode i parentes.
---
## V2026 del 1 oppgave 1 — Derivasjon med brøk og kjerneregel S1 V26
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2026 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Logaritmer
- **Kompetansemål:** Forstå begrepene gjennomsnittlig og momentan vekstfart, grenseverdi og derivasjon, og bruke disse for å løse praktiske problemer (KM3141)
- **Kort beskrivelse:** Derivere $g(x)=3x^2-5+\frac{3}{x-2}$ med brøkregel og $h(x)=(3x+2)^3+\ln(3x)$ med kjerneregel.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/derivasjon-med-brok-og-kjerneregel/
### Oppgavetekst
Deriver funksjonene $g$ og $h$ gitt ved
a)
$$
g(x) = 3x^2 - 5 + \dfrac{3}{x-2}
$$
b)
$$
h(x) = (3x+2)^3 + \ln(3x)
$$
---
## V2026 del 1 oppgave 2 — Topp- og bunnpunkt for eksponentialfunksjon R1 V26
- **Fag:** R1, S1
- **Eksamen:** Vår 2026 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Eksponentialfunksjon
- **Kompetansemål:** Utforske og forstå regneregler for potenser og logaritmer, og bruke ulike strategier for å løse eksponentialligninger og logaritmeligninger (KM3122); Forstå begrepene gjennomsnittlig og momentan vekstfart, grenseverdi og derivasjon, og bruke disse for å løse praktiske problemer (KM3141)
- **Kort beskrivelse:** Finne nullpunkter for $f(x)=e^x(6-e^x)$, vise at $f'(x)=2e^x(3-e^x)$ og bestemme topp-/bunnpunkter med fortegnsskjema.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/topp-og-bunnpunkt-for-eksponentialfunksjon/
### Oppgavetekst
En funksjon $f$ er gitt ved
$$
f(x) = e^x(6 - e^x)
$$
a) Bestem eventuelle nullpunkter til funksjonen $f$.
b) Vis at $f'(x) = 2e^x(3 - e^x)$.
c) Bestem koordinatene til eventuelle topp- eller bunnpunkter på grafen til $f$.
Avgjør om eventuelle punkter er topp- eller bunnpunkter.
---
## V2026 del 1 oppgave 3 — Sortere og forenkle logaritmeuttrykk R1 V26
- **Fag:** R1, S1
- **Eksamen:** Vår 2026 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Logaritmer
- **Kompetansemål:** Utforske og forstå regneregler for potenser og logaritmer, og bruke ulike strategier for å løse eksponentialligninger og logaritmeligninger (KM3122); Utforske og gjøre rede for egenskapene ved potenser og logaritmer, og gi eksempler på reelle anvendelser av disse egenskapene (KM3134)
- **Kort beskrivelse:** Sortere $\log_2 8$, $e^{3\ln 1}$, $\lg 7$, $\sqrt[4]{3^3}$ i stigende rekkefølge og forenkle $\lg(ab)-\lg\frac{a}{b}+\lg(100b^3)$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sortere-og-forenkle-logaritmeuttrykk/
### Oppgavetekst
a) Sorter uttrykkene nedenfor i stigende rekkefølge. Husk å begrunne svaret.
$$
\log_2 8 \qquad e^{3\ln 1} \qquad \lg 7 \qquad \sqrt[4]{3^3}
$$
b) Skriv så enkelt som mulig
$$
\lg(ab) - \lg\frac{a}{b} + \lg(100b^3)
$$
---
## V2026 del 1 oppgave 4 — Grenseverdi av rasjonalt uttrykk R1 V26
- **Fag:** R1, S1
- **Eksamen:** Vår 2026 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Grenseverdi, Rasjonale funksjoner
- **Kompetansemål:** Bruke ulike strategier for å utforske og bestemme grenseverdier til funksjoner, og utforske og argumentere for anvendelser av grenseverdier (KM3143)
- **Kort beskrivelse:** Bestemme $\lim_{x\to\infty} \frac{2x+2}{3x^2+3}$ ved å sammenligne graden i teller og nevner.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/grenseverdi-av-rasjonalt-uttrykk/
### Oppgavetekst
Bestem grenseverdien dersom den eksisterer
$$
\lim_{x\to\infty} \frac{2x+2}{3x^2+3}
$$
---
## V2026 del 1 oppgave 5 — Påstander om asymptote og arbeidsgrupper S1 V26
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2026 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Rasjonale funksjoner, Kombinatorikk, Argumentasjon
- **Kompetansemål:** Utforske og forstå kombinatoriske forsøk med ordnede og uordnede utvalg (KM3138); Gjøre rede for og argumentere for om en funksjon er kontinuerlig eller diskontinuerlig i et punkt i et definisjonsområde, og gi eksempler på anvendelser av funksjoner som ikke er kontinuerlige (KM3142); Uttrykke egne resonnementer ved hjelp av matematiske begreper og symbolspråk (KM3135)
- **Kort beskrivelse:** Avgjøre om påstand om vertikal asymptote for $\frac{ax^2+bx+c}{x-d}$ er sann, og sammenligne antall arbeidsgrupper på 4 og 3 av 7 medlemmer.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/pastander-om-asymptote-og-arbeidsgrupper/
### Oppgavetekst
Avgjør om hver påstand nedenfor er sann eller usann. Forklar tydelig hvordan du har resonnert.
a) En funksjon $f$ er gitt ved
$$
f(x) = \frac{ax^2+bx+c}{x-d} \qquad \text{der } a, b, c, d \in \mathbb{R}
$$
**Påstand:** Alle funksjoner på denne formen har en vertikal asymptote $x = d$.
b) En klubb har 7 medlemmer. Noen av medlemmene skal være med i en arbeidsgruppe.
**Påstand:** Det er flere mulige forskjellige arbeidsgrupper med 4 medlemmer enn det er mulige forskjellige arbeidsgrupper med 3 medlemmer.
---
## V2026 del 1 oppgave 6 — Vekstfart fra graf
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2026 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Vekstfart, Derivasjon, Graftolkning
- **Kompetansemål:** Forstå begrepene gjennomsnittlig og momentan vekstfart, grenseverdi og derivasjon, og bruke disse for å løse praktiske problemer (KM3141)
- **Kort beskrivelse:** Bestemme gjennomsnittlig vekstfart i $[0,3]$ og momentan vekstfart for $f$ i $x=0$ og $x=3$ ved avlesning på graf.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/vekstfart-fra-graf/
### Oppgavetekst
Nedenfor ser du grafen til en funksjon $f$.
a) Bruk figuren til å bestemme den gjennomsnittlige vekstfarten for $f$ i intervallet $x \in [0,\ 3]$.
b) Bruk figuren til å bestemme den momentane vekstfarten når $x=0$, og når $x=3$. Forklar hvordan du kommer fram til svarene dine.
---
## V2026 del 1 oppgave 7 — Binomisk sannsynlighet og fremmedspråk S1 V26
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2026 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Binomisk fordeling, Sannsynlighet
- **Kompetansemål:** Utforske og tolke binomiske og hypergeometriske fordelinger, og gi eksempler på reelle anvendelser av disse fordelingene (KM3136); Analysere et problem der sannsynlighet og kombinatorikk inngår, og bruke ulike strategier i problemløsingen (KM3133)
- **Kort beskrivelse:** Bestemme binomisk sannsynlighet for nøyaktig 1 riktig av 3 spørsmål med 3 alternativer, og bruke unionsregelen for elever som verken har tysk eller S1.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/binomisk-sannsynlighet-og-fremmedsprak/
### Oppgavetekst
Ole skal ta en flervalgsprøve som består av tre oppgaver. Hver oppgave har tre svaralternativer, og ett alternativ er riktig. Ole synes oppgavene er vanskelige, og velger svaralternativer tilfeldig.
a) Bestem sannsynligheten for at Ole får nøyaktig ett riktig svar.
Ole går i en klasse med 20 elever. Av disse har åtte elever valgt tysk som fremmedspråk, og ti elever har valgt S1 som programfag. Tre av elevene har valgt både S1 og tysk.
b) Bestem sannsynligheten for at en tilfeldig elev fra klassen verken har valgt tysk eller S1.
---
## V2026 del 1 oppgave 8 — Romfordeling og kombinatorikk på hyttetur S1 V26
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2026 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Kombinatorikk, Sannsynlighet
- **Kompetansemål:** Utforske og forstå kombinatoriske forsøk med ordnede og uordnede utvalg (KM3138); Analysere et problem der sannsynlighet og kombinatorikk inngår, og bruke ulike strategier i problemløsingen (KM3133)
- **Kort beskrivelse:** Telle antall måter 5 jenter kan fordeles på rom med plassene 2+3, finne sannsynligheten for at Anastasia havner sammen med Elena ved taktisk valg, og telle grupperinger på rommene 1+2+2.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/romfordeling-og-kombinatorikk-pa-hyttetur/
### Oppgavetekst
Anastasia, Bianka, Carlotta, Diana og Elena er på hyttetur sammen. På hytta er det to soverom, ett med plass til to personer og ett med plass til tre personer.
Jentene skal fordele seg på de to rommene slik at det er én person per plass. Vi bryr oss ikke om hvem som tar hvilken plass innad på rommene.
a) På hvor mange måter kan jentene fordele seg på de to rommene?
Anastasia var sjåfør da de kjørte til hytta. Hun får lov til å velge rom først. Når hun har valgt rom, skal de andre fordele seg ved loddtrekning.
Anastasia vet at Elena av og til står opp veldig tidlig. Hun velger derfor taktisk for å minimere sannsynligheten for å sove på samme rom som Elena.
b) Bestem sannsynligheten for at Anastasia må sove på samme rom som Elena.
Etter noen dager skal jentene bytte til en annen hytte med tre soverom. Der er det ett rom med plass til tre personer og to rom som begge har plass til to personer.
Nå er vi ikke interessert i hvilket rom jentene sover på, bare hvem som sover sammen med hvem.
c) På hvor mange forskjellige måter kan jentene gruppere seg?
---
## V2026 del 2 oppgave 1 — Potensregresjon for volum og radius S1 V26
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2026 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Regresjon, Derivasjon, Modellering, Potenser
- **Kompetansemål:** Anvende derivasjon til å analysere og tolke egne matematiske modeller av reelle datasett (KM3140); Utforske og gjøre rede for egenskapene ved potenser og logaritmer, og gi eksempler på reelle anvendelser av disse egenskapene (KM3134)
- **Kort beskrivelse:** Tilpasse potensmodell $V(x)=a\cdot x^b$ til radius/volum-måleserie, derivere og tolke $V'(4)$, og bestemme hvor mye volumet øker når radien dobles.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/potensregresjon-for-volum-og-radius/
### Oppgavetekst
Eva har kjøpt et sett med kopper. Koppene er tilnærmet sylinderformede. Alle har samme høyde, men de har ulik radius. Eva har målt de ulike radiene og volumene. Se tabellen nedenfor.
| Radius (cm) | 3,5 | 3,6 | 3,8 | 4,5 | 4,7 | 4,9 |
|:-----------:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|
| Volum (mL) | 440 | 470 | 530 | 730 | 830 | 900 |
a) Lag en modell på formen
$$
V(x) = a\cdot x^b
$$
for sammenhengen mellom radius $x$ og volumet $V$.
b) Bestem $V'(4)$. Gi en praktisk tolkning av svaret.
c) Hvor mye øker volumet dersom radien dobles ifølge modellen fra oppgave a?
---
## V2026 del 2 oppgave 2 — Sommervikarer og hypergeometrisk sannsynlighet S1 V26
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2026 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Hypergeometrisk fordeling, Sannsynlighet
- **Kompetansemål:** Utforske og tolke binomiske og hypergeometriske fordelinger, og gi eksempler på reelle anvendelser av disse fordelingene (KM3136)
- **Kort beskrivelse:** Beregne hypergeometrisk sannsynlighet for at minst 8 av 10 trukne søkere er 16 år eller eldre, og bestemme stikkprøvestørrelse slik at $P(\text{minst 10 er 16+}) \ge 0{,}90$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sommervikarer-og-hypergeometrisk-sannsynlighet/
### Oppgavetekst
Et firma har søkt etter 5 sommervikarer. Firmaet har mottatt 80 søknader. Blant søkerne er det 14 ungdommer under 16 år.
Ledelsen bestemmer seg for å intervjue noen av søkerne. Søkerne som skal intervjues, trekkes ut tilfeldig.
Ledelsen ønsker å intervjue 10 søkere.
a) Bestem sannsynligheten for at minst 8 av disse er 16 år eller eldre.
Ledelsen ønsker at flere av søkerne de innkaller til intervju, er 16 år eller eldre.
b) Hvor mange søkere må ledelsen minst intervjue for å være 90 % sikre på at 10 eller flere er 16 år eller eldre?
---
## V2026 del 2 oppgave 3 — Maksimalt rektangel under eksponentialgraf R1 V26
- **Fag:** R1, S1
- **Eksamen:** Vår 2026 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Optimering, Derivasjon, Eksponentialfunksjon
- **Kompetansemål:** Anvende derivasjon til å analysere og forstå optimaliseringsproblemer (KM3139)
- **Kort beskrivelse:** Uttrykke sidene $AB$ og $AD$ i rektangelet ved $a$ ut fra $f(x)=100\cdot 0{,}8^x$, sette opp arealfunksjonen $A(a)$ og bruke derivasjon for å bestemme maksimalt areal.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/maksimalt-rektangel-under-eksponentialgraf/
### Oppgavetekst
Figuren ovenfor viser grafen til en funksjon $f$ gitt ved $f(x) = 100\cdot 0{,}8^x$ og et rektangel $ABCD$.
Punktet $A$ har koordinatene $A(a, f(a))$ der $a \in [0, 5\rangle$. Punktene $B$ og $C$ har førstekoordinat $5$, og punktene $C$ og $D$ har andrekoordinat $200$.
a) Uttrykk lengden av linjestykkene $AB$ og $AD$ ved $a$.
b) Bruk derivasjon til å bestemme det største arealet rektangelet $ABCD$ kan få.
---
## V2026 del 2 oppgave 4 — Strømstønad som delt funksjon S1 V26
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2026 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Delt forskrift, Kontinuitet, Modellering
- **Kompetansemål:** Gjøre rede for og argumentere for om en funksjon er kontinuerlig eller diskontinuerlig i et punkt i et definisjonsområde, og gi eksempler på anvendelser av funksjoner som ikke er kontinuerlige (KM3142); Uttrykke egne resonnementer ved hjelp av matematiske begreper og symbolspråk (KM3135)
- **Kort beskrivelse:** Argumentere for hvorfor strømpris-funksjonen må ha delt forskrift og være kontinuerlig ved terskelen 75 øre/kWh, og sette opp funksjonsuttrykket $f(x)$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/stromstonad-som-delt-funksjon/
### Oppgavetekst
Utdraget nedenfor er hentet fra regjeringens nettsider om strømtiltak og støtte til husholdningene.
>
> **Støtte til husholdningene**
>
> **Husholdninger** — *Ansvar: Energidepartementet.*
>
> Regjeringen har de siste årene gjennomført en rekke tiltak for å skjerme husholdningene mot høye strømpriser og legge til rette for et mer forbrukervennlig strømmarked.
>
> **Strømstønad til husholdningene**
>
> Strømstønadsordningen har siden desember 2021 bidratt til å skjerme husholdninger mot ekstraordinært høye strømpriser. Ordningen gir forutsigbarhet og bidrar til å holde strømutgiftene til husholdningene nede. Når spotprisen i enkelttimer overstiger 75 øre/kWh eksklusive merverdiavgift, vil strømstønaden dekke 90 prosent av prisen over dette nivået. Husholdninger får stønad på strømforbruk på opptil 5 000 kWh per måned per målepunkt. Ordningen administreres gjennom husholdningenes lokale nettselskap og skjer gjennom et automatisk fratrekk på fakturaen for nettleie.
> **Info**
> Spotpris
> *Spotpris* er den varierende prisen for strøm. Den endrer seg hele tiden, avhengig av hvor mye strøm som produseres, og hvor mye folk bruker.
I denne oppgaven kan du se bort fra merverdiavgift og anta et strømforbruk under 5000 kWh per måned per målepunkt.
La $f(x)$ beskrive strømprisen til husholdningen i øre/kWh, etter at strømstønaden er trukket fra, der $x$ er spotprisen i øre/kWh.
a) Forklar hvorfor funksjonen $f$ har delt forskrift, og begrunn hvorfor den må være kontinuerlig.
b) Sett opp et funksjonsuttrykk for $f(x)$.
---
## V2026 del 2 oppgave 5 — Terningspill med simulering S1 V26
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2026 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Simulering, Programmering
- **Kompetansemål:** Bruke digitale verktøy til å simulere og utforske utfall i stokastiske forsøk, og forstå begrepet stokastiske variabler (KM3137); Analysere et problem der sannsynlighet og kombinatorikk inngår, og bruke ulike strategier i problemløsingen (KM3133)
- **Kort beskrivelse:** Beregne sannsynligheten for at Erik vinner én runde i terningspillet, og bruke simulering til å estimere $P(\text{Erik når 100 poeng før Kris})$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/terningspill-med-simulering/
### Oppgavetekst
Erik og Kris spiller et terningspill. Spillet foregår over flere runder. Nedenfor ser du reglene som gjelder for én runde.
- Erik kaster en terning med seks sider, nummerert med sifrene 1 til 6.
- Kris kaster to terninger. Hver terning har fire sider, nummerert med sifrene 1 til 4.
- Erik sammenligner sin terning med den terningen til Kris som viser høyest verdi. Dersom terningen til Erik viser en høyere verdi, får han 1 poeng. Dersom terningen til Erik ikke viser en høyere verdi, får Kris 1 poeng.
a) Bestem sannsynligheten for at Erik får poeng i den første runden de spiller.
Erik og Kris spiller flere runder.
b) Bruk simulering til å bestemme sannsynligheten for at Erik får 100 poeng før Kris.
---
## V2025 del 1 oppgave 1 — Derivasjon av eksponential og potensfunksjon
- **Fag:** S1, R1
- **Eksamen:** Vår 2025 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Eksponentialfunksjon
- **Kompetansemål:** Forstå begrepene gjennomsnittlig og momentan vekstfart, grenseverdi og derivasjon, og bruke disse for å løse praktiske problemer (KM3141)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/derivasjon-av-eksponential-og-potensfunksjon/
### Oppgavetekst
Deriver funksjonen $f$ gitt ved
$$
f(x) = e^{-2x} + \frac{1}{5}x^5 - 2\pi
$$
---
## V2025 del 1 oppgave 2 — Nullpunkter og ekstremalpunkter for g
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2025 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Funksjonsdrøfting
- **Kompetansemål:** Forstå begrepene gjennomsnittlig og momentan vekstfart, grenseverdi og derivasjon, og bruke disse for å løse praktiske problemer (KM3141); Uttrykke egne resonnementer ved hjelp av matematiske begreper og symbolspråk (KM3135)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/nullpunkter-og-ekstremalpunkter-for-g/
### Oppgavetekst
En funksjon $g$ er gitt ved $g(x) = \frac{1}{2}e^x \cdot (2x-1)^2$
a) Bestem eventuelle nullpunkter til funksjonen $g$.
b) Vis at $g'(x) = \frac{1}{2}e^{x}(2x-1)(2x+3)$
c) Finn koordinatene til eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til $g$.
---
## V2025 del 1 oppgave 4 — Grenseverdier med algebraisk forenkling
- **Fag:** S1, R1
- **Eksamen:** Vår 2025 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Grenseverdi
- **Kompetansemål:** Bruke ulike strategier for å utforske og bestemme grenseverdier til funksjoner, og utforske og argumentere for anvendelser av grenseverdier (KM3143)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/grenseverdier-med-algebraisk-forenkling/
### Oppgavetekst
Bestem grenseverdiene
a)
$$
\lim_{x\to 3} \dfrac{3(x^2-3)}{x-3}
$$
b)
$$
\lim_{x\to 4} \dfrac{\sqrt{x}-2}{x-4}
$$
---
## V2025 del 1 oppgave 5 — Sannsynlighet for skytter Arne Treff
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2025 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Diskrete sannsynlighetsfordelinger
- **Kompetansemål:** Utforske og tolke binomiske og hypergeometriske fordelinger, og gi eksempler på reelle anvendelser av disse fordelingene (KM3136)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sannsynlighet-for-skytter-arne-treff/
### Oppgavetekst
Skiskytter Arne Treff skal skyte en serie på tre skudd. Det har tidligere vist seg at Arne treffer på 80 % av skuddene sine. Vi antar at alle skuddene er uavhengige av hverandre.
a) Bestem sannsynligheten for at Arne treffer på begge de to første skuddene.
b) Bestem sannsynligheten for at Arne treffer på nøyaktig to av de tre skuddene.
c) Bestem sannsynligheten for at Arne treffer på høyst ett av de tre skuddene.
---
## V2025 del 1 oppgave 6 — Kontinuitet av funksjoner med delt forskrift
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2025 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Kontinuitet, Funksjoner
- **Kompetansemål:** Gjøre rede for og argumentere for om en funksjon er kontinuerlig eller diskontinuerlig i et punkt i et definisjonsområde, og gi eksempler på anvendelser av funksjoner som ikke er kontinuerlige (KM3142)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kontinuitet-av-funksjoner-med-delt-forskrift/
### Oppgavetekst
Funksjonene $f$ og $g$ er gitt ved
$$
f(x) = \begin{cases} x^2 + 2\text{,} \quad & x < 0 \\ 2e^x\text{,} & x \ge 0 \end{cases}
$$
og
$$
g(x) = \begin{cases} x^2 + 2\text{,} \quad & x < 0 \\ 1\text{,} & x = 0 \\ 2e^x\text{,} & x > 0 \end{cases}
$$
a) Avgjør om $f$ er kontinuerlig i $x = 0$.
b) Avgjør om $g$ er kontinuerlig i $x = 0$.
---
## V2025 del 2 oppgave 1 — Hengelåskode og simulering
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2025 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Simulering, Kombinatorikk
- **Kompetansemål:** Utforske og forstå kombinatoriske forsøk med ordnede og uordnede utvalg (KM3138); Bruke digitale verktøy til å simulere og utforske utfall i stokastiske forsøk, og forstå begrepet stokastiske variabler (KM3137)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/hengelaskode-og-simulering/
### Oppgavetekst
Peder har glemt koden på hengelåsen sin. Koden består av tre sifre. Peder husker at sifrene 7, 8, 9 og 0 ikke er med i koden. Han bestemmer seg for å prøve seg fram.
a) Bestem sannsynligheten for at Peder klarer å åpne hengelåsen på første forsøk.
b) Bruk simulering til å bestemme sannsynligheten for at Peder klarer å åpne hengelåsen på første forsøk.
---
## V2025 del 2 oppgave 2 — Funksjon med delt forskrift og ukjent ledd
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2025 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Kontinuitet, Derivasjon, Funksjoner
- **Kompetansemål:** Gjøre rede for og argumentere for om en funksjon er kontinuerlig eller diskontinuerlig i et punkt i et definisjonsområde, og gi eksempler på anvendelser av funksjoner som ikke er kontinuerlige (KM3142); Forstå begrepene gjennomsnittlig og momentan vekstfart, grenseverdi og derivasjon, og bruke disse for å løse praktiske problemer (KM3141)
- **Kort beskrivelse:** Bestemme koeffisientene i et tredjegradspolynom ved fire krav — kontinuitet i $x=-2$ og $x=1$ samt $f'(-2)=-9$ og $f'(1)=0$ — løst i CAS.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/funksjon-med-delt-forskrift-og-ukjent-ledd/
### Oppgavetekst
Amalie arbeider med en funksjon $f$ med delt forskrift og skal vise funksjonsuttrykket til de andre i klassen. Dessverre har hun sølt på arket sitt og klarer ikke å lese alt som står der.
$$
f(x) = \begin{cases}
-9x - 15\text{,} & x \le -2 \\
\blacksquare\blacksquare\blacksquare\blacksquare \text{,} & -2 < x < 1 \\
\dfrac{x^2}{2} - x - \dfrac{7}{2}\text{,} \quad & x \ge 1 \end{cases}
$$
Hun husker at $f$ er kontinuerlig for alle $x \in \mathbb{R}$. Hun husker også at uttrykket i midten er et tredjegradspolynom. I tillegg husker hun at $f'(-2) = -9$ og $f'(1) = 0$.
Bruk dette til å bestemme hele funksjonsuttrykket til $f$.
---
## V2025 del 2 oppgave 3 — Kombinatorikk med elever i arbeidsgruppe
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2025 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Kombinatorikk, Sannsynlighet
- **Kompetansemål:** Utforske og forstå kombinatoriske forsøk med ordnede og uordnede utvalg (KM3138); Analysere et problem der sannsynlighet og kombinatorikk inngår, og bruke ulike strategier i problemløsingen (KM3133)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kombinatorikk-med-elever-i-arbeidsgruppe/
### Oppgavetekst
Ti elever skriver navnet sitt på hver sin lapp. Elevene legger de ti lappene i en hatt. Fra hatten trekkes fire lapper tilfeldig. De fire elevene som trekkes ut, skal være med i en arbeidsgruppe.
a) På hvor mange mulige måter kan arbeidsgruppen settes sammen?
Sju av de ti elevene er jenter. Resten er gutter.
b) Bestem sannsynligheten for at minst to gutter blir med i arbeidsgruppen.
Emma og Marie er to av jentene.
c) Bestem sannsynligheten for at bare én av de to jentene blir med i arbeidsgruppen.
---
## V2025 del 2 oppgave 4 — Valgresultat og binomisk sannsynlighet
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2025 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Diskrete sannsynlighetsfordelinger, Statistikk
- **Kompetansemål:** Utforske og tolke binomiske og hypergeometriske fordelinger, og gi eksempler på reelle anvendelser av disse fordelingene (KM3136); Analysere et problem der sannsynlighet og kombinatorikk inngår, og bruke ulike strategier i problemløsingen (KM3133)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/valgresultat-og-binomisk-sannsynlighet/
### Oppgavetekst
Ved kommunevalget i 2023 stemte 11,3 % på Fremskrittspartiet. Vi skal plukke ut 10 tilfeldige personer som stemte ved valget.
a) Bestem sannsynligheten for at vi plukker ut minst 4 som stemte Fremskrittspartiet ved valget.
I en valgkrets var det totalt 243 som stemte. Bildet viser en oversikt over de fem partiene som fikk størst oppslutning i denne valgkretsen.
Også her skal vi plukke ut 10 tilfeldige personer blant dem som stemte.
b) Bestem sannsynligheten for at vi plukker ut minst 4 som stemte Arbeiderpartiet ved valget. Husk å begrunne valget av metoden du bruker for å regne ut sannsynligheten.
---
## V2025 del 2 oppgave 5 — T-skjorter, inntekt og overskudd
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2025 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Økonomi, Derivasjon, Funksjonsdrøfting
- **Kompetansemål:** Anvende derivasjon til å analysere og forstå optimaliseringsproblemer (KM3139); Anvende derivasjon til å analysere og tolke egne matematiske modeller av reelle datasett (KM3140)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/t-skjorter-inntekt-og-overskudd/
### Oppgavetekst
En bedrift produserer og selger T-skjorter. Prisen $p(x)$ kroner per T-skjorte ved produksjon og salg av $x$ T-skjorter per uke er gitt ved
$$
p(x) = -0{,}001x^2 + 0{,}2x + 100
$$
De totale kostnadene $K(x)$ kroner per uke er gitt ved
$$
K(x) = 0{,}1x^2 + 8000
$$
a) Bestem den største mulige inntekten bedriften kan få per uke.
b) Bestem det største mulige overskuddet bedriften kan få per uke.
Bedriften ønsker å gjennomføre en kampanje hvor de en uke donerer 30 kroner per solgte T-skjorte til veldedighet.
c) Bestem det største antallet T-skjorter bedriften kan produsere og selge i en uke med kampanje uten å gå med underskudd.
---
## V2025 del 2 oppgave 6 — Oljefondet og eksponentiell modell
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2025 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Eksponentiell vekst, Modellering, Gjennomsnittlig vekstfart
- **Kompetansemål:** Anvende derivasjon til å analysere og tolke egne matematiske modeller av reelle datasett (KM3140); Forstå begrepene gjennomsnittlig og momentan vekstfart, grenseverdi og derivasjon, og bruke disse for å løse praktiske problemer (KM3141)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/oljefondet-og-eksponentiell-modell/
### Oppgavetekst
Oljefondet (Statens pensjonsfond utland) ble opprettet etter at vi fant olje i Nordsjøen. Formålet med oljefondet er å sikre framtiden i norsk økonomi.
Figuren nedenfor viser utviklingen av oljefondet fra og med 1998 til og med 2024.
a) Lag en modell $O(t)$ som tilnærmet viser utviklingen av den totale verdien av oljefondet i hele perioden. Husk å begrunne valg av modell.
I resten av oppgaven skal du bruke funksjonen $V$ gitt ved
$$
V(t) = 330 \cdot 1{,}1787^{t}
$$
som modell for den totale verdien av oljefondet i milliarder kroner $t$ år etter 1998.
b) Bestem $V(20)$ og $V'(20)$. Gi en praktisk tolkning av svarene.
c) Sammenlign den gjennomsnittlige vekstfarten i intervallene $[0, 10]$ og $[16, 26]$.
---
## H2025 del 1 oppgave 1 — Derivasjon og tolkning av stigningstall
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2025 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Funksjoner
- **Kompetansemål:** Forstå begrepene gjennomsnittlig og momentan vekstfart, grenseverdi og derivasjon, og bruke disse for å løse praktiske problemer (KM3141)
- **Kort beskrivelse:** Derivere med potens- og kvotientregel; tolke fortegnsskifte $g'(2)>0$, $g'(3)<0$ som toppunkt for $g$ i $\langle2,3\rangle$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/derivasjon-og-tolkning-av-stigningstall/
### Oppgavetekst
a) Deriver funksjonen $f$ gitt ved
$$
f(x) = \frac{1}{3}x^3 + \sqrt{x} + 2
$$
Funksjon $g$ gitt ved
$$
g(x) = \frac{2x-3}{e^x}
$$
er kontinuerlig og deriverbar for alle $x \in \mathbb{R}$.
b) Bestem $g'(2)$ og $g'(3)$.
c) Hva forteller svarene i oppgave b om grafen til $g$ når $x \in [2, 3]$?
---
## H2025 del 1 oppgave 2 — Logaritmiske likninger og logbaser
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2025 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Logaritmer, Likninger
- **Kompetansemål:** Utforske og forstå regneregler for potenser og logaritmer, og bruke ulike strategier for å løse eksponentialligninger og logaritmeligninger (KM3122)
- **Kort beskrivelse:** Logaritmelikning via substitusjon $u = \lg x$; bestemme grunntall fra $\log_a b = c \iff a^c = b$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/logaritmiske-likninger-og-logbaser/
### Oppgavetekst
a) Løs likningen
$$
(\lg x)^2 - 2\lg x = 8
$$
b) Bestem $a$ slik at
$$
\log_a \frac{1}{64} = -3
$$
---
## H2025 del 1 oppgave 3 — Grenseverdier og eksistens
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2025 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Grenseverdi, Kontinuitet
- **Kompetansemål:** Bruke ulike strategier for å utforske og bestemme grenseverdier til funksjoner, og utforske og argumentere for anvendelser av grenseverdier (KM3143)
- **Kort beskrivelse:** Avgjøre eksistens av grenseverdi i $x=-2$; bestemme parameter $a$ slik at teller også har nullpunkt i $x=-2$ for å få eksisterende grenseverdi.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/grenseverdier-og-eksistens/
### Oppgavetekst
a) Bestem grenseverdien dersom den eksisterer:
$$
\lim_{x \to -2} \frac{x^2 - 4x + 2}{x^2 - 2x - 8}
$$
b)
1\) Bestem $a$ slik at grenseverdien eksisterer:
$$
\lim_{x \to -2} \frac{x^2 + ax + 2}{x^2 - 2x - 8}
$$
2\) Bestem grenseverdien for denne verdien av $a$.
---
## H2025 del 1 oppgave 4 — Kombinatorikk og passord
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2025 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Kombinatorikk
- **Kompetansemål:** Utforske og forstå kombinatoriske forsøk med ordnede og uordnede utvalg (KM3138)
- **Kort beskrivelse:** Multiplikasjonsprinsipp for passord med ulike siffer; komplementmetode $7^3-4^3-3^3$ for passord med minst én bokstav og ett siffer.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kombinatorikk-og-passord/
### Oppgavetekst
Et passord skal bestå av tre tegn og lages av sifrene 1–9 og bokstavene A–F.
Det første tegnet skal være en bokstav, og de to neste tegnene skal være to ulike siffer.
a) Hvor mange ulike passord er det mulig å lage med disse betingelsene?
Et annet passord skal også bestå av tre tegn.
- Hvert tegn skal være et av sifrene 1, 2, 3, 4 eller en av bokstavene A, B, C.
- Både sifrene og bokstavene kan forekomme flere ganger.
- Passordet må inneholde minst én bokstav og minst ett siffer.
b) Hvor mange ulike passord er det mulig å lage med disse betingelsene?
---
## H2025 del 1 oppgave 5 — Topp- og bunnpunkter med ln
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2025 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Funksjoner, Logaritmer
- **Kompetansemål:** Forstå begrepene gjennomsnittlig og momentan vekstfart, grenseverdi og derivasjon, og bruke disse for å løse praktiske problemer (KM3141)
- **Kort beskrivelse:** Derivere $f(x)=4x^2\ln x$ med produktregelen, løse $f'(x)=0$ og bruke fortegnsskjema til å finne bunnpunkt $(1/\sqrt{e},\,-2/e)$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/topp-og-bunnpunkter-med-ln/
### Oppgavetekst
En funksjon $f$ er gitt ved
$$
f(x) = 4x^2 \cdot \ln x
$$
Bestem koordinatene til eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til $f$.
---
## H2025 del 1 oppgave 6 — Einars straffesparkkonkurranse
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2025 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Programmering
- **Kompetansemål:** Analysere et problem der sannsynlighet og kombinatorikk inngår, og bruke ulike strategier i problemløsingen (KM3133)
- **Kort beskrivelse:** Lese Python-program for tilfeldige straffespark; beregne $P(\text{alle treff})=(2/5)^3$; finste minste $n$ slik at $1-0{,}7^n\geq0{,}5$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/einars-straffesparkkonkurranse/
### Oppgavetekst
Einar er fotballspiller og har skrevet programmet nedenfor.
```python ln
from random import choice
#choice returnerer en tilfeldig verdi fra en liste
alternativer = ["bom", "bom", "bom", "treff", "treff"]
#liste med alternativer
skuddserie = 3
antall_treff = 0
for i in range(skuddserie):
skudd = choice(alternativer)
if skudd == "treff":
antall_treff = antall_treff + 1
print(antall_treff/skuddserie)
```
a) Hvilke mulige verdier kan programmet skrive ut?
b) Bestem sannsynligheten for at programmet skriver ut $1{,}0$.
Når Einar tar et straffespark, er sannsynligheten for at han scorer mål, $30\,\%$.
c) Hva er det minste antallet straffespark Einar må ta for at sannsynligheten for at han scorer minst ett mål, skal være $50\,\%$ eller mer?
---
## H2025 del 2 oppgave 1 — Eksponentiell modell for befolkningsvekst
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2025 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Eksponentiell vekst, Modellering, Regresjon, Derivasjon
- **Kompetansemål:** Anvende derivasjon til å analysere og tolke egne matematiske modeller av reelle datasett (KM3140); Forstå begrepene gjennomsnittlig og momentan vekstfart, grenseverdi og derivasjon, og bruke disse for å løse praktiske problemer (KM3141)
- **Kort beskrivelse:** Eksponentiell regresjon, løse $F'(t)=80$ for tidspunkt med vekstfart over 80, og løse $(F(t)-F(0))/t=80$ for gjennomsnittlig vekst i CAS.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/eksponentiell-modell-for-befolkningsvekst/
### Oppgavetekst
Tabellen nedenfor viser folketallet i en bygd, noen år i perioden 1910–1935.
| År | 1910 | 1913 | 1919 | 1921 | 1925 | 1927 | 1931 | 1935 |
|-----------|------|------|------|------|------|------|------|------|
| Folketall | 800 | 963 | 1253 | 1511 | 1720 | 1879 | 2387 | 2774 |
a) Bruk informasjonen til å lage en modell på formen
$$
F(t) = a \cdot b^t
$$
for antall personer $F(t)$ som bodde i bygda $t$ år etter 1910.
Vurder modellens gyldighetsområde.
b) Når økte befolkningen med mer enn 80 personer per år ifølge modellen?
c) Hvor mange år gikk det før den gjennomsnittlige befolkningsveksten fra 1910 var større enn 80 personer per år ifølge modellen?
---
## H2025 del 2 oppgave 2 — Stykkevis funksjon og kontinuitet
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2025 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Kontinuitet, Funksjoner, Delt forskrift
- **Kompetansemål:** Gjøre rede for og argumentere for om en funksjon er kontinuerlig eller diskontinuerlig i et punkt i et definisjonsområde, og gi eksempler på anvendelser av funksjoner som ikke er kontinuerlige (KM3142)
- **Kort beskrivelse:** Stykkevis definert funksjon: undersøke kontinuitet via ensidige grenser i $x=-2$, og faktorisere $k^3+k^2-2k-2=(k^2-2)(k+1)$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/stykkevis-funksjon-og-kontinuitet/
### Oppgavetekst
En funksjon $f$ er gitt ved
$$
f(x) = \begin{cases} 2x - 2 & x \le -2 \\ 2x^3 + 2x^2 - 4x \quad & -2 < x < k \\ 4 & x \ge k \end{cases} \quad \text{der } k \in \langle -2, \rightarrow \rangle
$$
a) Avgjør om $f$ er kontinuerlig når $x=-2$.
b) Bestem $k$ slik at $f$ er kontinuerlig når $x=k$.
---
## H2025 del 2 oppgave 3 — Sannsynlighet med drops
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2025 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Kombinatorikk
- **Kompetansemål:** Utforske og tolke binomiske og hypergeometriske fordelinger, og gi eksempler på reelle anvendelser av disse fordelingene (KM3136); Analysere et problem der sannsynlighet og kombinatorikk inngår, og bruke ulike strategier i problemløsingen (KM3133)
- **Kort beskrivelse:** Hypergeometriske sannsynligheter for å trekke drops uten tilbakelegging, og tre uavhengige trekninger fra hver sin pose.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sannsynlighet-med-drops/
### Oppgavetekst
Sander, Henny og Kari har hver sin pose med drops. I alle posene er det 3 grønne, 8 gule og 7 røde drops.
Sander tar 2 tilfeldige drops fra sin pose.
a) Bestem sannsynligheten for at han tar 2 gule drops.
Henny tar 3 tilfeldige drops fra sin pose.
b) Bestem sannsynligheten for at hun tar et drops av hver farge.
Sander og Henny legger tilbake dropsene de tok i oppgave a og b. Alle tre tar så et drops fra hver sin pose.
c) Bestem sannsynligheten for at alle får samme farge på dropset de tar.
---
## H2025 del 2 oppgave 4 — Kostnad, pris og overskudd
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2025 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Økonomi, Derivasjon, Funksjoner, Optimering, Overskudd
- **Kompetansemål:** Anvende derivasjon til å analysere og forstå optimaliseringsproblemer (KM3139)
- **Kort beskrivelse:** Maksimere overskuddsfunksjon $O(x)=I(x)-K(x)$ via $O'(x)=0$ i CAS; deretter finne minste pris som dekker kostnader.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kostnad-pris-og-overskudd/
### Oppgavetekst
En elevbedrift produserer og selger et produkt. Kostnaden $K(x)$ kroner ved produksjon og salg er gitt ved
$$
K(x) = 0{,}02x^2 + 60x + 12000
$$
Elevbedriften selger produktet for 100 kroner per enhet.
a) Hvor stort er det største overskuddet elevbedriften kan få?
Elevbedriften klarer å forhandle ned de faste kostnadene til 8000 kroner. De produserer og selger nå 1000 enheter.
b) Hva er den laveste prisen elevbedriften kan selge produktet for, dersom de skal unngå å gå med underskudd?
---
## H2025 del 2 oppgave 5 — Luktintensitet og logaritmer
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2025 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Logaritmer, Modellering
- **Kompetansemål:** Utforske og gjøre rede for egenskapene ved potenser og logaritmer, og gi eksempler på reelle anvendelser av disse egenskapene (KM3134); Utforske og forstå regneregler for potenser og logaritmer, og bruke ulike strategier for å løse eksponentialligninger og logaritmeligninger (KM3122)
- **Kort beskrivelse:** Logaritmisk modell $I = 1{,}4 \lg C - 0{,}3$; beregne $I$ for gitte $C$, og løse for $C$ gitt $I$-intervall.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/luktintensitet-og-logaritmer/
### Oppgavetekst
Beboerne i et boligområde klager på lukt fra et biogassanlegg. Kommunen tar luftprøver og vurderer værdata som vind og temperatur.
Prøvene analyseres, og hver prøve gis en luktverdi $C$. Denne luktverdien er gitt i luktenheter (odour units) per kubikkmeter ($\mathrm{OU/m^3}$).
Sammenhengen mellom $C$ og luktintensiteten $I$ er gitt ved
$$
I = 1{,}4 \cdot \lg(C) - 0{,}3
$$
Biogassanlegget er pålagt å forholde seg til tabellen nedenfor.
| Luktintensitet ($I$) | Vurdering |
|---|---|
| $< 1$ | uproblematisk |
| $1$–$2$ | akseptabelt |
| $2$–$3$ | kan aksepteres kortvarig |
| $3$–$4$ | plagsom lukt, bør begrenses |
| $> 4$ | plagsomt, tiltak kreves |
Resultatet av prøvene viser luktverdier mellom $500 \mathrm{~OU/m^3}$ og $1400 \mathrm{~OU/m^3}$.
a) Har beboerne grunnlag for å klage?
Biogassanlegget tar klagene på alvor og ønsker å redusere luktplagene.
b) Hvilken luktverdi må nye prøver vise for at luktintensiteten skal bli akseptabel?
---
## H2025 del 2 oppgave 6 — Terningspill og forventningsverdi
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2025 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Programmering, Diskrete sannsynlighetsfordelinger
- **Kompetansemål:** Bruke digitale verktøy til å simulere og utforske utfall i stokastiske forsøk, og forstå begrepet stokastiske variabler (KM3137); Analysere et problem der sannsynlighet og kombinatorikk inngår, og bruke ulike strategier i problemløsingen (KM3133)
- **Kort beskrivelse:** Tolke Python-spillprogram, og finne forventet antall runder via $\mathrm{E}[\text{endring per terning}]=-1/3$ og $100\cdot (2/3)^r\to 0$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/terningspill-og-forventningsverdi/
### Oppgavetekst
Ola spiller et spill med mange vanlige terninger. Spillet går over flere runder.
For å kaste terninger og spille bruker Ola programmet nedenfor.
```python ln
from random import randint
#randint(a,b) gir et tilfeldig heltall fra og med a til og med b
runder = 0
terninger = 100
while terninger > 0:
for i in range(terninger):
if randint(1,6) == 6:
terninger = terninger + 3
else:
terninger = terninger - 1
runder = runder + 1
print(runder)
```
a) Hva er reglene for spillet?
Ola spiller mange ganger.
b) Bestem det gjennomsnittlige antallet runder spillet vil vare.
---
## V2024 del 1 oppgave 1 — Derivasjon med produktregel og ln
- **Fag:** S1, R1
- **Eksamen:** Vår 2024 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Logaritmer
- **Kompetansemål:** Forstå begrepene gjennomsnittlig og momentan vekstfart, grenseverdi og derivasjon, og bruke disse for å løse praktiske problemer (KM3141)
- **Kort beskrivelse:** Derivasjon av $4x^2 \cdot \ln(3x)$ med produktregelen og kjerneregelen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/derivasjon-med-produktregel-og-ln/
### Oppgavetekst
Deriver funksjonen.
$$
f(x) = 4x^2 \cdot \ln(3x)
$$
---
## V2024 del 1 oppgave 2 — Logaritmeligningen med substitusjon
- **Fag:** S1, R1
- **Eksamen:** Vår 2024 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Logaritmer, Likninger
- **Kompetansemål:** Utforske og forstå regneregler for potenser og logaritmer, og bruke ulike strategier for å løse eksponentialligninger og logaritmeligninger (KM3122)
- **Kort beskrivelse:** Løs $(\ln x)^2 - \ln x = 6$ ved substitusjon $u = \ln x$ og faktorisering av andregradsuttrykk.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/logaritmeligningen-med-substitusjon/
### Oppgavetekst
Løs likningen.
$$
(\ln x)^2 - \ln x = 6
$$
---
## V2024 del 1 oppgave 3 — Grenseverdier av eksponentialfunksjon
- **Fag:** S1, R1
- **Eksamen:** Vår 2024 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Eksponentialfunksjon, Grenseverdi
- **Kompetansemål:** Bruke ulike strategier for å utforske og bestemme grenseverdier til funksjoner, og utforske og argumentere for anvendelser av grenseverdier (KM3143)
- **Kort beskrivelse:** Bestem grenseverdier for $e^{-x+1}$ når $x \to \pm\infty$ ved å analysere eksponentens fortegn.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/grenseverdier-av-eksponentialfunksjon/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ er gitt ved
$$
f(x) = e^{-x+1}, \quad D_f = \mathbb{R}.
$$
Bestem grenseverdiene $\lim_{x\to\infty} f(x)$ og $\lim_{x\to-\infty} f(x)$ dersom de eksisterer.
---
## V2024 del 1 oppgave 4 — Sokker trukket fra skuff
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2024 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Kombinatorikk
- **Kompetansemål:** Analysere et problem der sannsynlighet og kombinatorikk inngår, og bruke ulike strategier i problemløsingen (KM3133); Utforske og forstå kombinatoriske forsøk med ordnede og uordnede utvalg (KM3138)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sokker-trukket-fra-skuff/
### Oppgavetekst
I en skuff ligger det 6 gule, 5 svarte og 4 hvite sokker.
a) Tenk deg at du tar 2 sokker tilfeldig fra skuffen. Bestem sannsynligheten for at begge sokkene er gule.
b) Tenk deg at du tar 3 sokker tilfeldig fra skuffen. Bestem sannsynligheten for at minst 2 av sokkene har samme farge.
---
## V2024 del 1 oppgave 5 — Kontinuerlig funksjon med størst mulig definisjonsmengde
- **Fag:** S1, R1
- **Eksamen:** Vår 2024 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Kontinuitet, Funksjoner, Delt forskrift
- **Kompetansemål:** Gjøre rede for og argumentere for om en funksjon er kontinuerlig eller diskontinuerlig i et punkt i et definisjonsområde, og gi eksempler på anvendelser av funksjoner som ikke er kontinuerlige (KM3142)
- **Kort beskrivelse:** Finn størst mulig definisjonsmengde der en stykkevis funksjon er kontinuerlig med uendret verdimengde.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kontinuerlig-funksjon-med-storst-mulig-definisjonsmengde/
### Oppgavetekst
En funksjon $f$ er definert ved
$$
f(x) = \begin{cases} x\text{,} & 0 \le x \le 2 \\ 5 - x\text{,} \quad & 2 < x \le 5 \end{cases}
$$
Gi funksjonen $f$ en ny definisjonsmengde slik at følgende er oppfylt samtidig:
- $f$ skal være kontinuerlig.
- Den nye definisjonsmengden skal være så stor som mulig.
- Verdimengden til $f$ skal være uendret.
---
## V2024 del 2 oppgave 1 — Edison biler – overskudd og enhetskostnad
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2024 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Økonomi, Derivasjon, Enhetskostnad
- **Kompetansemål:** Anvende derivasjon til å analysere og forstå optimaliseringsproblemer (KM3139); Anvende derivasjon til å analysere og tolke egne matematiske modeller av reelle datasett (KM3140)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/edison-biler-overskudd-og-enhetskostnad/
### Oppgavetekst
Bedriften Edison produserer biler. Kostnaden (oppgitt i 1000 kroner) ved å produsere $x$ biler per måned er gitt ved
$$
K(x) = 200x \cdot 1{,}015^{x} + 200.
$$
Edison selger alle bilene de produserer. Hver bil selges for 600 000 kroner.
a) Hvilken produksjonsmengde gir størst mulig overskudd?
b) Hvilken produksjonsmengde gir lavest mulig enhetskostnad?
En måned trenger et firma 70 biler. De er villige til å betale mer enn 600 000 kroner per bil. Firmaet inngår en kontrakt om at Edison skal lage 70 biler denne måneden og selge alle til dem. Kontrakten gir Edison et overskudd på 15 millioner kroner.
c) Hvilken pris ble avtalt per bil i denne kontrakten?
---
## V2024 del 2 oppgave 2 — Logaritme- og binomialpåstander
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2024 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Logaritmer, Kombinatorikk, Argumentasjon
- **Kompetansemål:** Utforske og gjøre rede for egenskapene ved potenser og logaritmer, og gi eksempler på reelle anvendelser av disse egenskapene (KM3134); Uttrykke egne resonnementer ved hjelp av matematiske begreper og symbolspråk (KM3135)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/logaritme-og-binomialpastander/
### Oppgavetekst
Avgjør om hver av påstandene nedenfor er sann eller usann. Forklar tydelig hvordan du har resonnert.
a) **Påstand:**
$$
\text{Når } x > 0 \text{, er } e^{k \cdot \ln(x)}=x^{k}
$$
b) **Påstand:**
$$
\text{Når } 1 < a < \dfrac{b}{2} \text{, er } \binom{b}{a+1} > \binom{b}{a}
$$
---
## V2024 del 2 oppgave 3 — Kombinatorikk for passord
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2024 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Kombinatorikk
- **Kompetansemål:** Utforske og forstå kombinatoriske forsøk med ordnede og uordnede utvalg (KM3138); Analysere et problem der sannsynlighet og kombinatorikk inngår, og bruke ulike strategier i problemløsingen (KM3133)
- **Kort beskrivelse:** Passordtelling med komplementmetoden i a; multinomialkoeffisient $6!/(2!2!2!)$ for permutasjoner av 2+2+2 tegntyper i b.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kombinatorikk-for-passord/
### Oppgavetekst
En skole har regler for å lage passord.
**Regelsett 1**
- Passordet må ha nøyaktig 6 tegn.
- Det er bare lov å bruke store og små bokstaver.
- Det må være minst én stor bokstav i passordet.
- Det må være minst én liten bokstav i passordet.
a) Hvor mange forskjellige passord er det mulig å lage ved å følge regelsett 1?
Skolen vil øke sikkerheten og legger til flere krav for å lage passord. De lager et nytt sett med regler.
**Regelsett 2**
- Passordet må ha nøyaktig 6 tegn.
- Det må være nøyaktig to store bokstaver i passordet.
- Det må være nøyaktig to små bokstaver i passordet.
- Det må være nøyaktig to sifre i passordet.
b) Gjør nødvendige beregninger for å vurdere effekten på sikkerheten av regelsett 2.
---
## V2024 del 2 oppgave 4 — Kuler i boks og hypergeometrisk sannsynlighet
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2024 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Kombinatorikk
- **Kompetansemål:** Utforske og tolke binomiske og hypergeometriske fordelinger, og gi eksempler på reelle anvendelser av disse fordelingene (KM3136); Analysere et problem der sannsynlighet og kombinatorikk inngår, og bruke ulike strategier i problemløsingen (KM3133)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kuler-i-boks-og-hypergeometrisk-sannsynlighet/
### Oppgavetekst
I en boks ligger det et ukjent antall røde og hvite kuler. Du trekker tre kuler uten tilbakelegging.
Hva er det minste antallet røde kuler og hvite kuler det kan være i boksen for at sannsynligheten skal være mellom 17 % og 18 % for at alle kulene du trekker, er hvite?
---
## V2024 del 2 oppgave 5 — Terninger – alle ulike og simulering
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2024 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Simulering
- **Kompetansemål:** Utforske og tolke binomiske og hypergeometriske fordelinger, og gi eksempler på reelle anvendelser av disse fordelingene (KM3136); Bruke digitale verktøy til å simulere og utforske utfall i stokastiske forsøk, og forstå begrepet stokastiske variabler (KM3137)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/terninger-alle-ulike-og-simulering/
### Oppgavetekst
Du kaster fem terninger.
a) Bestem sannsynligheten for at alle terningene viser forskjellige antall øyne.
b) Bruk simulering til å bestemme sannsynligheten for at du får nøyaktig tre seksere.
---
## V2024 del 2 oppgave 6 — Modell for drivstoffutvikling i Moss
- **Fag:** S1, R1
- **Eksamen:** Vår 2024 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Regresjon, Modellering, Eksponentiell vekst
- **Kompetansemål:** Anvende derivasjon til å analysere og tolke egne matematiske modeller av reelle datasett (KM3140)
- **Kort beskrivelse:** Lag lineær og eksponentiell regresjonsmodell for drivstoffutvikling og vurder modellenes gyldighet fremover.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/modell-for-drivstoffutvikling-i-moss/
### Oppgavetekst
Det har vært en stor endring i hvilken type drivstoff bilene i Norge bruker. Statistisk sentralbyrå samler inn data om dette, og tabellen viser en oversikt over typen drivstoff til registrerte personbiler i Moss i perioden 2010–2022.
a) Bruk opplysningene i tabellen til å lage modeller du mener beskriver utviklingen i drivstofftypene bensin og elektrisk («El.») $t$ år etter 2010. Argumenter for valg av modeller.
b) Ut fra modellene du har laget, hvordan vil du vurdere veksten i drivstofftypene bensin og elektrisk i årene framover, etter 2022? Kommenter gyldigheten til modellene dine.
---
## V2024 del 2 oppgave 7 — Innskrevet rektangel og Lars sitt program
- **Fag:** S1, R1
- **Eksamen:** Vår 2024 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Programmering, Funksjonsdrøfting, Optimering
- **Kompetansemål:** Anvende derivasjon til å analysere og forstå optimaliseringsproblemer (KM3139)
- **Kort beskrivelse:** Forklar og kjør program som bruker numerisk derivasjon for å maksimere areal av innskrevet rektangel, vurder strategiens generalitet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/innskrevet-rektangel-og-lars-sitt-program/
### Oppgavetekst
En funksjon $f$ er gitt ved
$$
f(x) = -x^2 + 4, \quad 0 \le x \le 2.
$$
Lars har tegnet grafen til $f$ med et innskrevet rektangel $ABCD$. Lars har også skrevet et program.
---
```python ln
def f(x):
return -x**2 + 4
def areal(x):
return x*f(x)
h = 0.0001
def der_areal(x):
return (areal(x + h) - areal(x))/h
x = 0
dx = 0.01
while der_areal(x + dx) > 0:
x = x + dx
print(areal(x))
```
a) Forklar hva Lars prøver å finne ut med programmet. Hva blir svaret hvis man kjører programmet?
b) Hvilken strategi bruker Lars i programmet sitt? Vil strategien fungere uavhengig av hvilken funksjon $f$ er?
---
## V2024 del 2 oppgave 8 — Pyramide i halvkule – størst mulig volum
- **Fag:** S1, R1
- **Eksamen:** Vår 2024 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Geometri, Derivasjon, Optimering, Volum
- **Kompetansemål:** Anvende derivasjon til å analysere og forstå optimaliseringsproblemer (KM3139)
- **Kort beskrivelse:** Optimer volumet av innskrevet pyramide i halvkule ved $V'(x)=0$ med bibetingelse fra halvsirkel.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/pyramide-i-halvkule-storst-mulig-volum/
### Oppgavetekst
En kule med radius $r$ deles i to like deler. Vi skal skjære ut en pyramide med rektangulær grunnflate av den ene halvkulen. Grunnflaten skal ligge i snittflaten til halvkulen.
Volumet av en pyramide er gitt ved
$$
V = \frac{h \cdot G}{3},
$$
der $G$ er grunnflaten og $h$ er høyden til pyramiden.
Bestem et uttrykk for det største volumet en slik pyramide kan ha.
---
## H2024 del 1 oppgave 1 — Derivasjon av eksponentialfunksjon
- **Fag:** S1, R1
- **Eksamen:** Høst 2024 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Eksponentialfunksjon
- **Kompetansemål:** Forstå begrepene gjennomsnittlig og momentan vekstfart, grenseverdi og derivasjon, og bruke disse for å løse praktiske problemer (KM3141)
- **Kort beskrivelse:** Derivere $f(x)=e^{2x}/x$ med kvotientregelen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/derivasjon-av-eksponentialfunksjon/
### Oppgavetekst
Deriver funksjonen
$$
f(x) = \frac{e^{2x}}{x}
$$
---
## H2024 del 1 oppgave 2 — Finne verdi programmet skriver ut
- **Fag:** S1, R1
- **Eksamen:** Høst 2024 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Programmering, Funksjonsdrøfting
- **Kompetansemål:** Forstå begrepene gjennomsnittlig og momentan vekstfart, grenseverdi og derivasjon, og bruke disse for å løse praktiske problemer (KM3141)
- **Kort beskrivelse:** Tolke at while-løkka $O(x+1)>O(x)$ stopper i toppunktet til andregradsfunksjonen; finne toppunktet via $O'(x)=0$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/finne-verdi-programmet-skriver-ut/
### Oppgavetekst
Bruk en egnet strategi til å bestemme verdien som skrives ut når programmet nedenfor kjøres.
```python ln
def O(x):
return -0.1*x**2 + 2000*x - 50000
x = 0
while O(x + 1) > O(x):
x = x + 1
print(x)
```
---
## H2024 del 1 oppgave 3 — Eksponentiallikning med substitusjon
- **Fag:** S1, R1
- **Eksamen:** Høst 2024 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Eksponentialfunksjon, Logaritmer, Likninger
- **Kompetansemål:** Utforske og forstå regneregler for potenser og logaritmer, og bruke ulike strategier for å løse eksponentialligninger og logaritmeligninger (KM3122)
- **Kort beskrivelse:** Substitusjon $u=10^x$ gjør $100^x-3\cdot10^x=4$ til andregradslikning $u^2-3u-4=0$; bare positiv løsning er gyldig.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/eksponentiallikning-med-substitusjon/
### Oppgavetekst
Løs likningen
$$
100^x - 3 \cdot 10^x = 4
$$
---
## H2024 del 1 oppgave 4 — Grenseverdi for rasjonalt uttrykk
- **Fag:** S1, R1
- **Eksamen:** Høst 2024 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Grenseverdi, Rasjonale funksjoner
- **Kompetansemål:** Bruke ulike strategier for å utforske og bestemme grenseverdier til funksjoner, og utforske og argumentere for anvendelser av grenseverdier (KM3143)
- **Kort beskrivelse:** Grenseverdi når $x\to\infty$ av rasjonalt uttrykk med samme grad i teller og nevner — via L'Hôpital eller ved å dele med $x^2$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/grenseverdi-for-rasjonalt-uttrykk/
### Oppgavetekst
Finn grenseverdien hvis den eksisterer.
$$
\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + x - 12}{2x^2 - 18}
$$
---
## H2024 del 1 oppgave 5 — Sannsynlighet for kulefarge
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2024 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Kombinatorikk
- **Kompetansemål:** Analysere et problem der sannsynlighet og kombinatorikk inngår, og bruke ulike strategier i problemløsingen (KM3133)
- **Kort beskrivelse:** Trekke to kuler uten tilbakelegging – sannsynlighet for to like farger og for nøyaktig én gul.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sannsynlighet-for-kulefarge/
### Oppgavetekst
I en kasse ligger det 4 røde, 3 blå og 2 gule kuler. Audun tar tilfeldig to kuler fra kassen.
a) Bestem sannsynligheten for at han tar to kuler med samme farge.
b) Bestem sannsynligheten for at han tar nøyaktig én gul kule.
---
## H2024 del 1 oppgave 6 — Identifiser funksjon fra vekstfart og derivert
- **Fag:** S1, R1
- **Eksamen:** Høst 2024 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Gjennomsnittlig vekstfart, Derivasjon, Graftolkning
- **Kompetansemål:** Forstå begrepene gjennomsnittlig og momentan vekstfart, grenseverdi og derivasjon, og bruke disse for å løse praktiske problemer (KM3141)
- **Kort beskrivelse:** Lese av gjennomsnittlig vekstfart på intervall $[0,4]$ og stigningstall til tangent i $x=1$ for å identifisere riktig graf blant tre.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/identifiser-funksjon-fra-vekstfart-og-derivert/
### Oppgavetekst
I koordinatsystemet nedenfor ser du grafene til tre funksjoner, $f$, $g$ og $h$. En av funksjonene har gjennomsnittlig vekstfart lik $\frac{1}{2}$ i intervallet $\left[0, 4\right]$, og derivert lik 1 når $x = 1$.
Hvilken av funksjonene er dette? Husk å begrunne svaret ditt.
---
## H2024 del 2 oppgave 1 — Antrekk og sannsynlighet hos Drakt og Søm
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2024 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Kombinatorikk, Sannsynlighet
- **Kompetansemål:** Utforske og forstå kombinatoriske forsøk med ordnede og uordnede utvalg (KM3138); Analysere et problem der sannsynlighet og kombinatorikk inngår, og bruke ulike strategier i problemløsingen (KM3133)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/antrekk-og-sannsynlighet-hos-drakt-og-som/
### Oppgavetekst
Bedriften Drakt & Søm leier ut komplette antrekk. Et antrekk består av et hodeplagg, en skjorte, en jakke, en bukse og et par sko. Bedriften har 10 hodeplagg, 20 skjorter, 15 jakker, 15 bukser og 5 par sko. Alle plagg og skopar som bedriften leier ut, er ulike.
a) Hvor mange forskjellige antrekk er det mulig å lage?
Tore leier et antrekk. Han har det litt travelt når han skal hente antrekket, og tar med seg 3 tilfeldige sko.
b) Bestem sannsynligheten for at Tore får med seg et skopar.
I byen Draktenburg bor det 542 000 mennesker.
c) Hva er minste antall nye plagg og/eller skopar Drakt & Søm må anskaffe for at de skal ha flere mulige antrekk enn antall mennesker i Draktenburg?
---
## H2024 del 2 oppgave 2 — Vurder påstander om funksjoner
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2024 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Gjennomsnittlig vekstfart, Grenseverdi, Argumentasjon
- **Kompetansemål:** Forstå begrepene gjennomsnittlig og momentan vekstfart, grenseverdi og derivasjon, og bruke disse for å løse praktiske problemer (KM3141); Uttrykke egne resonnementer ved hjelp av matematiske begreper og symbolspråk (KM3135)
- **Kort beskrivelse:** Vurder tre påstander om gjennomsnittlig vekstfart, grenseverdier og potenslikning $a^x=a^y$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/vurder-pastander-om-funksjoner/
### Oppgavetekst
Avgjør om hver enkelt påstand nedenfor er sann eller usann. Forklar tydelig hvordan du har resonnert.
a) **Påstand:** Den gjennomsnittlige vekstfarten til funksjonen $f(x) = x^2 + 2$ i intervallet $[1, 4]$ er 5.
b) **Påstand:** Hvis $\lim_{x\to\infty} f(x) = \lim_{x\to\infty} g(x)$ og $\lim_{x\to-\infty} f(x) = \lim_{x\to-\infty} g(x)$, så er $f(x) = g(x)$.
c) **Påstand:** For likningen $a^x = a^y$, der $a \in \mathbb{R}$, er løsningen alltid $x = y$.
---
## H2024 del 2 oppgave 3 — Bestem grunntall i logaritmefunksjon
- **Fag:** S1, R1
- **Eksamen:** Høst 2024 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Logaritmer, Graftolkning
- **Kompetansemål:** Utforske og forstå regneregler for potenser og logaritmer, og bruke ulike strategier for å løse eksponentialligninger og logaritmeligninger (KM3122); Utforske og gjøre rede for egenskapene ved potenser og logaritmer, og gi eksempler på reelle anvendelser av disse egenskapene (KM3134)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/bestem-grunntall-i-logaritmefunksjon/
### Oppgavetekst
I koordinatsystemet nedenfor ser du grafen til en funksjon $f$ gitt ved
$$
f(x) = \log_a(x)
$$
Bestem $a$. Husk å argumentere for at svaret ditt er riktig.
---
## H2024 del 2 oppgave 4 — Knekkebrød, gavekort og simulering
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2024 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Simulering, Økonomi
- **Kompetansemål:** Analysere et problem der sannsynlighet og kombinatorikk inngår, og bruke ulike strategier i problemløsingen (KM3133); Bruke digitale verktøy til å simulere og utforske utfall i stokastiske forsøk, og forstå begrepet stokastiske variabler (KM3137)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/knekkebrod-gavekort-og-simulering/
### Oppgavetekst
Trollmat AS selger pakker med knekkebrød. I én av 1000 pakker som selges, ligger det et gavekort. En kunde som finner et gavekort, vinner en reise. Hver reise har en verdi på 5000 kroner. Knekkebrødene selges for 40 kroner per pakke, og de koster 10 kroner per pakke å produsere.
Hassan kjøper én pakke knekkebrød hver dag.
a) Hvor mange dager tar det før sannsynligheten for at Hassan har vunnet minst én reise, er 20 %? Husk å begrunne valget av sannsynlighetsmodell.
Trollmat AS lanserer en ny knekkebrødpakke som de kaller «Gullknekk». I én av 100 pakker med Gullknekk ligger det et gavekort. Det koster 10 kroner å produsere en pakke Gullknekk.
b) Hvilken pris må Trollmat AS ta betalt per pakke Gullknekk for å ha samme overskudd per pakke som for de vanlige knekkebrødene?
Hassan endrer vanene sine og kjøper vanlige knekkebrødpakker på hverdager og en pakke Gullknekk hver lørdag og søndag.
c) Bruk simulering til å bestemme sannsynligheten for at Hassan vinner minst én reise i løpet av 52 uker med de nye kjøpsvanene sine.
---
## H2024 del 2 oppgave 5 — Optimalisering av parkeringsinntekt
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2024 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Funksjonsdrøfting, Derivasjon, Økonomi
- **Kompetansemål:** Anvende derivasjon til å analysere og forstå optimaliseringsproblemer (KM3139); Uttrykke egne resonnementer ved hjelp av matematiske begreper og symbolspråk (KM3135)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/optimalisering-av-parkeringsinntekt/
### Oppgavetekst
Stephanie leier ut parkeringsplasser. Hun leier ut plasser for 1000 kroner per plass per måned. Med denne prisen er samtlige plasser utleid. Dersom hun øker prisen, vil antallet utleide plasser minke med én for hver gang prisen øker med 50 kroner. Hvis hun øker prisen til 1500 kroner per plass, vil hun ha samme inntekt som nå.
a) Vis at Stephanie har 30 parkeringsplasser.
b) Hva er den største mulige månedlige inntekten som Stephanie kan få?
---
## H2024 del 2 oppgave 6 — Overskuddsoptimalisering for båtmotorer
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2024 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Funksjonsdrøfting, Derivasjon, Økonomi
- **Kompetansemål:** Anvende derivasjon til å analysere og forstå optimaliseringsproblemer (KM3139); Anvende derivasjon til å analysere og tolke egne matematiske modeller av reelle datasett (KM3140)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/overskuddsoptimalisering-for-batmotorer/
### Oppgavetekst
Bedriften Skipsmotor AS ønsker å optimalisere produksjonen av båtmotorer i Norge. Inntektene og kostnadene ved produksjon og salg av $x$ båtmotorer per år er gitt ved
$$
I(x) = 250x - 0{,}5x^2
$$
$$
K(x) = 70x + 600
$$
$I(x)$ og $K(x)$ er gitt i 1000 kroner.
a) Bestem $I'(15)$. Gi en praktisk tolkning av svaret.
b) Hvor mange båtmotorer må Skipsmotor AS selge for at overskuddet skal bli størst mulig? Hvor stort er dette overskuddet?
Skipsmotor AS frykter at høy produksjon vil føre til dårligere kvalitet. De antar at de 50 første motorene produseres uten feil, og at 10 % av motorene etter dette ikke kan selges.
c) Bestem det største overskuddet Skipsmotor AS kan få dersom denne antakelsen er riktig.
---
## H2024 del 2 oppgave 7 — Sannsynlighet for covid med positiv test
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2024 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet
- **Kompetansemål:** Analysere et problem der sannsynlighet og kombinatorikk inngår, og bruke ulike strategier i problemløsingen (KM3133)
- **Kort beskrivelse:** Betinget sannsynlighet (Bayes): $P(\text{smittet} \mid \text{positiv test})$ fra testens spesifisitet og prevalens i befolkningen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sannsynlighet-for-covid-med-positiv-test/
### Oppgavetekst
En test for covid-19 har disse egenskapene:
- Dersom en person er smittet, så er det 99 % sikkert at testen vil vise dette.
- Dersom en person ikke er smittet, så er det 98 % sikkert at testen vil vise dette.
Anta at 99 % av befolkningen ikke er smittet. En tilfeldig valgt person tar en test, og testen viser at personen er smittet.
Bestem sannsynligheten for at personen faktisk har covid-19.
---
## V2023 del 1 oppgave 1 — Algebra potensregning
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2023 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Potenser, Algebra
- **Kompetansemål:** Utforske og gjøre rede for egenskapene ved potenser og logaritmer, og gi eksempler på reelle anvendelser av disse egenskapene (KM3134)
- **Kort beskrivelse:** Forenkle brøk med potenser ved å bruke potensregler for produkt og potens av potens.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/algebra-potensregning/
### Oppgavetekst
Skriv så enkelt som mulig
$$
\frac{\left( 2ab^{-1} \right)^3 \cdot \left( a^2b^{-2} \right)^{-1} }{4a^2b^{-3}}
$$
---
## V2023 del 1 oppgave 2 — Deriver logaritmefunksjon
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2023 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Logaritmer
- **Kompetansemål:** Forstå begrepene gjennomsnittlig og momentan vekstfart, grenseverdi og derivasjon, og bruke disse for å løse praktiske problemer (KM3141)
- **Kort beskrivelse:** Derivere $f(x)=x\ln x$ med produktregelen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/deriver-logaritmefunksjon/
### Oppgavetekst
Deriver funksjonen $f$ gitt ved
$$
f(x)=x\cdot \ln x
$$
---
## V2023 del 1 oppgave 3 — Grenseverdi når x går mot 2
- **Fag:** S1, R1
- **Eksamen:** Vår 2023 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Grenseverdi, Derivasjon, Funksjoner, Asymptoter
- **Kompetansemål:** Bruke ulike strategier for å utforske og bestemme grenseverdier til funksjoner, og utforske og argumentere for anvendelser av grenseverdier (KM3143)
- **Kort beskrivelse:** Grenseverdi av 0/0-form ved $x\to 2$ løst med L'Hôpitals regel.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/grenseverdi-nar-x-gar-mot-2/
### Oppgavetekst
Bestem grenseverdien
$$
\lim_{ x \to 2 } \frac{x^3-8}{x^2-4}
$$
---
## V2023 del 1 oppgave 4 — Kuler i krukke hypergeometrisk
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2023 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Hypergeometrisk fordeling
- **Kompetansemål:** Utforske og tolke binomiske og hypergeometriske fordelinger, og gi eksempler på reelle anvendelser av disse fordelingene (KM3136)
- **Kort beskrivelse:** Hypergeometrisk sannsynlighet uten tilbakelegging; direkte formel og komplementregning.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kuler-i-krukke-hypergeometrisk/
### Oppgavetekst
I en krukke ligger det fire hvite og tre svarte kuler. Du trekker tilfeldig tre kuler uten tilbakelegging.
a) Hva er sannsynligheten for at to av de tre kulene er svarte?
b) Hva er sannsynligheten for at du trekker minst to hvite kuler?
---
## V2023 del 1 oppgave 5 — Ukjent program med kostnader for produksjon
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2023 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Programmering, Økonomi, Vekstfart, Derivasjon, Grenseinntekt og grensekostnad
- **Kompetansemål:** Forstå begrepene gjennomsnittlig og momentan vekstfart, grenseverdi og derivasjon, og bruke disse for å løse praktiske problemer (KM3141)
- **Kort beskrivelse:** Tolke Python-program som finner $x$ der numerisk derivert $K'(x)\geq260$; koble til grensekostnad og løse $K'(x)=260$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/ukjent-program-med-kostnader-for-produksjon/
### Oppgavetekst
For en bedrift er kostnaden $K$ i kroner ved produksjon av $x$ enheter per uke av en varetype gitt ved
$$
K(x)=0{,}2x^2+140x+7000
$$
Bedriften har laget følgende program.
```python ln
def K(x):
return 0.2*x**2 + 140*x + 7000
v = 260
h = 0.001
x = 0
while (K(x + h) - K(x))/h < v:
x = x + 1
print(x)
```
Hva blir resultatet når programmet kjøres? Hva forteller dette svaret bedriften?
---
## V2023 del 2 oppgave 1 — Timelønn og lønnsvekst
- **Fag:** S1, R1
- **Eksamen:** Vår 2023 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Prosentregning, Eksponentialfunksjon, Regresjon, Økonomi, Vekstfaktor
- **Kompetansemål:** Anvende derivasjon til å analysere og tolke egne matematiske modeller av reelle datasett (KM3140)
- **Kort beskrivelse:** Vekstfaktor fra to tidspunkter, eksponentiell regresjon, summere årslønn med Excel og finne ukjent vekstfaktor med målsøking.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/timelonn-og-lonnsvekst/
### Oppgavetekst
Tabellen nedenfor viser timelønnen til en yrkesgruppe for noen år i perioden 2008-2022.
| Årstall | 2008 | 2010 | 2013 | 2015 | 2019 | 2022 |
| :------- | :----: | :----: | :----: | :----: | :----: | :----: |
| Timelønn | 272,55 | 285,50 | 307,30 | 314,00 | 327,60 | 340,10 |
a) Hva har den gjennomsnittlige årlige prosentvise veksten i lønn vært i årene 2008-2022?
b) Bruk tallene i tabellen til å lage en eksponentiell funksjon $g$ som er en modell for timelønnen til denne yrkesgruppen $x$ år etter 2008.
Per og Amalie hadde begge en timelønn på 272,55 kroner i 2008. Per har hatt en lønnsutvikling tilsvarende tabellen i starten av oppgaven, mens Amalies lønn har steget med 2,3 prosent per år. De har begge jobbet 1700 timer per år.
c) Bestem den samlede lønnen til Amalie i årene 2008 til 2022. Bestem også den samlede lønnen til Per i disse årene.
Fagforeningen til Per krever at han i 2025 skal ha samme timelønn som Amalie. Vi går ut fra at Amalie fortsatt vil ha en lønnsvekst på 2,3 prosent per år.
d) Hvor mange prosent må lønnen til Per gå opp hvert år dersom dette kravet skal innfris?
---
## V2023 del 2 oppgave 2a — Logaritmepåstand
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2023 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2a
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Logaritmer, Argumentasjon
- **Kompetansemål:** Utforske og gjøre rede for egenskapene ved potenser og logaritmer, og gi eksempler på reelle anvendelser av disse egenskapene (KM3134); Uttrykke egne resonnementer ved hjelp av matematiske begreper og symbolspråk (KM3135)
- **Kort beskrivelse:** Avgjøre om $(\ln x)^4 = 4\ln x$ er sann ved å finne moteksempel og begrunne.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/logaritmepastand/
### Oppgavetekst
Nedenfor ser du tre påstander. Avgjør i hvert tilfelle om påstanden er sann eller usann. Husk å vise tydelig hvordan du argumenterer og resonnerer.
a) Hvis $x>0$, så er $(\ln x)^4=4 \ln x$.
Neste påstand finner du her: Har alle fjerdegradsfunksjoner ekstremalpunkt
Påstand c finner du i Sannsynligheter ved lottospill
---
## V2023 del 2 oppgave 2b — Har alle fjerdegradsfunksjoner ekstremalpunkt
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2023 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2b
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Funksjoner, Funksjonsdrøfting, Argumentasjon, Bevis
- **Kompetansemål:** Uttrykke egne resonnementer ved hjelp av matematiske begreper og symbolspråk (KM3135); Forstå begrepene gjennomsnittlig og momentan vekstfart, grenseverdi og derivasjon, og bruke disse for å løse praktiske problemer (KM3141)
- **Kort beskrivelse:** Argumentere for at alle fjerdegradsfunksjoner har minst ett ekstremalpunkt via grenseatferd til tredjegradsderiverte.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/har-alle-fjerdegradsfunksjoner-ekstremalpunkt/
### Oppgavetekst
Nedenfor ser du tre påstander. Avgjør i hvert tilfelle om påstanden er sann eller usann. Husk å vise tydelig hvordan du argumenterer og resonnerer.
Oppgave a finner du her: Logaritmepåstand
b) Alle fjerdegradsfunksjoner må ha minst ett ekstremalpunkt.
Oppgave c finner du her: Sannsynligheter ved lottospill
---
## V2023 del 2 oppgave 2c — Sannsynligheter ved lottospill
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2023 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2c
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Hypergeometrisk fordeling, Argumentasjon
- **Kompetansemål:** Utforske og tolke binomiske og hypergeometriske fordelinger, og gi eksempler på reelle anvendelser av disse fordelingene (KM3136); Uttrykke egne resonnementer ved hjelp av matematiske begreper og symbolspråk (KM3135)
- **Kort beskrivelse:** Avgjøre om to lottosannsynligheter er like store ved å vise symmetri i trekning uten tilbakelegging.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sannsynligheter-ved-lottospill/
### Oppgavetekst
Nedenfor ser du tre påstander. Avgjør i hvert tilfelle om påstanden er sann eller usann. Husk å vise tydelig hvordan du argumenterer og resonnerer.
Oppgave a finner du her Logaritmepåstand
Oppgave b finner du her Har alle fjerdegradsfunksjoner ekstremalpunkt
I spillet Lotto trekkes det sju tilfeldige naturlige tall mindre eller lik 34 uten tilbakelegging.
c) Sannsynligheten for at alle de sju tallene er mindre enn 18 , er like stor som sannsynligheten for at ingen av de sju tallene er mindre enn 18.
---
## V2023 del 2 oppgave 3 — Sannsynlighet for terningsummer med program
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2023 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Programmering
- **Kort beskrivelse:** Tolke et program som teller terningsummer og skrive eget program for sannsynlighet med tre terninger
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sannsynlighet-for-terningsummer-med-program/
### Oppgavetekst
I et spill kastes to terninger. For å regne ut en bestemt sannsynlighet knyttet til dette spillet har Mona laget følgende program:
```python ln
g = 0
for i in range(1, 7):
for j in range(1, 7):
if i+j >= 8:
g = g + 1
print(g/36)
```
a) Hvilken sannsynlighet regner Mona ut? Husk å begrunne svaret.
I et annet spill kastes tre terninger. Du vinner spillet dersom summen av øyne på de tre terningene er $7$ eller $11$.
b) Lag et program som kan brukes for å bestemme sannsynligheten for at du vinner dette spillet. Hva er denne sannsynligheten?
---
## V2023 del 2 oppgave 4 — Daglig inntekt fra lineær etterspørselsgraf
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2023 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Lineære funksjoner, Modellering, Optimering, Graftolkning, Etterspørsel
- **Kort beskrivelse:** Lese av etterspørselsgraf, sette opp inntektsfunksjon $I(p)=p\cdot e(p)$ og finne pris som gir størst inntekt
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/daglig-inntekt-fra-lineaer-ettersporselsgraf/
### Oppgavetekst
Grafen nedenfor viser hvor mange enheter $e$ av en vare som blir solgt hver dag dersom prisen for varen er $p$ kroner.
a) Hva blir de daglige inntektene dersom prisen settes til $40$ kroner?
b) Hva må prisen være dersom de daglige inntektene skal bli $75\,000$ kroner?
c) Hvilken pris gir størst daglige inntekter?
---
## V2023 del 2 oppgave 5 — Billetter til fotballkamp
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2023 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Binomisk fordeling, Utforskning, Programmering, Regneark
- **Kompetansemål:** Utforske og tolke binomiske og hypergeometriske fordelinger, og gi eksempler på reelle anvendelser av disse fordelingene (KM3136); Bruke digitale verktøy til å simulere og utforske utfall i stokastiske forsøk, og forstå begrepet stokastiske variabler (KM3137)
- **Kort beskrivelse:** Binomisk sannsynlighet for minst 600 av 1300; finne minste n slik at P(X≥600) > 0,95 via program eller Excel.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/billetter-til-fotballkamp/
### Oppgavetekst
I en kampanje deles det ut gratisbilletter til en fotballkamp. Av erfaring vet arrangøren at cirka 45 prosent av dem som får gratisbilletter, kommer på kampen.
a) Det deles ut 1300 gratisbilletter. Bestem sannsynligheten for at minst 600 av disse billettene blir benyttet.
b) Hvor mange gratisbilletter må de minst dele ut dersom sannsynligheten for at minst 600 av dem blir brukt skal være over 95 prosent?
---
## V2023 del 2 oppgave 6 — Lydstyrke fra fly
- **Fag:** S1, R1
- **Eksamen:** Vår 2023 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Formler, CAS, Logaritmer, Prosentvis endring
- **Kompetansemål:** Utforske og forstå regneregler for potenser og logaritmer, og bruke ulike strategier for å løse eksponentialligninger og logaritmeligninger (KM3122)
- **Kort beskrivelse:** Løse logaritmeuttrykk for lydintensitet, beregne prosentvis økning og bestemme minimumsavstand med to formler i CAS.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lydstyrke-fra-fly/
### Oppgavetekst
Sammenhengen mellom lydstyrken $L$ (målt i dB) og lydintensiteten $I$ (målt i $\mathrm{W} / \mathrm{m}^2$) er gitt ved
$$
L=120+10 \cdot \lg I
$$
Menneskets øre har en smertegrense for lydstyrke som ligger omkring $130 \mathrm{~dB}$.
a) Bestem lydintensiteten når lydstyrken er $130 \mathrm{~dB}$.
b) Hvor mange prosent øker lydintensiteten dersom lydstyrken øker med $2 \mathrm{~dB}$ ?
Dersom effekten til lyden som sendes ut fra en lydkilde er $E$, vil lydintensiteten $I$ på en avstand $r$ (målt i m) fra denne lydkilden være
$$
I=\frac{E}{4 \pi \cdot r^2}
$$
Lydstyrken fra et fly er $140 \mathrm{~dB}$ dersom du er $50 \mathrm{~m}$ fra flyet.
c) Bestem den minste avstanden til dette flyet der lydstyrken er lavere enn $130 \mathrm{~dB}$.
---
## H2023 del 1 oppgave 1 — Forenkle algebraisk uttrykk
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2023 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Algebra, Potensregning
- **Kompetansemål:** Utforske og gjøre rede for egenskapene ved potenser og logaritmer, og gi eksempler på reelle anvendelser av disse egenskapene (KM3134)
- **Kort beskrivelse:** Forenkle algebraisk brøkuttrykk ved potensregler — kvadrere, ta invers, og samle potenser av $a$ og $b$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/forenkle-algebraisk-uttrykk/
### Oppgavetekst
Skriv så enkelt som mulig.
$$
\left(\frac{3a^2}{2b^3}\right)^2 \cdot \left(\frac{a^2b^{-5}}{4}\right)^{-1}
$$
---
## H2023 del 1 oppgave 2 — Logaritmer i stigende rekkefølge
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2023 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Logaritmer
- **Kompetansemål:** Utforske og gjøre rede for egenskapene ved potenser og logaritmer, og gi eksempler på reelle anvendelser av disse egenskapene (KM3134)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/logaritmer-i-stigende-rekkefolge/
### Oppgavetekst
Skriv uttrykkene nedenfor i stigende rekkefølge.
$$
2\ln e^3 \qquad 3\lg 70 \qquad e^{3\ln 2}
$$
Husk å begrunne svaret.
---
## H2023 del 1 oppgave 3 — Sannsynlighet med tre terninger
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2023 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Kombinatorikk
- **Kompetansemål:** Analysere et problem der sannsynlighet og kombinatorikk inngår, og bruke ulike strategier i problemløsingen (KM3133); Utforske og forstå kombinatoriske forsøk med ordnede og uordnede utvalg (KM3138)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sannsynlighet-med-tre-terninger/
### Oppgavetekst
Du kaster tre terninger.
a) Bestem sannsynligheten for at alle terningene viser forskjellig antall øyne.
b) Bestem sannsynligheten for at nøyaktig to av terningene viser samme antall øyne.
---
## H2023 del 1 oppgave 4 — Kontinuerlig stykkevis funksjon
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2023 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Kontinuitet, Funksjoner
- **Kompetansemål:** Gjøre rede for og argumentere for om en funksjon er kontinuerlig eller diskontinuerlig i et punkt i et definisjonsområde, og gi eksempler på anvendelser av funksjoner som ikke er kontinuerlige (KM3142)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kontinuerlig-stykkevis-funksjon/
### Oppgavetekst
En funksjon $f$ er gitt ved
$$
f(x) = \begin{cases}x^2 + 3x - a^2\text{,} \quad & x < 1 \\ x - 1\text{,} & x \geq 1 \end{cases}
$$
Bestem $a$ slik at funksjonen blir kontinuerlig.
---
## H2023 del 1 oppgave 5 — Grensekostnad og programmering
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2023 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Programmering, Grenseinntekt og grensekostnad, Økonomi
- **Kompetansemål:** Forstå begrepene gjennomsnittlig og momentan vekstfart, grenseverdi og derivasjon, og bruke disse for å løse praktiske problemer (KM3141)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/grensekostnad-og-programmering/
### Oppgavetekst
En bedrift produserer en vare. De daglige kostnadene $K$ (i kroner) ved produksjon av $x$ enheter av varen er gitt ved
$$
K(x) = 0{,}1x^2 + 100x + 9000
$$
Den økonomiansvarlige i bedriften har laget programmet nedenfor.
```python ln
def K(x):
return 0.1*x**2 + 100*x + 9000
grense = 200
h = 0.00001
a = 1
while (K(a + h) - K(a))/h < grense:
a = a + 1
print(a)
```
Hva blir resultatet når programmet kjøres? Gi en praktisk tolkning av svaret.
---
## H2023 del 2 oppgave 1 — Sofaproduksjon og overskudd
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2023 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Økonomi, Andregradslikninger, Modellering
- **Kompetansemål:** Anvende derivasjon til å analysere og forstå optimaliseringsproblemer (KM3139); Anvende derivasjon til å analysere og tolke egne matematiske modeller av reelle datasett (KM3140)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sofaproduksjon-og-overskudd/
### Oppgavetekst
En møbelfabrikk produserer en type sofaer. Tabellen nedenfor viser sammenhengen mellom antall sofaer de produserer per måned, og produksjonskostnadene per måned.
| Antall sofaer | 10 | 25 | 40 | 70 | 100 | 140 | 180 |
| ------------------------ | :-: | :-: | :-: | :--: | :--: | :--: | :--: |
| Produksjonskostnader (i tusen kroner) | 270 | 550 | 870 | 1500 | 2200 | 3300 | 4500 |
Fabrikken selger alle sofaene til en møbelkjede. De får 28 000 kroner per sofa.
a) Bruk opplysningene ovenfor til å vise at funksjonen $O$ gitt ved
$$
O(x) = -0{,}041x^2 + 11x - 103
$$
er en god modell for det månedlige overskuddet (i tusen kroner) til fabrikken, dersom de produserer $x$ sofaer.
b) Hvilken produksjonsmengde gir størst overskudd?
Fabrikken ønsker at overskuddet skal være 1 million kroner per måned. De vil derfor endre salgsprisen på sofaene.
c) Bestem den laveste salgsprisen de kan sette per sofa, dersom de skal få dette overskuddet.
---
## H2023 del 2 oppgave 2 — Venstrehendte elever
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2023 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Diskrete sannsynlighetsfordelinger
- **Kompetansemål:** Utforske og tolke binomiske og hypergeometriske fordelinger, og gi eksempler på reelle anvendelser av disse fordelingene (KM3136)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/venstrehendte-elever/
### Oppgavetekst
Undersøkelser viser at 10 prosent av alle menn og 8 prosent av alle kvinner er venstrehendte.
På en skole er det 280 gutter og 220 jenter.
a) Bestem sannsynligheten for at minst 25 av guttene på skolen er venstrehendte.
b) Hvor mange gutter må det være i en klasse dersom sannsynligheten for at minst tre av guttene er venstrehendte, skal være større enn 20 prosent?
I en klasse er det 13 gutter og 17 jenter.
c) Bestem sannsynligheten for at nøyaktig tre av elevene i klassen er venstrehendte.
---
## H2023 del 2 oppgave 3 — Renter og dobbelttid
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2023 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Geometrisk vekst, Logaritmer, Sparing
- **Kompetansemål:** Utforske og forstå regneregler for potenser og logaritmer, og bruke ulike strategier for å løse eksponentialligninger og logaritmeligninger (KM3122); Uttrykke egne resonnementer ved hjelp av matematiske begreper og symbolspråk (KM3135)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/renter-og-dobbelttid/
### Oppgavetekst
Per og Kåre setter inn like store beløp på hver sin konto. Per får en årlig rente på 3,00 prosent, mens Kåre får en årlig rente på 6,00 prosent.
a) Hvilket beløp må Per sette inn dersom han skal ha 30 000 kroner på kontoen etter 8 år?
> Påstand
> Det vil gå nøyaktig dobbelt så lang tid før beløpet Per har på konto, har doblet seg, som det vil gå før beløpet Kåre har på konto, har doblet seg.
b) Argumenter for at påstanden *ikke* er riktig.
c) Hvor lang tid vil det gå før Per og Kåre til sammen har dobbelt så mye penger som de satte inn på kontoene, dersom den årlige renten er henholdsvis 3,00 prosent og 6,00 prosent?
---
## H2023 del 2 oppgave 4 — Sannsynlighet med fem terninger
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2023 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Programmering, Kombinatorikk
- **Kompetansemål:** Analysere et problem der sannsynlighet og kombinatorikk inngår, og bruke ulike strategier i problemløsingen (KM3133); Utforske og forstå kombinatoriske forsøk med ordnede og uordnede utvalg (KM3138)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sannsynlighet-med-fem-terninger/
### Oppgavetekst
Du kaster fem terninger.
a) Bestem sannsynligheten for at minst to av terningene viser samme antall øyne.
La $X$ være summen av antall øyne på de fem terningene.
b) Bruk programmering til å bestemme $P(X > 20)$.
c) Bestem den største verdien av $k$ som er slik at $P(X \geq k) > 0{,}8$.
---
## H2023 del 2 oppgave 5 — Kasse uten lokk
- **Fag:** S1, R1
- **Eksamen:** Høst 2023 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Optimering, Derivasjon, Geometri
- **Kompetansemål:** Anvende derivasjon til å analysere og forstå optimaliseringsproblemer (KM3139)
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kasse-uten-lokk/
### Oppgavetekst
Du skal lage en kasse uten lokk. Den skal ha form som et rett prisme. Grunnflaten i kassen skal være kvadratisk. For at vekten ikke skal bli for stor, kan ikke det samlede arealet av platene som brukes til å lage kassen, være mer enn 120 $\mathrm{dm^2}$.
a) Hva er det største volumet kassen kan få dersom sidene i bunnen skal være 5 dm?
b) Hva er det maksimale volumet kassen kan få?
Du skal lage en slik kasse som rommer 80 $\mathrm{dm^3}$.
c) Hva er det minste samlede arealet platene kan ha, dersom du skal lage en slik kasse?
---
## H2023 del 2 oppgave 6 — Påstander om tredjegradsfunksjon
- **Fag:** S1, R1
- **Eksamen:** Høst 2023 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Funksjonsdrøfting, Derivasjon, Argumentasjon
- **Kompetansemål:** Uttrykke egne resonnementer ved hjelp av matematiske begreper og symbolspråk (KM3135); Forstå begrepene gjennomsnittlig og momentan vekstfart, grenseverdi og derivasjon, og bruke disse for å løse praktiske problemer (KM3141)
- **Kort beskrivelse:** Vurdere tre påstander om tredjegradsfunksjoner ved moteksempel ($x^3$), algebraisk bevis, og symbolsk derivering av generell form.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/pastander-om-tredjegradsfunksjon/
### Oppgavetekst
La $f$ være en tredjegradsfunksjon.
Avgjør for hver av påstandene nedenfor om den er sann eller usann. Begrunn svaret.
a) Påstand 1: Grafen til $f$ har minst ett ekstremalpunkt.
b) Påstand 2: Alle linjer på formen $y = ax + b$, der $a, b \in \mathbb{R}$, vil skjære grafen til $f$.
c) Påstand 3: Dersom grafen til $f$ har et vendepunkt for $x = 3$, er $f'(1) = f'(5)$.
---
## V2022 del 1 oppgave 1 — Forenkling av potensuttrykk med negative eksponenter
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Potenser
- **Kort beskrivelse:** Forenkle et potensuttrykk med negative eksponenter og potensregler.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/forenkling-av-potensuttrykk-med-negative-eksponenter/
### Oppgavetekst
$$
\left(2a\right)^{-1} \cdot \left(\frac{b}{2}\right)^{-3} \cdot \left(a \cdot b\right)^3
$$
Skriv uttrykket så enkelt som mulig.
---
## V2022 del 1 oppgave 2 — Eksponentiallikning med substitusjon R1 V22
- **Fag:** R1, S1
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Eksponentialfunksjon, Likninger
- **Kort beskrivelse:** Løse $e^{2x}-e^x=2$ ved substitusjon $u=e^x$ og andregradslikning.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/eksponentiallikning-med-substitusjon-r1-v22/
### Oppgavetekst
Løs likningen
$$
e^{2x}-e^x=2
$$
Løs likningen $e^{2x}-e^x=2$.
---
## V2022 del 1 oppgave 2 — Grensekostnad for strikkeluer ved 100 luer
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Derivere enhetskostnadsfunksjon og tolke $E'(100)$ i kontekst.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/grensekostnad-for-strikkeluer-ved-100-luer/
### Oppgavetekst
En fabrikk produserer strikkeluer. Dersom fabrikken produserer $x$ luer en dag, vil produksjonskostnaden $E$ per lue være gitt ved
$$
E(x) = 0{,}2x + 40 + \frac{20\,000}{x}
$$
Bestem $E'(100)$.
Hva forteller dette tallet deg i denne situasjonen?
---
## V2022 del 1 oppgave 3 — Grenseverdi av rasjonalt uttrykk R1 V22
- **Fag:** R1, S1
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Funksjoner, Derivasjon
- **Kort beskrivelse:** Bestemme $\lim_{x \to 3} \frac{x-3}{x^2+x-12}$ ved faktorisering av nevner.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/grenseverdi-av-rasjonalt-uttrykk-r1-v22/
### Oppgavetekst
Bestem grenseverdien
$$
\lim_{x \to 3} \frac{x-3}{x^2+x-12}
$$
Bestem grenseverdien $\displaystyle\lim_{x \to 3} \frac{x-3}{x^2+x-12}$.
---
## V2022 del 1 oppgave 5 — Logaritmisk likning med ukjent parameter a
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Likninger
- **Kort beskrivelse:** Bestemme parameteren $a$ slik at $x=7$ løser $\lg(x+3)+\lg x = \lg a$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/logaritmisk-likning-med-ukjent-parameter-a/
### Oppgavetekst
Vi har gitt likningen
$$
\lg(x+3) + \lg x = \lg a
$$
Bestem $a$ slik at $x = 7$ er en løsning av likningen.
---
## V2022 del 1 oppgave 6 — Simulering av sannsynlighet for terningsum lik 9
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Programmering, Sannsynlighet, Simulering
- **Kort beskrivelse:** Tolke simuleringsprogram for to terninger og beregne sannsynlighet for sum lik 9 analytisk.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/simulering-av-sannsynlighet-for-terningsum-lik-9/
### Oppgavetekst
En elev har skrevet programkoden nedenfor.
a) Forklar hva som skjer når programmet kjøres. Hva ønsker eleven å finne ut?
b) Bruk sannsynlighetsregning til å bestemme svaret som eleven ønsker å finne.
---
## V2022 del 2 oppgave 1 — Modell for antall gårdsbruk i Norge 1969–2020
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Modellering, Eksponentialfunksjon
- **Kort beskrivelse:** Velge og begrunne regresjonsmodell for gårdsbrukdata, bruke den til fremskrivning og finne år for gitt reduksjon.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/modell-for-antall-gardsbruk-i-norge-1969-2020/
### Oppgavetekst
Tabellen nedenfor viser antall gårdsbruk i Norge for noen gitte årstall.
| År | 1969 | 1989 | 1999 | 2009 | 2020 |
|----|------|------|------|------|------|
| Antall gårdsbruk | 154 977 | 99 382 | 68 539 | 47 688 | 38 633 |
a) Bruk opplysningene i tabellen, og bestem en modell som du mener egner seg til å si noe om antall gårdsbruk i Norge i årene framover. Begrunn ditt valg av modell.
b) Hvor mange gårdsbruk vil det være i Norge i 2060 ifølge modellen din? Vurder svaret.
c) I hvilket år vil antall gårdsbruk i Norge avta med ca. 1000 ifølge modellen din?
---
## V2022 del 2 oppgave 2 — Binomisk forsøk med 12 elever til førerkortkurs
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Binomisk fordeling, Sannsynlighet
- **Kort beskrivelse:** Modellere og beregne sannsynligheter med binomisk fordeling for bestått førerprøve.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/binomisk-forsok-med-12-elever-til-forerkortkurs/
### Oppgavetekst
Statistikk viser at 74 prosent av alle oppkjøringer til førerkort klasse B blir bestått.
17. juni 2022 skal 7 gutter og 5 jenter fra en videregående skole ha oppkjøring til førerkort klasse B.
a) Hva må vi gå ut fra i denne situasjonen for å kunne se på dette som et binomisk forsøk?
b) Hva er sannsynligheten for at minst 8 av de 12 elevene består oppkjøringen?
c) Hva er sannsynligheten for at akkurat 5 av guttene og akkurat 4 av jentene består oppkjøringen?
---
## V2022 del 2 oppgave 3 — Konto og aksjefond med månedlig rente og innskudd
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Rekker, Modellering, Eksponentialfunksjon
- **Kort beskrivelse:** Modellere sparing med fast rente og månedlige innskudd i aksjefond, undersøke kontinuitet og finne tidspunkt for målbeløp.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/konto-og-aksjefond-med-manedlig-rente-og-innskudd/
### Oppgavetekst
Knut har satt inn 70 000 kroner på en konto med en fast månedlig rentesats. Beløpet $B$ som Knut har på kontoen $x$ måneder etter han satte inn pengene, er gitt ved
$$
B(x) = 70\,000 \cdot 1{,}003^x
$$
a) Bestem den årlige rentesatsen på denne kontoen.
b) Hvor lang tid går det før han har 80 000 kroner på denne kontoen?
Nøyaktig 24 måneder etter at Knut satte inn pengene på kontoen, setter han inn 2000 kroner i et aksjefond. Han fortsetter å sette inn 2000 kroner hver måned framover. Han regner med at aksjefondet vil gi en månedlig avkastning på 0,7 prosent.
La $T(x)$ være den totale verdien av beløpet på kontoen og verdien i aksjefondet $x$ måneder etter at han begynte å spare i aksjefondet.
c) Er funksjonen $T$ kontinuerlig? Begrunn svaret.
d) Hvor lang tid vil det gå før $T(x)$ blir større enn 200 000 kroner?
---
## V2022 del 2 oppgave 4 — Sannsynlighet for å vinne terningspill med produkt over 100
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Simulering, Programmering
- **Kort beskrivelse:** Bestemme sannsynlighet for at produktet av tre terninger er større enn 100 ved simulering.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sannsynlighet-for-a-vinne-terningspill-med-produkt-over-100/
### Oppgavetekst
I et spill kaster du tre terninger. Du multipliserer sammen antall øyne på terningene. Dersom dette produktet er større enn 100, vinner du.
Bestem sannsynligheten for å vinne ved å kjøre simuleringer.
Husk å vise hvordan du kommer fram til svaret.
---
## V2022 del 2 oppgave 5 — Rektangel innskrevet i likebeint rettvinklet trekant
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Optimering, Derivasjon
- **Kort beskrivelse:** Finne størst mulig areal av et rektangel innskrevet i en likebeint rettvinklet trekant ved derivasjon.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/rektangel-innskrevet-i-likebeint-rettvinklet-trekant/
### Oppgavetekst
Figuren nedenfor viser et rektangel som er innskrevet i en likebeint, rettvinklet trekant. Trekanten har hjørner i $(-2, 0)$, $(2, 0)$ og $(0, 2)$. Arealet $T$ av rektangelet er avhengig av hvor på kateten punktet $P(a, b)$ blir plassert.
Bestem den største verdien $T$ kan ha.
---
## V2022 del 2 oppgave 6 — Newtons avkjølingslov for kaffe med ln-modell
- **Fag:** S1, R1
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Modellering, Eksponentialfunksjon, Likninger
- **Kort beskrivelse:** Bestemme konstanter i Newtons avkjølingslov og finne tidspunkt for gitt temperatur.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/newtons-avkjolingslov-for-kaffe-med-ln-modell/
### Oppgavetekst
Ifølge Newtons avkjølingslov vil temperaturen $T$ til et objekt etter $t$ minutter være gitt ved
$$
\ln(T - T_0) = -k \cdot t + r
$$
hvor $T_0$ er romtemperaturen, og der $k$ og $r$ er konstanter.
I et rom med temperatur $22\degree\text{C}$ setter vi en kopp med kaffe. Ved tidspunktet $t = 0$ er temperaturen i kaffen $82\degree\text{C}$. Etter 2 minutter er temperaturen $66\degree\text{C}$.
Hvor lang tid tar det før temperaturen i kaffen er mindre enn $40\degree\text{C}$?
---
## V2022 del 2 oppgave 7 — Koble fire grafer til f, f', g og g'
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Graftolkning, Derivasjon
- **Kort beskrivelse:** Argumentere for hvilken av fire grafer (A, B, C, D) som hører til $f$, $f'$, $g$ og $g'$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/koble-fire-grafer-til-f-f-g-og-g/
### Oppgavetekst
Vi har gitt to funksjoner $f$ og $g$. Nedenfor ser du grafene til funksjonene $f$, $f'$, $g$ og $g'$. Du får vite at graf A enten er grafen til $f$ eller grafen til $f'$.
Argumenter for hvilken graf som hører til hvilken funksjon.
---
## V2022 del 1 oppgave 1 — Andregradslikning, tierpotenslikning og kvadrert lg-likning
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Andregradslikninger, Logaritmer, Likninger
- **Kort beskrivelse:** Løse en andregradslikning med kvadratrot, en likning med tierpotens og en likning i lg x med logaritmeregler.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/andregradslikning-tierpotenslikning-og-kvadrert-lg-likning/
### Oppgavetekst
Løs likningene
a)
$$
(x+1)^2-16=0
$$
b)
$$
2\cdot 10^{-3x}+3=2003
$$
c)
$$
(\lg x)^2+2\lg x=\lg x^2+1
$$
---
## V2022 del 1 oppgave 2 — Kvadratsetninger og brøkuttrykk med konjugatnevner
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Kvadratsetninger, Rasjonale uttrykk, Konjugatsetningen, Algebra
- **Kort beskrivelse:** Forenkle et uttrykk med kvadratsetningene og et brøkuttrykk med fellesnevner $x^2-4$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kvadratsetninger-og-brokuttrykk-med-konjugatnevner/
### Oppgavetekst
Skriv uttrykkene så enkelt som mulig.
a)
$$
4(a+b)^2-(2b-a)^2-3a(a+2b)
$$
b)
$$
\frac{4x}{x^2-4}-\frac{2}{x+2}+\frac{2}{x-2}
$$
---
## V2022 del 1 oppgave 3 — Magnes sommerjobb med overtidsbetaling
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Likningssystem, Økonomi
- **Kort beskrivelse:** Sette opp og løse et lineært likningssystem med to ukjente for vanlige timer og overtidstimer.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/magnes-sommerjobb-med-overtidsbetaling/
### Oppgavetekst
Magne har sommerjobb. Han tjener $150$ kroner per time. Dersom han arbeider overtid, tjener han $250$ kroner per time. En måned arbeider han til sammen $70$ timer og tjener $13\,500$ kroner.
Hvor mange timer overtid jobber Magne denne måneden?
---
## V2022 del 1 oppgave 4 — Andregradsulikhet med felles faktor x-3
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Andregradsulikhet, Faktorisering, Fortegnslinje
- **Kort beskrivelse:** Løse andregradsulikheten $x^2-9 \le x-3$ ved å samle leddene, faktorisere og bruke fortegnslinje.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/andregradsulikhet-med-felles-faktor-x-3/
### Oppgavetekst
Løs ulikheten
$$
x^2-9\le x-3
$$
---
## V2022 del 1 oppgave 5 — Grafskisse av forskjøvet hyperbel med asymptoter
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Rasjonale funksjoner, Asymptoter, Graf
- **Kort beskrivelse:** Skissere grafen til $f(x)=\frac{2}{x+1}-\frac{1}{2}$ med vertikal og horisontal asymptote uten hjelpemidler.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/grafskisse-av-forskjovet-hyperbel-med-asymptoter/
### Oppgavetekst
Lag en skisse av grafen til funksjonen $f$ gitt ved
$$
f(x)=\frac{2}{x+1}-\frac{1}{2}
$$
Ta med eventuelle asymptoter på skissen.
---
## V2022 del 1 oppgave 6 — Trekke tre talere blant fire menn og tre kvinner
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Hypergeometrisk fordeling, Sannsynlighet, Kombinatorikk
- **Kort beskrivelse:** Hypergeometrisk sannsynlighet ved tilfeldig trekning av tre personer blant sju.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/trekke-tre-talere-blant-fire-menn-og-tre-kvinner/
### Oppgavetekst
I et selskap er det fire menn og tre kvinner. Det blir bestemt at tre av de sju personene skal holde tale. De tre skal trekkes ut tilfeldig.
a) Hva er sannsynligheten for at to menn og én kvinne trekkes ut?
Inga og Tore er to av deltakerne i selskapet.
b) Hva er sannsynligheten for at nøyaktig én av dem blir trukket ut?
---
## V2022 del 1 oppgave 7 — Torgeirs kryptoinvestering med logaritmemodell
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Logaritmer, Logaritmelikning, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Regne ut verdien i en logaritmisk modell og løse en logaritmelikning for når verdien er doblet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/torgeirs-kryptoinvestering-med-logaritmemodell/
### Oppgavetekst
Torgeir har investert i kryptovaluta. Funksjonen $B$ gitt ved
$$
B(x)=36\,000\cdot\lg\left(\frac{x+2}{2}\right)+72\,000
$$
er en modell for verdien (i kroner) av investeringen, $x$ måneder etter at han gjorde investeringen.
a) Hva er verdien av investeringen etter $18$ måneder ifølge modellen?
b) Hvor lang tid vil det ta før verdien av investeringen har doblet seg, ifølge modellen?
---
## V2022 del 1 oppgave 8 — Lineær optimering med fem ulikheter og parameter k
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Lineær optimering, Ulikheter, Lineære funksjoner
- **Kort beskrivelse:** Lineær optimering over et område gitt ved fem ulikheter, med og uten en parameter i målfunksjonen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lineaer-optimering-med-fem-ulikheter-og-parameter-k/
### Oppgavetekst
La $F$ være området begrenset av de fem ulikhetene nedenfor.
$$
\begin{aligned}
y &\le 5-x \\
y &\le 3-\frac{1}{3}x \\
y &\ge 1-\frac{1}{2}x \\
x &\ge 0 \\
y &\ge 0
\end{aligned}
$$
Et uttrykk $G$ er gitt ved
$$
G=-3x+2y
$$
a) Bestem den største verdien $G$ kan ha når $(x, y)$ er med i området $F$.
Et uttrykk $H$ er gitt ved
$$
H=-k\cdot x+3y
$$
der $k\in\mathbb{R}$.
b) Hvilke verdier av $k$ gjør at $H$ får sin største verdi i punktet $(3, 2)$, når $(x, y)$ skal ligge i området $F$?
---
## V2022 del 1 oppgave 9 — Sommerdekk på feil plass
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 9
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Kombinatorikk, Sannsynlighet
- **Kort beskrivelse:** Telle permutasjoner av fire dekk og finne sannsynligheten for at nøyaktig tre dekk havner på feil plass.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sommerdekk-pa-feil-plass/
### Oppgavetekst
Mari skal skifte fra vinterdekk til sommerdekk på bilen sin. Uheldigvis har hun glemt å merke sommerdekkene med hvor de skal plasseres på bilen (høyre foran, venstre foran, høyre bak og venstre bak).
a) På hvor mange måter kan hun plassere de fire sommerdekkene på bilen?
b) Bestem sannsynligheten for at hun plasserer nøyaktig tre av dekkene på feil plass.
---
## V2022 del 2 oppgave 1 — Gårdsbruk i Norge med eksponentiell modell og tangent
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Regresjon, Eksponentialfunksjon, Modellering, Tangent
- **Kort beskrivelse:** Eksponentiell regresjon på antall gårdsbruk, prognose, grafen til $f(x)=68\,900\cdot 0{,}982^x$ og tolkning av tangent.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/gardsbruk-i-norge-med-eksponentiell-modell-og-tangent/
### Oppgavetekst
Tabellen nedenfor viser antall gårdsbruk i Norge for noen årstall.
| År | 1969 | 1989 | 1999 | 2009 | 2020 |
|:---|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|
| Antall gårdsbruk | $154\,977$ | $99\,382$ | $68\,539$ | $47\,688$ | $38\,633$ |
a) Bestem med utgangspunkt i tabellen en modell for antall gårdsbruk i Norge fra 1969 og framover. Begrunn ditt valg av modell.
b) Bruk modellen din til å finne hvor mange gårdsbruk det vil være i Norge i 2060. Vurder svaret.
En modell $f$ for antall gårdsbruk i Norge $x$ år etter 1999 er gitt ved
$$
f(x)=68\,900\cdot 0{,}982^x
$$
c) Tegn grafen til $f$ for $x\in[0, 90]$.
d) Når vil, ifølge modellen $f$, antall gårdsbruk i Norge være 40 prosent lavere enn i 1999?
e) Tegn tangenten til grafen til $f$ i punktet $\big(22, f(22)\big)$. Gi en praktisk tolkning av stigningstallet til denne tangenten.
---
## V2022 del 2 oppgave 2 — Førerprøve for gutter og jenter med binomisk fordeling
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Binomisk fordeling, Sannsynlighet
- **Kort beskrivelse:** Binomiske sannsynligheter for bestått førerprøve, produkt av to binomiske fordelinger og minste antall forsøk.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/forerprove-for-gutter-og-jenter-med-binomisk-fordeling/
### Oppgavetekst
Statistikk viser at $74$ prosent av alle oppkjøringer til førerkort klasse B blir bestått.
17\. juni 2022 skal $7$ gutter og $5$ jenter fra en videregående skole ha oppkjøring til førerkort klasse B.
a) Hva må vi gå ut fra i denne situasjonen for å kunne se på dette som et binomisk forsøk?
b) Hva er sannsynligheten for at minst $8$ av de $12$ elevene består oppkjøringen?
c) Hva er sannsynligheten for at akkurat $5$ av guttene består oppkjøringen?
d) Hva er sannsynligheten for at akkurat $5$ av guttene og akkurat $4$ av jentene består oppkjøringen?
Ved en annen videregående skole var det flere elever som hadde oppkjøring 10. mai 2022. Alle disse elevene besto oppkjøringen. Sannsynligheten for at dette skulle skje, er mindre enn $2$ prosent.
e) Hvor mange elever ved denne skolen må minst ha hatt oppkjøring denne dagen?
---
## V2022 del 2 oppgave 3 — Even og Odd sykler mot hverandre
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Likninger, Proporsjonalitet
- **Kort beskrivelse:** Finne møtepunktet for to syklister som starter samtidig fra hver sin ende av en strekning, med ulik gjennomsnittsfart.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/even-og-odd-sykler-mot-hverandre/
### Oppgavetekst
Even og Odd liker begge å sykle. De bor på hvert sitt sted. Avstanden mellom der de bor, er $230$ kilometer. En dag syklet de mot hverandre. De startet samtidig. Fra de startet til de møttes, hadde Even en gjennomsnittsfart på $22 \mathrm{~km/h}$, mens Odd hadde en gjennomsnittsfart på $33 \mathrm{~km/h}$.
Hvor langt fra hjemstedet til Even møttes de?
---
## V2022 del 2 oppgave 4 — Papirfabrikker A og B med lineær optimering av kostnad
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2022 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Lineær optimering, Ulikheter, Økonomi
- **Kort beskrivelse:** Sette opp ulikheter for produksjonsdager i to fabrikker og minimere kostnaden med lineær optimering.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/papirfabrikker-a-og-b-med-lineaer-optimering-av-kostnad/
### Oppgavetekst
En bedrift har to fabrikker, A og B, som produserer papir. Tabellen nedenfor viser hvor mange ruller av de ulike papirtypene hver av de to fabrikkene produserer hver dag.
| | **Bokpapir** | **Avispapir** | **Magasinpapir** |
|:----------|:---:|:---:|:---:|
| Fabrikk A | $400$ | $180$ | $240$ |
| Fabrikk B | $260$ | $200$ | $384$ |
Bedriften mottar en bestilling på
- $40\,000$ ruller med bokpapir
- $24\,000$ ruller med avispapir
- $38\,400$ ruller med magasinpapir
De planlegger å bruke begge fabrikkene til å produsere papir til denne bestillingen. La $x$ være antall dager fabrikk A produserer til denne bestillingen, og $y$ antall dager fabrikk B produserer til bestillingen.
a) Forklar at $x$ og $y$ må tilfredsstille ulikhetene
$$
\begin{aligned}
x &\ge 0 \\
y &\ge 0 \\
x+0{,}65y &\ge 100 \\
0{,}9x+y &\ge 120 \\
x+1{,}6y &\ge 160
\end{aligned}
$$
De daglige kostnadene når fabrikkene produserer for fullt, er $40\,000$ kroner for fabrikk A og $30\,000$ kroner for fabrikk B. Et uttrykk for bedriftens daglige kostnader knyttet til produksjonen er da gitt ved
$$
K=40\,000x+30\,000y
$$
b) Hva er den laveste mulige produksjonskostnaden for denne bestillingen?
Ledelsen i fabrikk B ønsker at hele produksjonen til denne bestillingen skal gjøres hos dem. De vet at de da må redusere de daglige kostnadene.
c) Hvor mye må fabrikk B redusere de daglige kostnadene dersom det skal lønne seg at de produserer hele bestillingen?
---
## H2022 del 1 oppgave 1 — Forenkle uttrykk med potenser og brøk S1 H22
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2022 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Potenser
- **Kort beskrivelse:** Forenkle algebraisk uttrykk med negative eksponenter og brøkpotenser.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/forenkle-uttrykk-med-potenser-og-brok-s1-h22/
### Oppgavetekst
Skriv så enkelt som mulig
$$
\left(2a^{-2}b\right)^{-1} \cdot \left(\frac{b^2}{a}\right)^2
$$
---
## H2022 del 1 oppgave 2 — Overskuddsfunksjon derivasjon og maksimum
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2022 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Optimering, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Derivere kvadratisk overskuddsfunksjon, tolke $O'(500)$ og finne maksimalt overskudd.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/overskuddsfunksjon-derivasjon-og-maksimum/
### Oppgavetekst
Funksjonen $O$ gitt ved
$$
O(x) = -0{,}05x^2 + 100x - 10\,000
$$
er en god modell for overskuddet i kroner som en bedrift har hver uke, dersom den produserer og selger $x$ enheter av en vare.
a) Bestem $O'(500)$. Gi en tolkning av svaret i denne situasjonen.
b) Hva er det maksimale overskuddet denne bedriften kan ha hver uke, ifølge modellen $O$?
---
## H2022 del 1 oppgave 3 — Logaritmeligningen lg(x-3) pluss lg x lik 1
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2022 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Likninger
- **Kort beskrivelse:** Løse logaritmeligningen $\lg(x-3) + \lg x = 1$ ved å bruke logaritmeregler og andregradsformel.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/logaritmeligningen-lg-x-3-pluss-lg-x-lik-1/
### Oppgavetekst
Løs likningen
$$
\lg(x-3) + \lg x = 1
$$
---
## H2022 del 1 oppgave 4 — Grenseverdi av differenskvotient i punkt 4
- **Fag:** R1, S1
- **Eksamen:** Høst 2022 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Vekstfart
- **Kort beskrivelse:** Beregne $\lim_{h \to 0} \frac{(4+h)^2 - 4^2}{h}$ som er definisjonen av den deriverte i $x=4$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/grenseverdi-av-differenskvotient-i-punkt-4/
### Oppgavetekst
Bestem grenseverdien
$$
\lim_{h \to 0} \frac{(4+h)^2 - 4^2}{h}
$$
---
## H2022 del 1 oppgave 5 — Kuler i krukke sannsynlighet og algoritme
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2022 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Kombinatorikk
- **Kort beskrivelse:** Beregne sannsynlighet for minst én hvit kule ved trekking uten tilbakelegging, og lage algoritme for ukjent antall kuler.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kuler-i-krukke-sannsynlighet-og-algoritme/
### Oppgavetekst
I en krukke er det 2 hvite og 6 svarte kuler. Du skal tilfeldig trekke 2 kuler uten tilbakelegging.
a) Bestem sannsynligheten for at minst én av kulene er hvit.
I en annen krukke ligger det et ukjent antall kuler. Her er 2 av kulene hvite, mens resten av kulene er svarte. Du skal tilfeldig trekke 2 kuler uten tilbakelegging. Du ønsker at sannsynligheten for at du trekker 2 svarte kuler, skal være minst 50 prosent.
b) Lag en algoritme som du kan bruke for å bestemme det minste antallet svarte kuler som det da må være i krukken. Ta med nødvendige formler som du må bruke for å følge algoritmen.
---
## H2022 del 2 oppgave 1 — Turister i butikk binomisk sannsynlighet
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2022 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Binomisk fordeling, Sannsynlighet
- **Kort beskrivelse:** Modellere antall turister som binomisk fordeling og beregne $P(X \geq 100)$ med forutsetninger.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/turister-i-butikk-binomisk-sannsynlighet/
### Oppgavetekst
Undersøkelser viser at 70 prosent av kundene til en butikk er turister.
En dag hadde butikken til sammen 145 kunder.
Legg nødvendige forutsetninger til grunn, og bestem sannsynligheten for at minst 100 av disse kundene var turister.
---
## H2022 del 2 oppgave 2 — Tangent til parabel og minste areal av trekant OAB
- **Fag:** R1, S1
- **Eksamen:** Høst 2022 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Optimering
- **Kort beskrivelse:** Bestemme areal av trekant OAB dannet av tangenten til $f(x)=1-x^2$ og koordinataksene, og minimere arealet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tangent-til-parabel-og-minste-areal-av-trekant-oab/
### Oppgavetekst
En funksjon $f$ er gitt ved
$$
f(x) = 1 - x^2, \quad D_f = [0, 1]
$$
La $a \in \langle 0, 1 \rangle$ og $O$ være origo. Tangenten til grafen til $f$ i punktet $P(a, f(a))$ skjærer $x$-aksen i punktet $A$ og $y$-aksen i punktet $B$ som vist på figuren.
![Graf som viser parabelen $f(x)=1-x^2$ på $[0,1]$ med tangent i $P$ som skjærer aksene i $A$ og $B$](/assets/_resources/s1-h22-2-2.avif)
a) Bestem arealet av $\triangle OAB$ når $P\left(\dfrac{1}{2}, \dfrac{3}{4}\right)$.
b) Bestem det minste arealet $\triangle OAB$ kan ha.
---
## H2022 del 2 oppgave 3 — Vareeksport modellering eksponential og lineær
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2022 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Modellering, Eksponentialfunksjon, Lineære funksjoner
- **Kort beskrivelse:** Tilpasse lineær og eksponentialmodell til norsk vareeksportdata, sammenligne modeller og bruke dem til å vurdere handelsoverskudd.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/vareeksport-modellering-eksponential-og-lineaer/
### Oppgavetekst
Tabellen nedenfor viser verdien av den totale vareeksporten fra Norge for noen år i perioden 1980–2018.
| År | 1980 | 1990 | 2000 | 2010 | 2018 |
|----|------|------|------|------|------|
| Verdien av vareeksporten (i milliarder kroner) | 91,7 | 211,6 | 529,8 | 788,1 | 1000,3 |
a) Bruk tallene fra tabellen til å lage to ulike modeller som kan brukes til å anslå verdien av norsk vareeksport i årene framover. Begrunn hvilken av modellene du mener passer best i denne situasjonen. Kall denne modellen for $g$.
b) Anslå den gjennomsnittlige årlige veksten av norsk vareeksport fra 2015 til 2025 for hver av de to modellene du fant i oppgave a).
Funksjonen $f$ gitt ved
$$
f(x) = 91 \cdot 1{,}057^x
$$
er en modell for verdien av den totale vareimporten til Norge i milliarder kroner, $x$ år etter 1980.
c) Når vil verdien av vareimporten til Norge være 10 ganger større enn det den var i 1980?
Dersom verdien av vareeksporten i et land er større enn verdien av vareimporten, sier vi at landet har et handelsoverskudd.
d) Bruk modellene $f$ og $g$ til å vurdere når Norge har et handelsoverskudd.
---
## H2022 del 2 oppgave 4 — Terning med n sider og sannsynlighet for produkt
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2022 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Programmering, Diskrete sannsynlighetsfordelinger
- **Kort beskrivelse:** Programmere beregning av $P(X > 60)$ for produkt av to terningkast, og finne minste $n$ slik at $P(X > 60) > 0{,}5$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/terning-med-n-sider-og-sannsynlighet-for-produkt/
### Oppgavetekst
Tenk deg at du har en terning med $n$ sider der antall øyne på sidene er $1, 2, \ldots, n$. Når du kaster terningen, er alle utfallene like sannsynlige.
Du kaster terningen to ganger. La $X$ være produktet av antall øyne i de to kastene. Dersom for eksempel første kast gir $7$ og andre kast gir $3$, blir $X$ lik $3 \cdot 7 = 21$.
a) La $n = 10$. Lag et program som kan brukes til å anslå $P(X > 60)$.
b) Hva er den minste verdien for $n$ som gjør at $P(X > 60)$ er større enn 0,5?
---
## H2022 del 2 oppgave 5 — Virkestoff i kroppen eksponentialfunksjon og geometrisk rekke
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2022 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Eksponentialfunksjon, Rekker, Geometrisk rekke, Uendelig rekke
- **Kort beskrivelse:** Modellere nedbrytning av virkestoff med $f(t)=100 \cdot e^{-0{,}012t}$, vurdere kontinuitet, og bruke geometrisk rekke for langtidsakkumulering.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/virkestoff-i-kroppen-eksponentialfunksjon-og-geometrisk-rekke/
### Oppgavetekst
Arnt har fått en sykdom og må ta en tablett som inneholder 100 mg av et virkestoff.
Funksjonen $f$ gitt ved
$$
f(t) = 100 \cdot e^{-0{,}012t}
$$
er en modell for hvor mye av tablettens virkestoff som er igjen i kroppen $t$ timer etter at han tok den.
a) Hvor mye virkestoff er igjen i kroppen 24 timer etter at han tok en tablett?
Arnt tar en tablett hver morgen klokken åtte.
La $g$ være en funksjon som beskriver mengden virkestoff han har i kroppen $t$ timer etter at han tok den første tabletten.
b) Avgjør om $g$ er en kontinuerlig funksjon. Husk å begrunne svaret.
c) Hvor mye virkestoff har Arnt i kroppen like før han tar den sjette tabletten?
d) Hva er den maksimale mengden virkestoff Arnt vil ha i kroppen dersom han tar én tablett i døgnet over lang tid?
---
## H2022 del 2 oppgave 6 — Rasjonal funksjon symmetri i løsninger av f'(x)=k
- **Fag:** R1, S1
- **Eksamen:** Høst 2022 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Funksjoner
- **Kort beskrivelse:** Utforske for hvilke $k$ likningen $f'(x)=k$ har løsning, beskrive symmetri i løsningene, og bestemme parametre i en generalisert rasjonal funksjon.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/rasjonal-funksjon-symmetri-i-losninger-av-f-x-k/
### Oppgavetekst
En funksjon $f$ er gitt ved
$$
f(x) = 2x + 5 + \frac{1}{x-1}
$$
a) For hvilke verdier av $k$ har likningen $f'(x) = k$ løsning?
b) Velg ulike verdier av $k$, og beskriv symmetrien i løsningene av likningen $f'(x) = k$ for hver av disse verdiene.
La $g$ være en funksjon som kan skrives på formen
$$
g(x) = a \cdot x + b + \frac{1}{x+d}
$$
c) For hvilke verdier av $a$ har likningen $g'(x) = 4$ løsning?
La nå $a = 3$.
d) Utforsk og beskriv løsningene til likningen $g'(x) = k$ for ulike verdier av $k$.
e) Bestem $b$ og $d$ slik at $g'(-1) = g'(5)$ og $g(1) = 7$.
---
## H2022 del 1 oppgave 1 — Tre likninger med tierpotens, faktorisering og lg-regler
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2022 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Likninger, Logaritmer, Faktorisering
- **Kort beskrivelse:** Løse $10^x+1=\frac{101}{100}$, en tredjegradslikning ved faktorisering og en lg-likning med logaritmeregler.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tre-likninger-med-tierpotens-faktorisering-og-lg-regler/
### Oppgavetekst
Løs likningene
a)
$$
10^x + 1 = \frac{101}{100}
$$
b)
$$
x^3 + 3x^2 - 4x = 0
$$
c)
$$
\lg(2x^2) - \lg x = 1
$$
---
## H2022 del 1 oppgave 2 — Forenkle kvadratuttrykk i x og y og lg-uttrykk i a og b
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2022 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Algebra, Kvadratsetninger, Logaritmer
- **Kort beskrivelse:** Forenkle et uttrykk med kvadratsetning og et lg-uttrykk med logaritmereglene for produkt, brøk og potens.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/forenkle-kvadratuttrykk-i-x-og-y-og-lg-uttrykk-i-a-og-b/
### Oppgavetekst
Skriv så enkelt som mulig.
a)
$$
2(x+y)^2 - 2(x^2+y^2) - y(4x+y)
$$
b)
$$
\lg\left(a^4 b\right) - \lg\left(\frac{a^3}{b^2}\right) + \lg a^{-1}
$$
---
## H2022 del 1 oppgave 3 — Rettvinklet trapes med omkrets 20 og likningssystem
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2022 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Likningssystem, Pytagoras, Geometri
- **Kort beskrivelse:** Sette opp og løse et ikke-lineært likningssystem fra omkrets og Pytagoras i et rettvinklet trapes.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/rettvinklet-trapes-med-omkrets-20-og-likningssystem/
### Oppgavetekst
I trapeset til høyre er omkretsen 20 og $y > 0$.
---
a) Vis at opplysningene gir oss følgende likningssystem:
$$
\begin{aligned} x^2 + y^2 &= 25 \\ 3x + y &= 15 \end{aligned}
$$
b) Løs likningssystemet ovenfor ved regning, og bestem lengdene til sidene i trapeset.
---
## H2022 del 1 oppgave 4 — Andregradsulikhet med brøkkoeffisienter og fortegnslinje
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2022 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Andregradsulikhet, Fortegnslinje
- **Kort beskrivelse:** Løse andregradsulikheten $-\frac{1}{2}x^2+4<2+\frac{3}{2}x$ med faktorisering og fortegnslinje.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/andregradsulikhet-med-brokkoeffisienter-og-fortegnslinje/
### Oppgavetekst
Løs ulikheten
$$
-\frac{1}{2}x^2 + 4 < 2 + \frac{3}{2}x
$$
---
## H2022 del 1 oppgave 5 — Anita og Lars trekkes til teltoppsett eller matlaging
- **Fag:** S1, R1
- **Eksamen:** Høst 2022 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Kombinatorikk, Hypergeometrisk fordeling
- **Kort beskrivelse:** Hypergeometrisk sannsynlighet for at to bestemte personer havner i samme gruppe når tre av åtte trekkes ut.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/anita-og-lars-trekkes-til-teltoppsett-eller-matlaging/
### Oppgavetekst
Kjæresteparet Anita og Lars skal på telttur med seks av vennene sine. På turen skal tre av de åtte vennene sette opp teltene. De fem andre skal lage mat. De trekker tilfeldig ut hvem som skal gjøre de ulike oppgavene.
a) Hva er sannsynligheten for at både Anita og Lars blir trukket ut til å sette opp teltene?
b) Hva er sannsynligheten for at Anita og Lars ikke blir trukket ut til å gjøre samme arbeidsoppgave?
---
## H2022 del 1 oppgave 6 — Tvillinger blant 50 sensorer binomisk uttrykk
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2022 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Binomisk fordeling, Sannsynlighet
- **Kort beskrivelse:** Sette opp $1-0{,}985^{50}$ for minst én tvilling blant 50 og begrunne forutsetningene for en binomisk modell.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tvillinger-blant-50-sensorer-binomisk-uttrykk/
### Oppgavetekst
I Norge er 1,5 prosent av befolkningen tvillinger.
Det skal trekkes ut 50 lærere til å være sensor på en matematikkeksamen.
Legg nødvendige forutsetninger til grunn, og sett opp et uttrykk som kan brukes til å bestemme sannsynligheten for at minst én av lærerne er født som tvilling. Du skal ikke regne ut denne sannsynligheten.
---
## H2022 del 1 oppgave 7 — Firkantområde beskrevet med ulikheter og linje med stigningstall k
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2022 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Ulikheter, Lineære funksjoner, Stigningstall
- **Kort beskrivelse:** Beskrive et firkantområde med lineære ulikheter og finne stigningstall for linjer gjennom $(-4, 1)$ som ikke skjærer området.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/firkantomrade-beskrevet-med-ulikheter-og-linje-med-stigningstall-k/
### Oppgavetekst
I figuren har vi markert et område.
a) Sett opp ulikheter som avgrenser dette området.
En rett linje på formen $y = kx + b$ går gjennom punktet $(-4, 1)$.
b) Hvilke verdier for $k$ gjør at området på figuren blir uforandret når vi også inkluderer ulikheten $y \le kx + b$ i ulikhetene fra oppgave a)?
---
## H2022 del 1 oppgave 8 — Temperatur for legemer i bane rundt solen
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2022 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Likninger, Røtter, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Innsetting i $T(x)=\frac{276}{\sqrt{x}}-273$ og løsning av en rotlikning for avstanden til solen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/temperatur-for-legemer-i-bane-rundt-solen/
### Oppgavetekst
For små legemer som kretser rundt solen, er temperaturen $T$ (målt i $\degree\text{C}$) gitt ved formelen
$$
T(x) = \frac{276}{\sqrt{x}} - 273
$$
Her er $x$ avstanden mellom legemet og solen, målt i astronomisk enhet (AE).
> **Merk**
> 1 AE er den gjennomsnittlige avstanden mellom solen og jorden.
a) Finn temperaturen på et legeme som har avstanden 4 AE til solen.
Et legeme som kretser rundt solen, har en temperatur på $-204 \degree\text{C}$.
b) Hva er avstanden fra solen til dette legemet (målt i AE)?
---
## H2022 del 1 oppgave 9 — Bestemme a, b og asymptoter for rasjonal funksjon fra graf
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2022 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 9
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Rasjonale funksjoner, Asymptoter, Graftolkning
- **Kort beskrivelse:** Lese av punkter på grafen til $f(x)=\frac{ax+b}{x-2}$ for å bestemme $a$ og $b$, og finne asymptotene.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/bestemme-a-b-og-asymptoter-for-rasjonal-funksjon-fra-graf/
### Oppgavetekst
Figuren nedenfor viser grafen til en rasjonal funksjon $f$ på formen
$$
f(x) = \frac{ax + b}{x - 2}\,, \quad x \neq 2
$$
Bestem $a$, $b$ og asymptotene til $f$.
---
## H2022 del 1 oppgave 10 — Renne av bøyd metallplate med størst tverrsnittsareal
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2022 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 10
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Optimering, Andregradsfunksjon, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Modellere tverrsnittsarealet som andregradsfunksjon av brettekanten og finne maksimum.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/renne-av-boyd-metallplate-med-storst-tverrsnittsareal/
### Oppgavetekst
Vi skal bruke en metallplate med bredde 60 cm til å lage en renne med rektangulært tverrsnitt. Dette gjør vi ved å brette opp metallplaten som vist på figuren nedenfor.
Hvor skal vi brette metallplaten slik at tverrsnittet av rennen (det markerte området på figuren) får størst mulig areal? Hvor stort blir dette arealet?
---
## H2022 del 2 oppgave 1 — Fem kort uten tilbakelegging og antall hjerter
- **Fag:** S1, R1
- **Eksamen:** Høst 2022 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Hypergeometrisk fordeling, Kombinatorikk, Sannsynlighet
- **Kort beskrivelse:** Hypergeometrisk sannsynlighet for antall hjerter blant fem kort, og telling av hender med minst ett kort av hver type.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/fem-kort-uten-tilbakelegging-og-antall-hjerter/
### Oppgavetekst
En kortstokk består av fire typer kort: ruter, kløver, hjerter og spar. Hver type består av 13 kort, med ulike verdier.
Vi trekker tilfeldig fem kort uten tilbakelegging fra en slik kortstokk.
a) Bestem sannsynligheten for at alle de fem kortene er hjerter.
b) Bestem sannsynligheten for at nøyaktig to av de fem kortene er hjerter.
c) Hva er sannsynligheten for at de fem kortene inneholder minst ett kort av hver type?
---
## H2022 del 2 oppgave 3 — Lineær optimering av osteproduksjon Kraftig og Edel
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2022 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Lineær optimering, Ulikheter, Økonomi
- **Kort beskrivelse:** Lineær optimering: sette opp ulikheter for vekt og arbeidstid, tegne området og finne største overskudd i hjørnene.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lineaer-optimering-av-osteproduksjon-kraftig-og-edel/
### Oppgavetekst
En bedrift produserer to typer oster, Kraftig og Edel. Kraftig veier 200 g, mens Edel veier 250 g.
Bedriften kan lage inntil 60 kg ost per dag. Eierne vil at det skal produseres minst 24 kg Kraftig og minst 18 kg Edel per dag.
De ansatte i bedriften arbeider til sammen 32 timer per dag. De bruker i gjennomsnitt 7,5 minutter på å produsere en ost av merket Kraftig og 6 minutter på å produsere en ost av merket Edel.
La $x$ være antall oster de produserer hver dag av Kraftig, og $y$ være antall oster de produserer hver dag av Edel.
a) Forklar at $x$ og $y$ må ligge i et område bestemt av ulikhetene
$$
\begin{aligned} x &\ge 120 \\ y &\ge 72 \\ x + 1{,}25y &\le 300 \\ 1{,}25x + y &\le 320 \end{aligned}
$$
b) Marker området som er avgrenset av ulikhetene i oppgave a), i et koordinatsystem.
Bedriften har en fortjeneste på 16 kroner per ost for Kraftig og 12 kroner per ost for Edel.
c) Hva er det største overskuddet bedriften kan ha per dag?
---
## H2022 del 2 oppgave 4 — Andregrads overskuddsfunksjon for osteprodusent og salgspris
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2022 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Andregradsfunksjon, Overskudd, Økonomi, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Bestemme en andregrads overskuddsfunksjon fra toppunkt, $O(0)$ og $O(600)$, og bruke kostnad for å finne salgsprisen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/andregrads-overskuddsfunksjon-for-osteprodusent-og-salgspris/
### Oppgavetekst
En annen bedrift produserer kun én type oster. Om denne bedriften får du vite følgende:
- Det daglige overskuddet $O$ kan beskrives ved hjelp av en andregradsfunksjon $O(x)$, der $x$ er antall produserte oster.
- Overskuddet er størst når de produserer 450 oster per dag.
- Overskuddet er på 4400 kroner dersom de produserer 600 oster per dag.
- Dersom de en dag ikke produserer noen oster, vil de få et underskudd på 6000 kroner.
a) Hvor stort blir overskuddet dersom de produserer 300 oster per dag?
Du får vite at de daglige kostnadene ved å produsere 150 oster er 16 000 kroner.
b) Hva er salgsprisen per ost?
---
## V2021 del 1 oppgave 1 — Tre likninger med dobbel rot, produktform og logaritme
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2021 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Andregradslikninger, Logaritmer, Likninger
- **Kort beskrivelse:** Løse andregradslikning med dobbel rot, likning på produktform og logaritmelikningen $\lg(3-x)=2$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tre-likninger-med-dobbel-rot-produktform-og-logaritme/
### Oppgavetekst
Løs likningene
a)
$$
x^2 - 4x + 4 = 0
$$
b)
$$
x(x-3)(x+2) = 0
$$
c)
$$
\lg(3-x) = 2
$$
---
## V2021 del 1 oppgave 2 — Potensbrøk med negative eksponenter og logaritmesum med lg 16a
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2021 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Potenser, Logaritmer, Algebra
- **Kort beskrivelse:** Forenkle potensbrøk med negative eksponenter og null-eksponent med potensregler, og slå sammen tre logaritmer med logaritmereglene.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/potensbrok-med-negative-eksponenter-og-logaritmesum-med-lg-16a/
### Oppgavetekst
Skriv uttrykkene så enkelt som mulig
a)
$$
\dfrac{(2a)^2 \cdot \left(ab^3\right)^{-1}}{4ab^2 \cdot \left(a^0 b^{-1}\right)^5}
$$
b)
$$
\lg(16a) - \lg\left(\dfrac{a}{2}\right) + \lg\left(\dfrac{a}{32}\right)
$$
---
## V2021 del 1 oppgave 3 — Teaterbilletter for voksne og barn
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2021 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Likningssystem, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Sette opp og løse et lineært likningssystem for billettpriser og finne prisen for én voksen og ett barn.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/teaterbilletter-for-voksne-og-barn/
### Oppgavetekst
Lisa skal på teater med datteren sin. Hun vet at en kollega betalte 860 kroner for billetter til 2 voksne og 3 barn. En annen kollega betalte 940 kroner for billetter til 3 voksne og 2 barn.
Bruk opplysningene til å bestemme hvor mye Lisa til sammen må betale for billetter til én voksen og ett barn.
---
## V2021 del 1 oppgave 4 — Ikke-lineært likningssystem med 4x pluss 2y lik 4
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2021 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Likningssystem, Andregradslikninger
- **Kort beskrivelse:** Løse et likningssystem med én lineær likning og én andregradslikning ved innsettingsmetoden.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/ikke-lineaert-likningssystem-med-4x-pluss-2y-lik-4/
### Oppgavetekst
Løs likningssystemet
$$
\begin{aligned} 4x + 2y &= 4 \\ x^2 - y &= -2 \end{aligned}
$$
---
## V2021 del 1 oppgave 5 — Nullpunkter, ekstremalpunkter og skisse av x i fjerde minus 2x i andre
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2021 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Funksjonsdrøfting, Derivasjon, Nullpunkter, Momentan vekstfart
- **Kort beskrivelse:** Faktorisere, derivere og drøfte $g(x)=x^4-2x^2$ med nullpunkter, momentan vekstfart, fortegnslinje og skisse.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/nullpunkter-ekstremalpunkter-og-skisse-av-x-i-fjerde-minus-2x-i-andre/
### Oppgavetekst
Funksjonen $g$ er gitt ved
$$
g(x) = x^4 - 2x^2
$$
a) Bestem nullpunktene til $g$.
b) Bestem den momentane vekstfarten til $g$ når $x = -2$.
c) Bestem eventuelle toppunkt og bunnpunkt på grafen til $g$.
d) Lag en skisse av grafen til $g$.
---
## V2021 del 1 oppgave 6 — Velg riktig uttrykk for to defekte batterier av fem
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2021 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Hypergeometrisk fordeling, Binomisk fordeling, Argumentasjon
- **Kort beskrivelse:** Begrunne at trekning uten tilbakelegging gir et hypergeometrisk og ikke et binomisk uttrykk for 2 defekte av 5 batterier.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/velg-riktig-uttrykk-for-to-defekte-batterier-av-fem/
### Oppgavetekst
I en eske ligger det 32 batterier. Av disse er 8 defekte. Maria skal plukke ut 5 tilfeldige batterier fra esken. Hun vil regne ut sannsynligheten for at nøyaktig 2 av disse batteriene er defekte.
Hvilket av alternativene nedenfor gir riktig svar? Begrunn svaret ditt.
$$
\text{1)} \quad p = \frac{\dbinom{24}{3} \cdot \dbinom{8}{2}}{\dbinom{32}{5}} \qquad\qquad \text{2)} \quad p = \binom{5}{2} \cdot \left(\frac{8}{32}\right)^2 \cdot \left(\frac{24}{32}\right)^3
$$
---
## V2021 del 1 oppgave 7 — Mathildes lodd i lotteri med 2 gevinster av 10
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2021 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Hypergeometrisk fordeling, Kombinatorikk
- **Kort beskrivelse:** Sannsynlighet for ingen gevinst og for minst én gevinst ved trekning av lodd uten tilbakelegging.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/mathildes-lodd-i-lotteri-med-2-gevinster-av-10/
### Oppgavetekst
Mathilde skal prøve lykken i et lotteri. Det er 10 lodd igjen, og 2 av loddene gir gevinst.
a) Bestem sannsynligheten for at hun ikke vinner dersom hun tar 2 lodd.
b) Bestem sannsynligheten for at hun vinner minst én av gevinstene dersom hun tar 4 lodd.
---
## V2021 del 1 oppgave 8 — Trekantområde med tre hjørner og lineær optimering med parameter a
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2021 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Lineær optimering, Ulikheter, Lineære funksjoner, Parametere
- **Kort beskrivelse:** Finne ulikhetene for et trekantområde ut fra hjørnene, maksimere $S=-2x+3y$ og bestemme $a$ slik at $D=-ax+3y$ har minimum i $(2,1)$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/trekantomrade-med-tre-hjorner-og-lineaer-optimering-med-parameter-a/
### Oppgavetekst
Et område $T$ er avgrenset av rette linjer. Koordinatene til hjørnene i området er $(3, 6)$, $(2, 1)$ og $(4, 3)$.
a) Tegn inn punktene i et koordinatsystem og bestem de tre ulikhetene som avgrenser området $T$.
b) Hva er den største verdien størrelsen $S = -2x + 3y$ kan ha om $(x, y)$ skal ligge i området $T$?
Størrelsen $D$ er gitt ved $D = -a \cdot x + 3y$, der $a$ er et reelt tall.
c) For hvilke verdier av $a$ har $D$ sin minste verdi i punktet $(2, 1)$, når $(x, y)$ skal være i området $T$?
---
## V2021 del 1 oppgave 9 — Rasjonal funksjon med asymptoter x lik 1 og y lik minus 1
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2021 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 9
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Rasjonale funksjoner, Asymptoter, Graftolkning, Likninger
- **Kort beskrivelse:** Bestemme $a$, $b$ og $c$ i $f(x)=\frac{x+a}{bx+c}$ fra asymptotene og et nullpunkt i grafen, og løse $f(x)=2$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/rasjonal-funksjon-med-asymptoter-x-lik-1-og-y-lik-minus-1/
### Oppgavetekst
Figuren nedenfor viser grafen til en funksjon $f$. Grafen har asymptotene $x = 1$ og $y = -1$.
Funksjonsuttrykket til $f$ kan skrives på formen $f(x) = \dfrac{x+a}{bx+c}$.
Løs likningen $f(x) = 2$ ved regning.
---
## V2021 del 2 oppgave 1 — Tilfeldig trekning av seks ministre i regjeringen
- **Fag:** R1, S1
- **Eksamen:** Vår 2021 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Kombinatorikk, Hypergeometrisk fordeling
- **Kort beskrivelse:** Hypergeometrisk sannsynlighet med binomialkoeffisienter når 6 av 20 ministre fra tre partier trekkes tilfeldig.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tilfeldig-trekning-av-seks-ministre-i-regjeringen/
### Oppgavetekst
I tillegg til statsministeren er det 19 ministre i regjeringen. Av disse 20 er 12 medlemmer i Høyre, 4 er medlemmer i Venstre, og 4 er medlemmer i Kristelig Folkeparti.
Ved et arrangement er det bestemt at 6 av ministrene skal være til stede. Disse blir tilfeldig trukket blant de 20 ministrene.
a) Hva er sannsynligheten for at alle de 6 som blir trukket ut, er fra Høyre?
b) Bestem sannsynligheten for at statsministeren er blant dem som blir trukket ut.
c) Bestem sannsynligheten for at 2 fra Høyre, 2 fra Venstre og 2 fra Kristelig Folkeparti blir trukket ut.
---
## V2021 del 2 oppgave 2 — Leilighet kjøpt for 300 000 og solgt for 2 250 000
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2021 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Eksponentiell vekst, Vekstfaktor, Gjennomsnittlig vekstfart, Momentan vekstfart
- **Kort beskrivelse:** Gjennomsnittlig årlig prosentvis vekst, eksponentiell modell for leilighetsverdi, momentan lik gjennomsnittlig vekstfart og tid til en gitt verdi.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/leilighet-kjopt-for-300-000-og-solgt-for-2-250-000/
### Oppgavetekst
I starten av 1993 kjøpte Frode en leilighet for 300 000 kroner. I starten av 2018 solgte han leiligheten for 2 250 000 kroner.
a) Hva har den gjennomsnittlige prosentvise årlige veksten vært for leilighetens verdi i disse 25 årene?
Vi lar $f(x)$ være leilighetens verdi $x$ år etter at Frode kjøpte den.
b) Bestem et uttrykk for $f(x)$.
c) Løs likningen
$$
f^{\prime}(x) = \frac{f(25) - f(0)}{25}
$$
Gi en tolkning av svaret.
Mariam kjøpte leiligheten av Frode i 2018. Hun planlegger å selge den en gang i framtiden. Hun har som mål å selge leiligheten for 3 000 000 kroner.
d) Hvilket år kan hun forvente å få dette beløpet for leiligheten sin, dersom hun antar en årlig prosentvis vekst på 7,0 prosent?
---
## V2021 del 2 oppgave 3 — Supersko – lineær optimering for Steinbukken og Elgen
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2021 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 7
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Lineær optimering, Ulikheter, Økonomi
- **Kort beskrivelse:** Sette opp ulikheter fra kapasitetstabell, maksimere fortjenesten i hjørnene og vurdere en endring i kapasiteten.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/supersko-lineaer-optimering-for-steinbukken-og-elgen/
### Oppgavetekst
Supersko A/S produserer to skotyper: Steinbukken og Elgen. Begge skotypene må gjennom tre avdelinger, tilskjæring, sammensetting og ferdiggjøring. Nedenfor ser du en oversikt over tidsbruken til de forskjellige avdelingene for hver av skotypene.
| | Tilskjæring | Sammensetting | Ferdiggjøring |
|:----------------------------|:------------|:--------------|:--------------|
| Tidsbruk per enhet Steinbukk | 0,50 timer | 0,40 timer | 0,25 timer |
| Tidsbruk per enhet Elgen | 0,35 timer | 0,50 timer | 0,10 timer |
| Kapasitet per uke | 2700 timer | 2800 timer | 1200 timer |
La $x$ være antall solgte sko av typen Steinbukken og $y$ være antall solgte sko av typen Elgen.
a) Forklar at $x$ og $y$ må tilfredsstille ulikhetene
$$
\begin{aligned} x &\geq 0 \\ y &\geq 0 \\ x + 0{,}7y &\leq 5400 \\ 0{,}8x + y &\leq 5600 \\ x + 0{,}4y &\leq 4800 \end{aligned}
$$
Supersko A/S får solgt alt bedriften produserer av begge skomodellene. Fortjenesten er 350 kroner per par for Steinbukken og 300 kroner per par for Elgen.
b) Hvor mange par sko av hver type må bedriften produsere hver uke for at fortjenesten skal bli størst mulig?
Bedriften bestemmer seg for å øke kapasiteten i tilskjæringsavdelingen med 100 timer og samtidig redusere kapasiteten i sammensettingsavdelingen med 100 timer.
c) Vurder om dette er en lønnsom beslutning.
---
## V2021 del 2 oppgave 4 — Tredjegradsfunksjon ax i tredje pluss bx pluss 1 med ekstremalpunkt i x lik 2
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2021 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Likningssystem, Funksjonsdrøfting, Parametere
- **Kort beskrivelse:** Bestemme $a$ og $b$ i $f(x)=ax^3+bx+1$ fra $f^{\prime}(1)=3$ og $f^{\prime}(2)=0$, og finne topp- og bunnpunkt.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tredjegradsfunksjon-ax-i-tredje-pluss-bx-pluss-1-med-ekstremalpunkt-i-x-lik-2/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ er gitt ved
$$
f(x) = ax^3 + bx + 1
$$
Du får vite at $f^{\prime}(1) = 3$ og at $f$ har et ekstremalpunkt i $x = 2$.
Bestem koordinatene til eventuelle toppunkt og bunnpunkt på grafen til $f$.
---
## H2021 del 1 oppgave 1 — Likninger med 5 opphøyd i 3x-6 og lg12
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2021 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Andregradslikninger, Eksponentiallikning, Logaritmelikning, Logaritmer
- **Kort beskrivelse:** Løse en andregradslikning, eksponentlikningen $5^{3x-6}=25$ og en logaritmelikning med regneregler for lg.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/likninger-med-5-opphoyd-i-3x-6-og-lg12/
### Oppgavetekst
Løs likningene
a)
$$
2x = 2x^2 - 12
$$
b)
$$
5^{3x-6} = 25
$$
c)
$$
\lg(x) + \lg(x+1) = \lg 12
$$
---
## H2021 del 1 oppgave 2 — Forenkle kvadratuttrykk og lg-uttrykk med a og b
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2021 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Algebra, Kvadratsetninger, Logaritmer
- **Kort beskrivelse:** Forenkle et uttrykk med kvadratsetningene og et logaritmeuttrykk med regnereglene for lg.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/forenkle-kvadratuttrykk-og-lg-uttrykk-med-a-og-b/
### Oppgavetekst
Skriv så enkelt som mulig
a)
$$
(x-y)^2 + 2 \cdot (x+y) \cdot y - (x+y)^2
$$
b)
$$
\lg(ab^{-5}) - \lg\left(\dfrac{b}{a^4}\right) + 3\lg(ab^2)
$$
---
## H2021 del 1 oppgave 3 — Andregradsulikhet med minus x i andre og minus 6 minus x
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2021 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Andregradsulikhet, Ulikheter, Fortegnslinje
- **Kort beskrivelse:** Løse andregradsulikheten $-x^2 \geq -6 - x$ ved faktorisering og fortegnslinje.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/andregradsulikhet-med-minus-x-i-andre-og-minus-6-minus-x/
### Oppgavetekst
Løs ulikheten
$$
-x^2 \geq -6 - x
$$
---
## H2021 del 1 oppgave 4 — Likningssystem med linjen y lik x minus 6 og parabel
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2021 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Likningssystem, Andregradslikninger
- **Kort beskrivelse:** Løse et ikke-lineært likningssystem med innsettingsmetoden, som gir en andregradslikning.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/likningssystem-med-linjen-y-lik-x-minus-6-og-parabel/
### Oppgavetekst
Løs likningssystemet
$$
\begin{aligned} y - x + 6 &= 0 \\ x^2 - y &= 6 \end{aligned}
$$
---
## H2021 del 1 oppgave 6 — Siv og Audun i ring rundt juletreet
- **Fag:** R1, S1
- **Eksamen:** Høst 2021 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Kombinatorikk, Sannsynlighet
- **Kort beskrivelse:** Telle plasseringer av seks personer i ring og på rad, og finne sannsynligheten for at to bestemte personer står ved siden av hverandre.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/siv-og-audun-i-ring-rundt-juletreet/
### Oppgavetekst
Siv, Audun og fire venner skal gå hånd i hånd i ring rundt juletreet.
a) Begrunn at det er 120 ulike måter de seks kan plassere seg på i ringen.
Siv er hemmelig forelsket i Audun.
b) Bestem sannsynligheten for at hun får holde Audun i hånden dersom plasseringene i ringen er tilfeldige.
Etter at de har gått rundt juletreet, skal de ta et bilde. De skal stille seg ved siden av hverandre på en linje.
c) Bestem sannsynligheten for at Audun og Siv får stå ved siden av hverandre på bildet dersom de blir plassert tilfeldig.
---
## H2021 del 1 oppgave 6 — Tangent og lg500 fra grafen til 4 minus 4lg x
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2021 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Logaritmefunksjoner, Logaritmer, Tangent, Graftolkning
- **Kort beskrivelse:** Lese av stigningstallet til en tangent, bruke grafen til $f(x) = 4 - 4\lg x$ til å anslå $\lg 500$ og finne når $O(x) = -200 \cdot f(x) \geq 0$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tangent-og-lg500-fra-grafen-til-4-minus-4lg-x/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ er gitt ved
$$
f(x) = 4 - 4\lg x
$$
Figuren nedenfor viser grafen til $f$ sammen med tangenten i punktet $(1, f(1))$.
a) Bruk figuren til å bestemme en tilnærmet verdi for $f'(1)$.
b) Bruk blant annet grafen til å bestemme en tilnærmet verdi for $\lg 500$.
Når en bedrift produserer og selger $x$ enheter av en vare, er overskuddet $O$ per dag gitt ved
$$
O(x) = -200 \cdot f(x)
$$
c) Hvor mange enheter må bedriften minst produsere og selge per dag for ikke å gå med underskudd?
---
## H2021 del 1 oppgave 7 — Trekantområde T med største verdi av S og parameter k
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2021 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Lineær optimering, Ulikheter, Lineære funksjoner
- **Kort beskrivelse:** Finne ulikhetene som definerer et trekantområde, maksimere $S = \frac{1}{2}x - 2y$ i hjørnene og bestemme $k$ slik at $y \geq k + x$ ikke endrer området.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/trekantomrade-t-med-storste-verdi-av-s-og-parameter-k/
### Oppgavetekst
Nedenfor har vi fargelagt et område $T$ i koordinatsystemet.
a) Sett opp tre ulikheter som definerer området $T$.
La $S = \dfrac{1}{2}x - 2y$.
b) Bestem den største verdien $S$ kan ha når $(x, y)$ skal ligge i området $T$.
La $F$ være området som er avgrenset av ulikhetene i oppgave a og ulikheten
$$
y \geq k + x
$$
c) For hvilke verdier av $k$ blir området $F$ det samme som området $T$?
---
## H2021 del 1 oppgave 8 — Rasjonal funksjon ax minus 2 over bx pluss c med gitte asymptoter
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2021 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Rasjonale funksjoner, Asymptoter
- **Kort beskrivelse:** Bestemme $a$, $b$ og $c$ i $h(x) = \frac{ax-2}{bx+c}$ ut fra et nullpunkt og skjæringspunktet mellom asymptotene, og skissere grafen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/rasjonal-funksjon-ax-minus-2-over-bx-pluss-c-med-gitte-asymptoter/
### Oppgavetekst
Funksjonen $h$ er gitt ved
$$
h(x) = \frac{ax - 2}{bx + c}
$$
a) Bestem tallene $a$, $b$ og $c$ slik at
- punktet $(-1, 0)$ ligger på grafen til $h$
- asymptotene til $h$ skjærer hverandre i punktet $(4, -2)$
b) Lag en skisse av grafen til $h$.
---
## H2021 del 2 oppgave 1 — Eksport av laks og ørret i 2018 og 2019
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2021 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Likningssystem, Prosentregning, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Sette opp og løse et lineært likningssystem med prosentvis økning for verdien av laks- og ørreteksporten.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/eksport-av-laks-og-orret-i-2018-og-2019/
### Oppgavetekst
I 2018 eksporterte Norge laks og ørret for til sammen 70,7 milliarder kroner. Verdien av lakseeksporten økte med 4,8 milliarder kroner fra 2018 til 2019. Verdien av ørreteksporten økte med 24 % fra 2018 til 2019.
I 2019 eksporterte Norge laks og ørret for til sammen 76,2 milliarder kroner.
a) Sett opp et likningssystem som du kan bruke til å bestemme verdien av lakseeksporten og verdien av ørreteksporten i 2019.
b) Hvor stor var verdien av lakseeksporten i 2019?
---
## H2021 del 2 oppgave 2 — Grønt tall på ruletthjul og rødt i minst 7 av 10
- **Fag:** R1, S1
- **Eksamen:** Høst 2021 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 7
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Binomisk fordeling, Sannsynlighet, Logaritmer
- **Kort beskrivelse:** Komplementsetningen for minst ett grønt tall, minste antall spill for sannsynlighet over 50 %, og binomisk fordeling i to trinn.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/gront-tall-pa-ruletthjul-og-rodt-i-minst-7-av-10/
### Oppgavetekst
Når vi spiller med et ruletthjul, havner en kule på et av 37 tall. Av disse tallene er 18 røde, 18 svarte og ett grønt. Sannsynligheten er den samme for at kulen havner på hvert av de 37 tallene.
a) Bestem sannsynligheten for at kulen havner på det grønne tallet i minst 1 av $10$ spilleomganger.
b) Hvor mange ganger må vi minst spille med ruletthjulet dersom sannsynligheten for at kulen skal havne på det grønne tallet minst 1 gang, skal være mer enn $50$ prosent?
c) Forklar hvordan du kan komme fram til at sannsynligheten er $p \approx 0{,}151$ for at kulen havner på et rødt tall i minst 7 av 10 spilleomganger.
Åtte venner skal spille med ruletthjulet. Alle spiller 10 ganger hver.
d) Bestem sannsynligheten for at nøyaktig 3 av dem får rødt tall i minst 7 av de 10 spilleomgangene.
---
## H2021 del 2 oppgave 3 — Norsk sjømateksport med lineær og eksponentiell modell
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2021 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Eksponentialfunksjon, Regresjon, Gjennomsnittlig vekstfart, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Lineær regresjon på eksportdata og bruk av den eksponentielle modellen $f(x) = 55 \cdot 1{,}11^x$ til ulikhet, gjennomsnittlig og momentan vekstfart.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/norsk-sjomateksport-med-lineaer-og-eksponentiell-modell/
### Oppgavetekst
Figuren nedenfor viser verdien av norsk sjømateksport for årene 2009–2019.
a) Bruk tallene fra figuren til å bestemme en lineær modell $g$ som viser verdien av sjømateksporten $x$ år etter 2012.
Funksjonen $f$ gitt ved
$$
f(x) = 55 \cdot 1{,}11^x
$$
er en annen modell for verdien av norsk sjømateksport i milliarder kroner. Her er $x$ antall år etter 2012.
b) Tegn grafen til $f$.
c) I hvilket år blir verdien av sjømateksporten for første gang større enn 200 milliarder kroner, ifølge modellen $f$?
d) Bruk modellen $f$ til å bestemme den gjennomsnittlige årlige verdiøkningen av sjømateksporten i perioden 2012–2020.
e) I hvilket år vil verdien av sjømateksporten for første gang øke med mer enn 20 milliarder kroner per år, ifølge modellen $f$?
---
## H2021 del 2 oppgave 4 — Hengekøyer av type A og B med lineær optimering
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2021 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Lineær optimering, Ulikheter, Overskudd, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Tegne området for fem lineære ulikheter, maksimere overskuddet i hjørnene og finne manglende tider og kapasiteter bak ulikhetene.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/hengekoyer-av-type-a-og-b-med-lineaer-optimering/
### Oppgavetekst
En bedrift selger to typer hengekøyer, type A og type B. Disse produseres i de tre avdelingene tilskjæring, sammenstilling og ferdigstilling. Bedriften får solgt alle hengekøyene de klarer å produsere.
La $x$ og $y$ være antall hengekøyer bedriften produserer per måned av henholdsvis type A og type B.
Bedriften har kommet fram til følgende fem ulikheter som beskriver begrensningene i produksjonen:
$$
\begin{aligned} x &\geq 0 \\ y &\geq 0 \\ 1{,}5x + y &\leq 2500 \\ 0{,}5x + y &\leq 1500 \\ x + 0{,}4y &\leq 1600 \end{aligned}
$$
a) Marker i et koordinatsystem området de fem ulikhetene avgrenser.
Salgsprisen per enhet er 800 kroner for type A og 1400 kroner for type B. Bedriften har 70 000 kroner per måned i faste kostnader. I tillegg er det produksjonskostnader per enhet på 580 kroner for type A og 1140 kroner for type B.
b) Hvor mange hengekøyer av type A og type B må bedriften produsere for at overskuddet skal bli størst mulig? Hvor stort blir da det månedlige overskuddet?
For å komme fram til disse ulikhetene har bedriften brukt følgende tabell:
| | Tilskjæring | Sammenstilling | Ferdigstilling |
|:----------------------|:-----------:|:--------------:|:--------------:|
| Tid per enhet type A | 36 minutter | 18 minutter | 30 minutter |
| Tid per enhet type B | | 36 minutter | 12 minutter |
| Kapasitet per måned | 1000 timer | | 800 timer |
c) Gjør beregninger og bestem hvilket tall som mangler i hver av de to tomme rutene i tabellen.
---
## E2021 del 1 oppgave 1 — Grenseverdi av (x-1) delt på x² pluss x minus 2
- **Fag:** S1, R1
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2021 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Grenseverdi, Rasjonale funksjoner
- **Kort beskrivelse:** Bestemme $\lim_{x \to 1} \frac{x-1}{x^2+x-2}$ ved faktorisering av teller og nevner.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/grenseverdi-av-x-1-delt-pa-x2-pluss-x-minus-2/
### Oppgavetekst
Bestem grenseverdien
$$
\lim_{x \to 1} \frac{x-1}{x^2+x-2}
$$
---
## E2021 del 1 oppgave 2 — Logaritmeligningen lg x pluss lg x+3 lik 1
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2021 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Likninger, Logaritmer
- **Kort beskrivelse:** Løse $\lg x + \lg(x+3) = 1$ ved å bruke logaritmeregler og andregradslikning.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/logaritmeligningen-lg-x-pluss-lg-x-3-lik-1/
### Oppgavetekst
Løs likningen
$$
\lg x + \lg(x+3) = 1
$$
---
## E2021 del 1 oppgave 3 — Gjennomsnittlig og momentan vekstfart for andregradsfunksjon
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2021 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Vekstfart, Derivasjon, Funksjoner
- **Kort beskrivelse:** Bestemme konstantleddet $a$ i $f(x)=3x^2+ax+2$ ut fra krav til gjennomsnittlig og momentan vekstfart.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/gjennomsnittlig-og-momentan-vekstfart-for-andregradsfunksjon/
### Oppgavetekst
En funksjon $f$ er gitt ved
$$
f(x) = 3x^2 + a \cdot x + 2, \quad a \in \mathbb{R}
$$
a) Bestem $a$ slik at den gjennomsnittlige vekstfarten i intervallet $[2, 4]$ blir $10$.
b) Bestem $a$ slik at den momentane vekstfarten i $(2, f(2))$ blir $10$.
---
## E2021 del 1 oppgave 4 — Koder med A og B kombinatorikk og sannsynlighet
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2021 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Kombinatorikk, Sannsynlighet, Binomisk fordeling
- **Kort beskrivelse:** Telle antall 8-tegnkoder med A og B, og beregne sannsynlighet for minst seks A-er.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/koder-med-a-og-b-kombinatorikk-og-sannsynlighet/
### Oppgavetekst
Av tegnene A og B skal vi lage en kode som består av åtte tegn. To eksempler på slike koder er AABBAAAB og ABBAABBA.
a) Hvor mange ulike koder kan vi lage?
b) Hva er sannsynligheten for at det er minst seks A-er i en tilfeldig kode?
---
## E2021 del 1 oppgave 5 — Finne toppunkt med while-løkke og derivasjon
- **Fag:** S1, R1
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2021 (LK20)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Programmering, Derivasjon, Funksjoner
- **Kort beskrivelse:** Tolke og forklare et Python-program som bruker numerisk derivasjon og while-løkke til å finne toppunktet til $f(x)=\frac{x}{1+x^2}$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/finne-toppunkt-med-while-lokke-og-derivasjon/
### Oppgavetekst
En elev har skrevet programkoden nedenfor.
```python ln
def f(x):
return x/(1+x**2)
h = 0.0001
x = 0
while (f(x+h)-f(x))/h > 0:
x = x + 0.01
print("x=", x)
```
a) Hva ønsker eleven å finne ut?
b) Forklar hva som skjer når programmet kjøres. Hva blir resultatet?
---
## E2021 del 2 oppgave 1 — Innskudd på konto med fast rente og programmering
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2021 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Geometrisk rekke, Rekker, Programmering, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Modellere og beregne beløp på sparekonto med faste innskudd og rente, vurdere kontinuitet og skrive program for antall år til gitt beløp.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/innskudd-pa-konto-med-fast-rente-og-programmering/
### Oppgavetekst
1. januar hvert år setter Halvor inn 10 000 kroner på en konto med en fast årlig rentefot på $1{,}8 \%$. Første innskudd var 1. januar 2020.
a) Hvor stort vil beløpet på kontoen være 31. desember 2022?
Vi lar $B(x)$ være beløpet på kontoen $x$ år etter 1. januar 2020.
b) Er $B$ en kontinuerlig funksjon? Begrunn svaret.
Halvor ønsker å kunne regne ut hvor mange år det tar før beløpet han har på konto når en viss størrelse $K$.
c) Lag et program som Halvor kan bruke.
Input skal være rentefot, innskudd og $K$.
Output skal være antall år det går før beløpet er større eller lik $K$.
Du kan for eksempel starte slik:
```python ln
rentefot = 1.8
innskudd = 10000
K = 250000
print("Det tar", år, "år")
```
---
## E2021 del 2 oppgave 2 — Terningkast to terninger simulering sannsynlighet
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2021 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Simulering
- **Kort beskrivelse:** Bruke simulering til å beregne sannsynligheten for å vinne et spill med to terninger der minst én viser fem eller seks øyne.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/terningkast-to-terninger-simulering-sannsynlighet/
### Oppgavetekst
I et spill skal du kaste to terninger. Du vinner dersom minst en av de to terningene viser fem eller seks øyne.
Bruk simuleringer til å bestemme sannsynligheten for å vinne i dette spillet.
---
## E2021 del 2 oppgave 3 — Bakeri brød modell og optimering
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2021 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Modellering, Optimering, Funksjoner
- **Kort beskrivelse:** Lage en modell for overskuddet til et bakeri og optimere antall brød for størst mulig overskudd.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/bakeri-brod-modell-og-optimering/
### Oppgavetekst
Et bakeri baker og selger et populært brød. Tabellen nedenfor viser sammenhengen mellom antall bakte brød per dag og hvor mye det koster å bake brødene.
| Antall brød | 50 | 75 | 100 | 125 | 150 | 175 | 200 | 225 | 250 | 275 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Kostnader (kroner) | 650 | 780 | 1000 | 1150 | 1400 | 1700 | 2000 | 2400 | 2830 | 3300 |
Utsalgsprisen per brød settes til 27 kroner.
a) Bruk blant annet tallene i tabellen til å lage en modell for overskuddet til bakeriet dersom de baker og selger $x$ brød per dag.
b) Bruk modellen fra oppgave a) til å bestemme hvor mange brød de må bake og selge hver dag for at overskuddet skal bli størst mulig. Hvor stort blir dette overskuddet?
---
## E2021 del 2 oppgave 4 — Trekke ut elever fra S1-gruppe hypergeometrisk fordeling
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2021 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Diskrete sannsynlighetsfordelinger, Kombinatorikk, Sannsynlighet
- **Kort beskrivelse:** Arbeide med hypergeometrisk fordeling for antall jenter trukket ut til muntlig eksamen fra en gruppe med 12 gutter og 18 jenter.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/trekke-ut-elever-fra-s1-gruppe-hypergeometrisk-fordeling/
### Oppgavetekst
I en S1-gruppe er det 12 gutter og 18 jenter. Seks av elevene skal trekkes ut tilfeldig til muntlig eksamen i faget. Vi lar $X$ være antall jenter som blir trukket ut.
a) Lag en grafisk fremstilling av sannsynlighetsfordelingen til $X$.
b) Bruk to ulike strategier til å bestemme sannsynligheten for at det blir trukket ut minst én gutt.
Maya er en av jentene i gruppen.
c) Bestem sannsynligheten for at Maya blir trukket ut sammen med 2 andre jenter og 3 gutter.
---
## E2021 del 2 oppgave 5 — Rektangel under kurve optimering
- **Fag:** S1, R1
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2021 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Optimering, Derivasjon, Funksjoner
- **Kort beskrivelse:** Bestemme $t$ slik at arealet til rektangelet $ABCD$ under grafen til $f(x)=\frac{8}{x^2+4}$ blir størst mulig.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/rektangel-under-kurve-optimering/
### Oppgavetekst
Nedenfor har vi tegnet grafen til funksjonen $f$ gitt ved
$$
f(x) = \frac{8}{x^2+4}, \quad x > 0
$$
Punktene $A$, $B$, $C$ og $D$ danner et rektangel. Punktet $C$ ligger på grafen til $f$, og punktet $D$ ligger på $y$-aksen. Punktet $B$ har $x$-koordinat $t$. Punktet $A$ ligger i origo.
Bestem $t$ slik at arealet til rektangelet $ABCD$ blir størst mulig.
---
## E2021 del 2 oppgave 6 — Topp- og bunnpunkt for eksponentialfunksjon med konstant
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2021 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Eksponentialfunksjon, Derivasjon, Funksjoner, Graf
- **Kort beskrivelse:** Undersøke topp-/bunnpunkt og vendepunkt for $f(x)=\frac{e^x}{e^x+C}$, vise identitet og beskrive grafens avhengighet av $C$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/topp-og-bunnpunkt-for-eksponentialfunksjon-med-konstant/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ er gitt ved
$$
f(x) = \frac{e^x}{e^x + C}
$$
der $C$ er en konstant.
a) Finnes det noen verdier for $C$ som gjør at grafen til $f$ har et topp- eller bunnpunkt?
b) Undersøk og bestem hvilke verdier for $C$ som gjør at grafen til $f$ har et vendepunkt.
c) Anta $C > 0$. Vis at $f(x + \ln C) = \dfrac{e^x}{e^x + 1}$.
Beskriv hvordan grafen til $f$ påvirkes når verdien til $C$ endres.
d) Anta $C < 0$. Beskriv hvordan grafen til $f$ påvirkes når verdien til $C$ endres.
---
## E2021 del 2 oppgave 7 — Grafer til f f-derivert og f-dobbeltderivert kubikkfunksjon
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2021 (LK20)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Graf, Graftolkning, Funksjoner
- **Kort beskrivelse:** Argumentere for hvilken av tre gitte grafer som er $f$, $f'$ og $f''$ basert på egenskaper ved monotonitet, krumning og nullpunkter.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/grafer-til-f-f-derivert-og-f-dobbeltderivert-kubikkfunksjon/
### Oppgavetekst
Gitt en funksjon $f$. Figuren nedenfor viser grafen til $f$, grafen til $f'$ og grafen til $f''$ i en bestem rekkefølge.
Argumenter for hvilken av grafene som er grafen til $f$, hvilken som er grafen til $f'$ og hvilken som er grafen til $f''$.
---
## V2020 del 1 oppgave 1 — Løs to likninger
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Andregradslikninger, Logaritmelikning
- **Kort beskrivelse:** Løse en andregradslikning og en logaritmelikning uten hjelpemidler.
- **Kilde:** NDLA
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/los-to-likninger/
### Oppgavetekst
Løs likningene:
a)
$$
x^2 = 2x + 8
$$
b)
$$
\lg(3x + 4) = 1
$$
---
## V2020 del 1 oppgave 2 — Forenkle eksponent- og logaritmeuttrykk
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Potensregning, Logaritmer
- **Kort beskrivelse:** Forenkle et potensuttrykk med potensregler og et logaritmeuttrykk med logaritmeregler.
- **Kilde:** NDLA
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/forenkle-eksponent-og-logaritmeuttrykk/
### Oppgavetekst
Skriv så enkelt som mulig:
a)
$$
\frac{18b^4 \cdot \left(ab^{-1}\right)^3}{\left(3ab^2\right)^3}
$$
b)
$$
\lg(2a) + \lg 5a - \lg a - \lg \frac{a}{10^3}
$$
---
## V2020 del 1 oppgave 3 — Likningssystem fra Pascals talltrekant
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Likningssystem, Pascals trekant
- **Kort beskrivelse:** Sette opp og løse et likningssystem ut fra addisjonsregelen i Pascals talltrekant.
- **Kilde:** NDLA
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/likningssystem-fra-pascals-talltrekant/
### Oppgavetekst
Figuren under viser et utsnitt av Pascals talltrekant.
Bruk opplysningene i figuren til å sette opp et likningssystem. Bestem $x$ og $y$ ved å løse likningssystemet.
---
## V2020 del 1 oppgave 5 — Bøker i sekken – kombinatorikk og sannsynlighet
- **Fag:** R1, S1
- **Eksamen:** Vår 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Kombinatorikk, Sannsynlighet, Hypergeometrisk fordeling
- **Kort beskrivelse:** Kombinasjonsberegning og hypergeometrisk sannsynlighet for å velge riktige bøker blant 8 til undervisning.
- **Kilde:** NDLA
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/boker-i-sekken-kombinatorikk-og-sannsynlighet/
### Oppgavetekst
Per har alle skolebøkene sine liggende hjemme. Han har én bok i hvert av de 8 fagene han tar. Hver dag har Per undervisning i 3 fag. Han må derfor legge 3 bøker i sekken før han går til skolen.
a) Hvor mange mulige kombinasjoner av bøker kan han legge i sekken?
En dag er Per skikkelig trøtt. Han husker ikke hvilke fag han skal ha den dagen. Han tar derfor med seg 4 av bøkene uten å se hvilke det er.
b) Hva er sannsynligheten for at han har med seg riktig bok til alle fagene den dagen?
c) Hva er sannsynligheten for at han har med seg riktig bok til minst 2 av fagene den dagen?
---
## V2020 del 1 oppgave 5 — Kostnad inntekt og overskudd
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Optimering, Økonomi
- **Kort beskrivelse:** Tolke grensekostnaden $K'(200)$ og bruke overskuddsfunksjonen til å finne maksimalt overskudd og positivt intervall.
- **Kilde:** NDLA
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kostnad-inntekt-og-overskudd/
### Oppgavetekst
En bedrift produserer og selger en vare. Kostnaden $K$ i kroner ved å produsere og selge $x$ enheter per dag er gitt ved
$$
K(x) = 0{,}4x^2 + 400x + 30000, \quad x \in \langle 0, 400]
$$
Inntekten $I$ i kroner ved salg av $x$ enheter per dag er gitt ved
$$
I(x) = -0{,}6x^2 + 800x, \quad x \in \langle 0, 400]
$$
a) Bestem $K'(200)$. Gi en praktisk tolkning av svaret.
Overskuddet $O$ i kroner er gitt ved
$$
O(x) = I(x) - K(x)
$$
b) Hvor mange enheter må bedriften produsere og selge per dag for å få størst overskudd? Hvor stort blir dette overskuddet?
c) Hvor mange enheter må bedriften produsere og selge per dag for at overskuddet skal bli positivt?
---
## V2020 del 1 oppgave 6 — Eksponentialfunksjon med graf og derivasjon
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Eksponentialfunksjon, Graftolkning, Derivasjon
- **Kort beskrivelse:** Løse eksponentiallikning grafisk og ved regning, og anslå den deriverte $g'(2)$ ved hjelp av grafen.
- **Kilde:** NDLA
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/eksponentialfunksjon-med-graf-og-derivasjon/
### Oppgavetekst
Funksjonen $g$ er gitt ved
$$
g(x) = 0{,}5 \cdot 10^{1{,}5 - 0{,}5x}
$$
På figuren nedenfor ser du grafen til $g$.
a) Løs likningen $g(x) = 0{,}5$ grafisk. Husk å forklare framgangsmåten.
b) Løs likningen $g(x) = 5$ ved regning.
c) Bruk grafen til å bestemme en tilnærmet verdi for $g'(2)$. Husk å forklare framgangsmåten.
---
## V2020 del 1 oppgave 7 — Lineær optimering av fargelagt område
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Lineær optimering, Ulikheter
- **Kort beskrivelse:** Bestemme ulikhetene for et område, maksimere $S = x + 5y$ og finne intervallet for $a$ slik at $T = x + ay$ er størst i $(6,4)$.
- **Kilde:** NDLA
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lineaer-optimering-av-fargelagt-omrade/
### Oppgavetekst
Figuren nedenfor viser et fargelagt område.
a) Bestem ulikhetene som avgrenser det fargelagte området.
La $S = x + 5y$.
b) Bestem den største verdien størrelsen $S$ kan ha dersom $(x, y)$ skal ligge i det fargelagte området.
La $T = x + a \cdot y$, der $a$ er et tall. Størrelsen $T$ skal ha størst verdi i punktet $(6, 4)$ når $(x, y)$ ligger i det fargelagte området.
c) Hvilket intervall må $a$ ligge i dersom dette skal gjelde?
---
## V2020 del 1 oppgave 8 — Andregradsfunksjon fra toppunkt og skjæring
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Andregradsfunksjon, Stasjonære punkter
- **Kort beskrivelse:** Bestemme funksjonsuttrykket til en andregradsfunksjon ut fra toppunkt og skjæring med $y$-aksen.
- **Kilde:** NDLA
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/andregradsfunksjon-fra-toppunkt-og-skjaering/
### Oppgavetekst
Om grafen til en andregradsfunksjon $f$ får du vite at den har et toppunkt i $(2, 3)$, og at den skjærer $y$-aksen i $-5$.
Bestem funksjonsuttrykket til $f$.
---
## V2020 del 2 oppgave 1 — Eksponentiell regresjon for levealder
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2020 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 7
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Regresjon, Eksponentialfunksjon, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Finne eksponentiell regresjonsmodell for levealder og bruke en gitt modell til å regne fødselsår for en bestemt levealder.
- **Kilde:** NDLA
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/eksponentiell-regresjon-for-levealder/
### Oppgavetekst
Tabellen under viser forventet levealder for kvinner i Norge født i noen utvalgte år.
| Fødselsår | 1988 | 1998 | 2008 | 2018 |
|:-----------------------|:-----:|:-----:|:-----:|:-----:|
| Forventet levealder (år) | 79,57 | 81,28 | 82,95 | 84,49 |
a) Bruk regresjon til å bestemme en eksponentiell modell $g$ for forventet levealder for kvinner i Norge født $x$ år etter 1988.
En modell $f$ for forventet levealder for menn i Norge født $x$ år etter 1988 er gitt ved
$$
f(x) = 73{,}028 \cdot 1{,}003^x
$$
b) Tegn grafen til $f$ i et koordinatsystem.
c) I hvilket år vil menn med en forventet levealder på 85 år bli født, ifølge modellen $f$?
Japanske menn har den høyeste levealderen i verden. For japanske menn født i 2015 er forventet levealder 84 år. I en eksponentiell modell er det forventet at japanske menn født i 2095 blir 89 år.
d) I hvilket år vil japanske menn med en forventet levealder på 100 år bli født, ifølge denne eksponentielle modellen?
---
## V2020 del 2 oppgave 1 — Elbilandel i Hordaland – binomisk forsøk
- **Fag:** R1, S1
- **Eksamen:** Vår 2020 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Binomisk fordeling, Sannsynlighet, Statistikk
- **Kort beskrivelse:** Modellere bilregistrering som binomisk forsøk og beregne sannsynligheter, inkludert minimum antall biler for gitt sannsynlighet.
- **Kilde:** NDLA
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/elbilandel-i-hordaland-binomisk-forsok/
### Oppgavetekst
Maria fra Bergen i Hordaland leste teksten nedenfor på nettsiden abcnyheter.no:
*På fylkesnivå er det Hordaland som leder an med en elbilandel på 12,5 prosent av personbilparken. Oslo følger hakk i hæl med 12,1 prosent og Akershus på tredjeplass med 11,5 prosent elbilandel.*
En dag bestemmer hun seg for å føre statistikk over de 100 første bilene som kjører forbi Danmarks plass i Bergen.
a) Hvilke antakelser må vi gjøre for å kunne se på dette som et binomisk forsøk?
b) Bestem sannsynligheten for at minst 15 av bilene er elbiler.
c) Hva er det minste antallet biler hun må føre statistikk over for at sannsynligheten skal være større enn 90 prosent for at minst 20 av bilene er elbiler?
---
## V2020 del 2 oppgave 2 — Lineær optimering av flatskjermproduksjon
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2020 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Lineær optimering, Ulikheter
- **Kort beskrivelse:** Sette opp ulikheter for flatskjermproduksjon, skravere området, maksimere fortjenesten og finne avdelingen med ledig kapasitet.
- **Kilde:** NDLA
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lineaer-optimering-av-flatskjermproduksjon/
### Oppgavetekst
En bedrift produserer to typer flatskjermer, type A og type B. I produksjonen er det tre avdelinger som arbeider med flatskjermene. Tabellen nedenfor viser hvor mange timer hver avdeling bruker på hver skjerm, og hvor mange timer de har tilgjengelig en gitt måned.
| | Avdeling 1 | Avdeling 2 | Avdeling 3 |
|:-----------------------------|:----------:|:----------:|:----------:|
| Timer per flatskjerm av type A | 6 | 2 | 4 |
| Timer per flatskjerm av type B | 10 | 6 | 4 |
| Timer tilgjengelig | 7800 | 4200 | 4400 |
La $x$ være antallet flatskjermer som blir produsert av type A, og $y$ antallet flatskjermer som blir produsert av type B.
a) Forklar at $x$ og $y$ må tilfredsstille ulikhetene
$$
\begin{cases} x \geq 0 & \\ y \geq 0 \\ 3x + 5y \leq 3900 \\ x + 3y \leq 2100 \\ x + y \leq 1100 \end{cases}
$$
De fem ulikhetene definerer et område i et koordinatsystem.
b) Skraver dette området.
Bedriftens fortjeneste er 7000 kroner per flatskjerm av type A og 10 000 kroner per flatskjerm av type B.
c) Hvor mange flatskjermer av hver type må bedriften produsere denne måneden for at fortjenesten skal bli størst mulig? Hva blir fortjenesten i dette tilfellet?
En av de tre avdelingene har ledig kapasitet når fortjenesten er størst mulig.
d) Hvilken avdeling er det? Hvor stor ledig kapasitet har denne avdelingen?
---
## V2020 del 2 oppgave 4 — Areal til Andorra med prosent
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2020 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Prosentregning, Likninger
- **Kort beskrivelse:** Sette opp og løse likning med prosentvise sammenhenger for å finne arealet til Andorra.
- **Kilde:** NDLA
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/areal-til-andorra-med-prosent/
### Oppgavetekst
To av landene i Europa med minst areal er Andorra og Liechtenstein. Disse to landene har et samlet areal på $628 \mathrm{~km}^2$. Et annet land er 60 prosent mindre enn Andorra og 17 prosent større enn Liechtenstein.
Hvor stort er arealet til Andorra?
---
## H2020 del 1 oppgave 1 — Løs tre likninger med eksponent og logaritme
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Likninger, Eksponentiallikning, Logaritmelikning
- **Kort beskrivelse:** Løse en andregradslikning, en eksponentiallikning med potensregler og en logaritmelikning.
- **Kilde:** NDLA
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/los-tre-likninger-med-eksponent-og-logaritme/
### Oppgavetekst
Løs likningene:
a)
$$
2(3x + 2) = 2x(x + 2) + 4
$$
b)
$$
3^x \cdot 3^2 = \frac{1}{3^5}
$$
c)
$$
\lg(3x - 2) = 2\lg x
$$
---
## H2020 del 1 oppgave 2 — Forenkling av potens- og rasjonaluttrykk
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Potensregning, Rasjonale uttrykk, Faktorisering
- **Kort beskrivelse:** Forenkle et potensuttrykk med negative eksponenter og trekke sammen et rasjonalt uttrykk med faktorisering av nevner.
- **Kilde:** NDLA
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/forenkling-av-potens-og-rasjonaluttrykk/
### Oppgavetekst
Skriv så enkelt som mulig:
a)
$$
\frac{4a^3(a^{-2}b^3)^2}{(2^{-1})^{-2}\,ab^4}
$$
b)
$$
\frac{1}{x - 1} - \frac{2x}{x^2 - 1} + 1
$$
---
## H2020 del 1 oppgave 3 — Andregradsulikhet ved fortegnsskjema
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Ulikheter, Andregradsulikhet
- **Kort beskrivelse:** Løse en andregradsulikhet ved å faktorisere og bruke fortegnsskjema.
- **Kilde:** NDLA
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/andregradsulikhet-ved-fortegnsskjema-s1-h20/
### Oppgavetekst
Løs ulikheten:
$$
x^2 - 3x + 2 \leq 0
$$
---
## H2020 del 1 oppgave 4 — Gull- og sølvmedaljer med likningssystem
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Likningssystem, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Sette opp og løse et lineært likningssystem fra antall medaljer og olympiske poeng for å finne antall gullmedaljer.
- **Kilde:** NDLA
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/gull-og-solvmedaljer-med-likningssystem/
### Oppgavetekst
I vinter-OL tok Norge til sammen 16 gull- og sølvmedaljer. En gullmedalje gir 7 olympiske poeng, og en sølvmedalje gir 5 olympiske poeng. Norge fikk til sammen 102 olympiske poeng for sine gull- og sølvmedaljer.
Bruk disse opplysningene til å bestemme hvor mange gullmedaljer Norge tok i vinter-OL i 2014.
---
## H2020 del 1 oppgave 6 — Kuler i krukke sannsynlighet for lik farge
- **Fag:** R1, S1
- **Eksamen:** Høst 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Kombinatorikk
- **Kort beskrivelse:** Beregne sannsynlighet for to kuler med lik farge ved trekking uten tilbakelegging, og bestemme minste antall røde kuler for at ulik-farge-sannsynlighet er under 50 %.
- **Kilde:** NDLA
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kuler-i-krukke-sannsynlighet-for-lik-farge/
### Oppgavetekst
Tore og Mia diskuterer hvem som skal ta oppvasken. De legger 2 røde og 2 blå kuler i en krukke og skal trekke 2 kuler tilfeldig (uten tilbakelegging) fra krukken. Mia foreslår at hun må ta oppvasken dersom de 2 kulene har lik farge, mens Tore må ta oppvasken dersom de 2 kulene har ulik farge.
a) Bestem sannsynligheten for at Mia må ta oppvasken dersom de følger dette forslaget.
Tore mener at dette er urettferdig. Han foreslår at de skal legge flere røde kuler i krukken.
b) Hvor mange røde kuler må det minst ligge i krukken dersom sannsynligheten for at de to kulene har ulik farge, er mindre enn 50 %?
---
## H2020 del 1 oppgave 6 — Rasjonal funksjon med asymptoter
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Rasjonale funksjoner, Asymptoter, Graftolkning
- **Kort beskrivelse:** Bestemme parametrene $a$, $b$ og $c$ i en rasjonal funksjon ut fra grafens asymptoter og et avlest punkt.
- **Kilde:** NDLA
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/rasjonal-funksjon-med-asymptoter/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ er gitt ved
$$
f(x) = \frac{ax + b}{x + c}
$$
der $a$, $b$ og $c$ er tre tall.
Figuren under viser grafen til $f$ sammen med asymptotene til grafen.
Bestem tallene $a$, $b$ og $c$.
---
## H2020 del 1 oppgave 7 — Lineær optimering av uttrykk i område
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Lineær optimering, Ulikheter
- **Kort beskrivelse:** Skravere et område avgrenset av tre lineære ulikheter og bestemme alle verdiene et lineæruttrykk kan få i området.
- **Kilde:** NDLA
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lineaer-optimering-av-uttrykk-i-omrade/
### Oppgavetekst
Et område $M$ er bestemt av ulikhetene
$$
\begin{aligned} -2x + 5y &\leq 8 \\ 2x + y &\geq 4 \\ 2x - y &\leq 8 \end{aligned}
$$
a) Skraver området $M$ i et koordinatsystem.
b) Bestem alle verdiene uttrykket $-2x + 3y$ kan få dersom $(x, y)$ skal ligge i $M$.
---
## H2020 del 1 oppgave 8 — Kubisk funksjon med parallelle tangenter
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Vekstfart, Tangent
- **Kort beskrivelse:** Beregne gjennomsnittlig vekstfart og momentan vekstfart, og finne punktene der tangentene har et gitt stigningstall.
- **Kilde:** NDLA
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kubisk-funksjon-med-parallelle-tangenter/
### Oppgavetekst
En funksjon $g$ er gitt ved
$$
g(x) = x^3 - \frac{3}{2}x^2
$$
a) Bestem den gjennomsnittlige vekstfarten til $g$ i intervallet $\left[\dfrac{3}{2}, 2\right]$.
b) Bestem $g'(2)$.
Grafen til $g$ har to tangenter med stigningstall lik $g'(2)$. Disse to tangentene tangerer grafen i henholdsvis punkt $A$ og punkt $B$.
c) Bestem koordinatene $A$ og $B$.
---
## H2020 del 1 oppgave 9 — Sylinder av rektangel med maksimalt volum
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2020 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 9
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Optimering, Derivasjon, Geometri
- **Kort beskrivelse:** Utlede volumfunksjonen for en sylinder formet av et rektangel med fast omkrets og maksimere volumet ved derivasjon.
- **Kilde:** NDLA
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sylinder-av-rektangel-med-maksimalt-volum/
### Oppgavetekst
Et rektangel har en omkrets på 96 cm. Sett sidene i rektangelet til å være $x$ cm og $y$ cm. Rektangelet skal formes til en sylinder med høyde $y$ cm, slik figuren under viser.
a) Forklar at $y = 48 - x$
b) Vis at volumet av sylinderen kan uttrykkes som
$$
V(x) = \frac{1}{4\pi}(48x^2 - x^3)
$$
c) Bestem $x$ slik at volumet av sylinderen blir størst mulig.
---
## H2020 del 2 oppgave 1 — Soldager på Gran Canaria og binomisk fordeling
- **Fag:** R1, S1
- **Eksamen:** Høst 2020 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Binomisk fordeling, Sannsynlighet
- **Kort beskrivelse:** Forklare binomisk beregning av sannsynlighet for 14 soldager, og bruke binomisk fordeling til å beregne sannsynligheter for flerårlig ferieplass og krav til minimum soldager.
- **Kilde:** NDLA
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/soldager-pa-gran-canaria-og-binomisk-fordeling/
### Oppgavetekst
Agnete planlegger en 14 dagers ferietur til sørkysten av Gran Canaria. Der er det i gjennomsnitt 300 soldager i året.
Hun har gjort noen beregninger og funnet ut at sannsynligheten for at alle de 14 dagene blir soldager, er $6{,}4\,\%$.
a) Forklar hvordan hun kan ha kommet fram til dette resultatet. Hvilke forutsetninger ligger til grunn for beregningene?
En familie vurderer å reise på en 14 dagers tur til sørkysten av Gran Canaria hvert år de neste 8 årene.
b) Bestem sannsynligheten for at de opplever bare soldager på minst 2 av disse 8 framtidige feriereisene. Vi forutsetter at antall soldager i året ikke endrer seg i løpet av disse åtte årene.
Ole planlegger en 4 ukers ferietur til et annet sted i verden. Et reisebyrå oppgir at sannsynligheten for minst 22 soldager på dette feriestedet i løpet av en tilfeldig fireukersperiode er minst 90 %.
c) Hvor mange soldager i året må det minst være i gjennomsnitt på dette stedet for at påstanden fra reisebyrået skal være sann?
---
## H2020 del 2 oppgave 2 — Eksponentiell regresjon for avskoging
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2020 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 10
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Regresjon, Eksponentialfunksjon, Potensfunksjon, Derivasjon
- **Kort beskrivelse:** Finne eksponentiell modell ved regresjon og analysere en potensmodell med graftegning, derivasjon og tolkning av vekstfart.
- **Kilde:** NDLA
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/eksponentiell-regresjon-for-avskoging/
### Oppgavetekst
Tabellen nedenfor viser hvor stor avskogingen i Amazonas har vært i noen gitte år.
| År | 2012 | 2014 | 2016 | 2019 |
|:-----------------------------:|:----:|:----:|:----:|:----:|
| Avskoging ($\text{km}^2$) | 4571 | 5012 | 7893 | 9762 |
a) Bruk regresjon til å bestemme en eksponentiell modell $g$ for avskogingen i Amazonas $x$ år etter 2011.
Det er laget en annen modell $f$ for avskogingen i Amazonas (målt i $\text{km}^2$) som har gyldighet fra år 2020. Modellen er
$$
f(x) = 2450 \cdot x^{0{,}68}, \quad x \geq 9
$$
Her er $x$ antall år etter 2011.
b) Tegn grafen til $f$ for $x \in [9, 39]$.
c) I hvilket år vil avskogingen per år for første gang være mer enn dobbelt så stor som avskogingen var i 2016, ifølge modellen $f$?
d) Bestem $f'(10)$. Gi en praktisk tolkning av svaret.
Myndighetene vil redusere vekstfarten i avskogingen med 3 % fra 2021 til 2022.
e) Gjør beregninger, og vurder om modellen $f$ stemmer med dette.
---
## H2020 del 2 oppgave 3 — Lineær optimering med marsipanproduksjon
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2020 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Lineær optimering, Ulikheter, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Sette opp ulikheter for ressursbruk, skravere mulighetsområdet og maksimere fortjenesten i et lineært programmeringsproblem.
- **Kilde:** NDLA
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lineaer-optimering-med-marsipanproduksjon/
### Oppgavetekst
Marsipan inneholder melis, mandler og eggehvite. Et konditori lager to typer marsipanpølser, type A og type B. Begge veier 500 gram.
Type A inneholder 50 % melis, 45 % mandler og 5 % eggehvite.
Type B inneholder 20 % melis, 70 % mandler og 10 % eggehvite.
Konditoriet har hver dag tilgang på
- 60 kg melis
- 88,2 kg mandler
- 12 kg eggehvite
La $x$ og $y$ være antall marsipanpølser konditoriet produserer hver dag av henholdsvis type A og type B.
a) Forklar at $x$ og $y$ må tilfredsstille ulikhetene
$$
\begin{aligned} x &\geq 0 \\ y &\geq 0 \\ 2{,}5x + y &\leq 600 \\ 2{,}25x + 3{,}5y &\leq 882 \\ x + 2y &\leq 480 \end{aligned}
$$
b) Skraver området som er avgrenset av ulikhetene i oppgave a).
Konditoriet har en fortjeneste på 20 kroner per marsipanpølse av type A og 15 kroner per marsipanpølse av type B.
c) Hvor mange enheter av hver type må konditoriet hver dag produsere for å maksimere fortjenesten sin? Hva blir fortjenesten da?
En uke har konditoriet høyt sykefravær. Denne uken klarer de bare å produsere til sammen 250 marsipanpølser per dag.
d) Hva er den største fortjenesten de kan få per dag denne uken?
---
## V2019 del 1 oppgave 1 — Likninger med eksponent, andregrad og logaritme
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Eksponentiallikning, Andregradslikninger, Logaritmelikning
- **Kort beskrivelse:** Løse en eksponentiallikning, en andregradslikning og en logaritmelikning uten hjelpemidler.
- **Kilde:** NDLA
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/likninger-med-eksponent-andregrad-og-logaritme/
### Oppgavetekst
Løs likningene
a)
$$
3^{x-5} = 81
$$
b)
$$
x^2 - 7x + 10 = 0
$$
c)
$$
\lg(x + 3) - \lg x = 1
$$
---
## V2019 del 1 oppgave 2 — Forenkling med potenser, brøk og logaritmer
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Potensregning, Brøk, Logaritmer
- **Kort beskrivelse:** Forenkle et potensuttrykk, et sammensatt brøkuttrykk og et uttrykk med logaritmeregler.
- **Kilde:** NDLA
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/forenkling-med-potenser-brok-og-logaritmer/
### Oppgavetekst
Skriv så enkelt som mulig
a)
$$
\dfrac{16^2 \cdot 27^3}{72^2 \cdot 12}
$$
b)
$$
\dfrac{x-2}{x-1} - \dfrac{x}{x+1} - \dfrac{2x}{x^2-1}
$$
c)
$$
\lg\left(\dfrac{2}{x^2}\right) + \lg\left(2x^2\right) + \lg x - \lg(4x)
$$
---
## V2019 del 1 oppgave 3 — Likningssystem med andregradslikning
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Likningssystem, Andregradslikninger
- **Kort beskrivelse:** Løse et likningssystem av en andregradslikning og en lineær likning ved innsettingsmetoden.
- **Kilde:** NDLA
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/likningssystem-med-andregradslikning-s1-v19/
### Oppgavetekst
Løs likningssystemet
$$
\begin{cases} x^2 + 2y = 13x & \\ 3x - y = -5 \end{cases}
$$
---
## V2019 del 1 oppgave 4 — Brus og pølser likningssystem
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Likningssystem, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Sette opp et lineært likningssystem fra to handlesituasjoner og løse det for prisen på brus og pølse.
- **Kilde:** NDLA
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/brus-og-polser-likningssystem/
### Oppgavetekst
Pål og vennene hans pleier hver fredag å kjøpe brus og pølser i kiosken på hjørnet. En fredag kjøpte de til sammen 6 flasker brus og 4 pølser. Det kostet 170 kroner. Neste fredag kjøpte de 5 flasker brus og 10 pølser. Det kostet 275 kroner.
a) Sett opp et likningssystem som passer med situasjonen ovenfor.
b) Bestem prisen for én brus og prisen for én pølse.
---
## V2019 del 1 oppgave 5 — Kombinatorikk med kjønn i finale
- **Fag:** R1, S1
- **Eksamen:** Vår 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Kombinatorikk, Sannsynlighet
- **Kort beskrivelse:** Telle antall grupper med kombinasjoner og antall grupper med flest kvinner, med hypergeometrisk tankegang.
- **Kilde:** NDLA
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kombinatorikk-med-kjonn-i-finale/
### Oppgavetekst
I TV-programmet «Mesternes mester» er det 10 deltakere. Det er 5 kvinner og 5 menn. Deltakerne konkurrerer mot hverandre og blir slått ut én etter én. Til slutt er det tre deltakere igjen. Disse tre er i finalen.
a) Hvor mange ulike grupper på tre deltakere kan komme til finalen?
b) Hvor mange av gruppene du fant i oppgave a\), inneholder flere kvinner enn menn?
---
## V2019 del 1 oppgave 5 — Tredjegradsfunksjon med positivt stigningstall
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Momentan vekstfart, Argumentasjon
- **Kort beskrivelse:** Tolke den deriverte, argumentere for at alle tangenter har positivt stigningstall, og finne x-verdier med gitt momentan vekstfart.
- **Kilde:** NDLA
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tredjegradsfunksjon-med-positivt-stigningstall/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ er gitt ved
$$
f(x) = x^3 + 3x
$$
a) Bestem $f'(1)$. Hva forteller dette tallet deg?
b) Begrunn at grafen til $f$ kun har tangenter med positivt stigningstall.
Funksjonen $f$ har momentan vekstfart lik 15 for to $x$-verdier.
c) Bestem disse $x$-verdiene.
---
## V2019 del 1 oppgave 7 — Lineært programmeringsområde fra graf
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Lineær optimering, Ulikheter, Graftolkning
- **Kort beskrivelse:** Lese av ulikheter fra et avgrenset område og optimere lineære størrelser, blant annet finne minste tillatte stigningstall.
- **Kilde:** NDLA
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lineaert-programmeringsomrade-fra-graf/
### Oppgavetekst
Figuren nedenfor viser et blått område som er avgrenset av lineære ulikheter.
a) Bestem ulikhetene som avgrenser området.
b) Bestem den største verdien størrelsen $3x + y$ kan ha når $(x, y)$ ligger i det blå området.
En størrelse $y - ax$ skal ha størst verdi i punktet $(0, 2)$ når $(x, y)$ ligger i det blå området.
c) Bestem den minste verdien tallet $a$ kan ha da.
---
## V2019 del 1 oppgave 8 — Areal av figur satt sammen av kvadrater
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Areal og omkrets, Optimering, Andregradsfunksjon
- **Kort beskrivelse:** Vise en arealmodell fra en figur av tre kvadrater med gitt omkrets og finne sidene som gir minst mulig samlet areal.
- **Kilde:** NDLA
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/areal-av-figur-satt-sammen-av-kvadrater/
### Oppgavetekst
Figuren nedenfor et satt sammen av tre kvadrater. To av kvadratene er like store. Omkretsen av hele figuren er 12.
a) Vis at det samlede arealet $A$ av figuren er gitt ved
$$
A(x) = 6x^2 - 12x + 9
$$
b) Bestem $x$ og $y$ slik at det samlede arealet av figuren blir minst mulig.
---
## V2019 del 2 oppgave 1 — Lineær optimering for bakermester
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2019 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Lineær optimering, Ulikheter, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Sette opp ulikheter fra ressursbegrensninger, skravere området og maksimere fortjenesten, også med en ekstra produksjonsgrense.
- **Kilde:** NDLA
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lineaer-optimering-for-bakermester/
### Oppgavetekst
På grunn av streik har bakermester Snipp begrenset tilgang på råvarer. En dag har han til rådighet
- 50 kg mel
- 7 kg sukker
- 8,5 kg smør
Han lager kaker av type A og B. Tabellen nedenfor viser ingrediensene i én kake for hver av de to kaketypene.
| Kaketype | Mel | Sukker | Smør |
|:--------:|:------:|:------:|:------:|
| A | 300 g | 100 g | 125 g |
| B | 500 g | 50 g | 50 g |
La $x$ være antall kaker han baker av type A, og $y$ antall kaker han baker av type B, denne dagen.
a) Forklar at $x$ og $y$ må tilfredsstille ulikhetene
$$
\begin{cases} x \geq 0 & \\ y \geq 0 \\ 3x + 5y \leq 500 \\ 2x + y \leq 140 \\ 5x + 2y \leq 340 \end{cases}
$$
b) Skraver i et koordinatsystem området som er avgrenset av ulikhetene.
Bakermester Snipp har en fortjeneste på 160 kroner per kake for kaker av type A og 120 kroner per kake for kaker av type B.
c) Hvor mange kaker av hver type må han bake for at fortjenesten skal bli størst mulig? Hva blir fortjenesten da?
En dag er en av ovnene han bruker til å steke kaker av type B i, i ustand. Dette gjør at han høyst kan lage 70 kaker av type B denne dagen.
d) Hvor mange kaker av hver type må han bake denne dagen for at fortjenesten skal bli størst mulig?
---
## V2019 del 2 oppgave 2 — Eksponentiell etterspørsel for luer
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2019 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Regresjon, Eksponentialfunksjon, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Finne eksponentiell etterspørselsmodell ved regresjon og bruke en gitt modell til å finne pris for gitt antall solgte og gitt omsetning.
- **Kilde:** NDLA
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/eksponentiell-ettersporsel-for-luer/
### Oppgavetekst
En bedrift produserer luer. Bedriften har kartlagt den årlige etterspørselen i en by med 20 000 innbyggere, det vil si hvor mange luer de kan få solgt per år i denne byen. Etterspørselen avhenger av prisen. Tabellen nedenfor viser resultatet av kartleggingen.
| Pris per lue ($x$ kroner) | 100 | 150 | 200 | 250 | 300 |
|:-----------------------------------|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|
| Årlig etterspørsel ($Q$ enheter) | 850 | 660 | 490 | 370 | 280 |
a) Bruk regresjon til å bestemme den funksjonen av typen $Q(x) = a \cdot b^x$ som passer best med tallene i tabellen.
I resten av oppgaven går vi ut fra at $E$ gitt ved
$$
E(x) = 1500 \cdot 0{,}995^x
$$
er en god modell for den årlige etterspørselen når prisen $x$ er mellom 50 og 500 kroner.
b) Bruk graftegner til å tegne grafen til $E$ for $50 \leq x \leq 500$.
c) Hva må prisen per lue være dersom bedriften skal kunne regne med å selge mer enn 1000 luer per år i denne byen?
Bedriften har et ønske om å selge luer for til sammen 100 000 kroner i løpet av ett år.
d) Hvilken pris bør de da sette for en lue?
---
## V2019 del 2 oppgave 3 — Kinobillettlotteri med tre vinnere
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2019 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Hypergeometrisk fordeling, Binomisk fordeling, Sannsynlighet
- **Kort beskrivelse:** Vise sannsynlighet med hypergeometrisk fordeling og bruke binomisk fordeling og komplementmetoden på gjentatte lotterier over et år.
- **Kilde:** NDLA
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kinobillettlotteri-med-tre-vinnere/
### Oppgavetekst
På en arbeidsplass er det tolv kvinner og åtte menn. Hver måned arrangerer de et lotteri. Det foregår på den måten at alle legger én lapp med navnet sitt på i en eske. De trekker så ut tre tilfeldige lapper fra esken. Lappene legges ikke tilbake mellom hver gang de trekker. De tre som blir trukket ut, vinner en kinobillett hver.
a) Vis at sannsynligheten er $p \approx 0{,}2947$ for at nøyaktig to av de tre vinnerne er menn.
I løpet av et år arrangerer de tolv slike lotterier.
b) Bestem sannsynligheten for at nøyaktig to av vinnerne er menn i seks av de tolv lotteriene.
c) Bestem sannsynligheten for at flertallet av vinnerne er kvinner i minst halvparten av lotteriene.
d) Bestem sannsynligheten for at de tre vinnerne har samme kjønn i minst ett av de tolv lotteriene.
---
## H2019 del 1 oppgave 1 — Andregradslikning og logaritmelikning
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Andregradslikninger, Logaritmelikning
- **Kort beskrivelse:** Løse en andregradslikning og en logaritmelikning av typen $\lg(5-2x)=1$.
- **Kilde:** NDLA
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/andregradslikning-og-logaritmelikning/
### Oppgavetekst
Løs likningene:
a)
$$
x^2 + 4x - 12 = 0
$$
b)
$$
\lg(5 - 2x) = 1
$$
---
## H2019 del 1 oppgave 2 — Andregradsulikhet uten hjelpemidler
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Andregradsulikhet, Fortegnslinje
- **Kort beskrivelse:** Løse en andregradsulikhet av typen $x^2-2x<0$ med faktorisering og fortegnsskjema.
- **Kilde:** NDLA
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/andregradsulikhet-uten-hjelpemidler-s1-h19/
### Oppgavetekst
Løs ulikheten:
$$
x^2 - 2x < 0
$$
---
## H2019 del 1 oppgave 3 — Likningssystem med andregrad
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Likningssystem, Andregradslikninger
- **Kort beskrivelse:** Løse et likningssystem der den ene likningen er av andre grad ved innsetting.
- **Kilde:** NDLA
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/likningssystem-med-andregrad/
### Oppgavetekst
Løs likningssystemet:
$$
\begin{cases} x^2 + 4y = 4x & \\ 4x - 2y = 6 \end{cases}
$$
---
## H2019 del 1 oppgave 4 — Forenkling av algebraiske uttrykk
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Algebra, Rasjonale uttrykk, Logaritmer
- **Kort beskrivelse:** Forenkle et polynomuttrykk, en sum av rasjonale uttrykk med felles nevner og et logaritmeuttrykk.
- **Kilde:** NDLA
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/forenkling-av-algebraiske-uttrykk-s1-h19/
### Oppgavetekst
Skriv så enkelt som mulig:
a)
$$
(a + 2)^3 - a \cdot (a + 2)^2
$$
b)
$$
\frac{x + 1}{x + 2} - \frac{x + 1}{x - 1} - \frac{x + 5}{x^2 + x - 2}
$$
c)
$$
2\lg(2x^2) + \lg\left(\frac{5}{x}\right) - \lg(2x^3)
$$
---
## H2019 del 1 oppgave 5 — Komité fra to klasser kombinatorikk
- **Fag:** R1, S1
- **Eksamen:** Høst 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Kombinatorikk, Sannsynlighet, Hypergeometrisk fordeling
- **Kort beskrivelse:** Kombinatorikk med utvalg fra to klasser og sannsynlighetsberegning for spesifikke utfall.
- **Kilde:** NDLA
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/komite-fra-to-klasser-kombinatorikk/
### Oppgavetekst
I en R1-gruppe kommer 7 elever fra klasse A og 5 elever fra klasse B. Blant disse 12 elevene skal det velges tilfeldig en komité som skal bestå av 3 elever fra klasse A og 2 elever fra klasse B.
a) Hvor mange slike komiteer er det mulig å sette sammen?
Anne og Jens er elever i R1-gruppen. Anne går i klasse A, og Jens går i klasse B.
b) Bestem sannsynligheten for at både Anne og Jens blir med i komiteen.
c) Bestem sannsynligheten for at bare én av dem blir med i komiteen.
---
## H2019 del 1 oppgave 6 — Pascals talltrekant utfylling
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Pascals trekant, Kombinatorikk
- **Kort beskrivelse:** Fylle inn fire manglende tall i et utsnitt av Pascals talltrekant.
- **Kilde:** NDLA
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/pascals-talltrekant-utfylling/
### Oppgavetekst
Nedenfor ser du et utsnitt av Pascals talltrekant.
| | | | | | |
|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|
| ☐ | 11 | ☐ | ☐ | 330 | 462 |
| ☐ | 12 | 66 | 220 | 495 | 792 |
Skriv av tallene, og fyll inn de fire tallene som mangler.
---
## H2019 del 1 oppgave 7 — U-hjelp skolegang og barnehjemsplasser
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Likningssystem, Tekstoppgave
- **Kort beskrivelse:** Sette opp og løse et lineært likningssystem fra en tekst om kostnad per skoleplass og barnehjemsplass.
- **Kilde:** NDLA
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/u-hjelp-skolegang-og-barnehjemsplasser/
### Oppgavetekst
En organisasjon driver u-hjelp. Familien til Kari gir penger til organisasjonen. Pengene går til skolegang og barnehjemsplasser for barn.
En måned ga familien 700 kroner. Dette finansierte skolegang for to barn i én måned og barnehjemsplass for ett barn i én måned.
En annen måned ga de 1700 kroner. Dette finansierte skolegang for fire barn i én måned og barnehjemsplass for tre barn i én måned.
Klassen til Kari bestemmer seg for å støtte organisasjonen slik at 20 barn får skolegang og 20 barn får barnehjemsplass.
Hvor mye penger må de samle inn hver måned?
---
## H2019 del 1 oppgave 8 — Grensekostnad overskudd og inntekt
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 7
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Kostnadsfunksjon, Derivasjon, Overskudd, Optimering
- **Kort beskrivelse:** Tolke grensekostnad, finne produksjonsmengde for størst overskudd og bestemme en konstant i inntektsfunksjonen.
- **Kilde:** NDLA
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/grensekostnad-overskudd-og-inntekt/
### Oppgavetekst
En bedrift produserer og selger en vare. De totale kostnadene $K$ (i kroner) ved produksjon og salg av $x$ enheter per dag er gitt ved
$$
K(x) = 0{,}2x^2 + 50x + 2000 \quad , \quad 0 \leq x \leq 400
$$
a) Bestem $K'(100)$. Hva forteller denne verdien oss?
Overskuddet $O$ (i kroner) ved produksjon og salg av $x$ enheter per dag er gitt ved
$$
O(x) = -0{,}3x^2 + 90x - 2000 \quad , \quad 0 \leq x \leq 400
$$
b) Bestem den produksjonsmengden som gir størst overskudd.
c) Bestem inntekten ved produksjon og salg av 100 enheter per dag.
Tøffere konkurranse gjør at inntektene til bedriften endrer seg. Inntekten $I$ (i kroner) ved produksjon og salg av $x$ enheter per dag vil nå være gitt ved
$$
I(x) = -0{,}1x^2 + a \cdot x
$$
der $a$ er en konstant.
For en verdi av $a$ får bedriften størst overskudd når de produserer og selger 100 enheter per dag.
d) Bestem denne verdien til $a$.
---
## H2019 del 1 oppgave 9 — Lineær optimering av gavepakker
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2019 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 9
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Lineær optimering, Ulikheter
- **Kort beskrivelse:** Begrunne et fargelagt mulighetsområde ut fra ressursbegrensninger og finne maksimalt antall gavepakker.
- **Kilde:** NDLA
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lineaer-optimering-av-gavepakker/
### Oppgavetekst
Før jul bestemmer klassen til Kari seg for å lage gavepakker til barnehjemmet de støtter. De har kjøpt inn 70 esker med fargestifter, 72 sprettballer og 60 hoppestrikker.
De ønsker å lage to typer gavepakker.
- Pakke A skal inneholde 3 esker med fargestifter, 2 sprettballer og 2 hoppestrikker.
- Pakke B skal inneholde 2 esker med fargestifter, 4 sprettballer og 3 hoppestrikker.
La $x$ være antall gavepakker av type A og $y$ antall gavepakker av type B som de kan lage.
a) Forklar at de mulige verdiene for $x$ og $y$ må ligge i det fargede området nedenfor.
b) Hva er det maksimale antallet gavepakker de til sammen kan lage av type A og B?
---
## H2019 del 2 oppgave 1 — Regresjon for folketallet i Oslo
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2019 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Regresjon, Eksponentialfunksjon, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Lage regresjonsmodell for folketall, tegne en eksponentiell modell og regne ut nødvendig vekstfart for å nå et måltall.
- **Kilde:** NDLA
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/regresjon-for-folketallet-i-oslo/
### Oppgavetekst
Tabellen nedenfor viser folketallet i Oslo 1. januar i perioden $2012$–$2017$.
| År | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 |
|:------------------:|:-----:|:-----:|:-----:|:-----:|:-----:|:-----:|
| Folketallet i tusen | 613,3 | 624,0 | 634,4 | 647,7 | 658,4 | 666,8 |
a) Bruk regresjon til å bestemme en god modell $g$ for folketallet i Oslo etter 1. januar 2012. La $x$ være antall år etter 1. januar 2012.
En modell $f$ for folketallet (i tusen) i Oslo $x$ år etter 1. januar 2018 er gitt ved
$$
f(x) = 678 \cdot 1{,}015^x
$$
b) Bruk en graftegner til å tegne grafen til $f$.
c) Hvor mange år går det før folketallet i Oslo passerer 1 million, ifølge modellen $f$?
1. januar 2018 var folketallet i Stockholm 961 609. Vi tenker oss at byen får en prosentvis vekst i folketallet på $p$ prosent per år fra og med 2018.
I Oslo tenker vi oss at folketallet følger modellen $f$ ovenfor.
d) Hva må $p$ være dersom Oslo skal ha samme folketall som Stockholm i januar 2050?
---
## H2019 del 2 oppgave 2 — Elbiler og bensinbiler med CAS
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2019 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Likningssystem, CAS, Prosentregning
- **Kort beskrivelse:** Sette opp et likningssystem med prosentvis endring og løse det med CAS for antall solgte elbiler og bensinbiler.
- **Kilde:** NDLA
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/elbiler-og-bensinbiler-med-cas/
### Oppgavetekst
En bilforhandler selger elbiler og bensinbiler. I $2017$ solgte han til sammen $60$ biler. Året etter økte salget av elbiler med 40 prosent, mens salget av bensinbiler falt med 15 prosent. Han solgte til sammen 62 biler i 2018.
Sett opp et likningssystem, og bruk CAS til å finne antall elbiler og bensinbiler som forhandleren solgte i 2018.
---
## H2019 del 2 oppgave 3 — Skiskyting og binomisk fordeling
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2019 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Binomisk fordeling, Sannsynlighet
- **Kort beskrivelse:** Beregne binomiske sannsynligheter for treff i skiskyting fra to skytestillinger med ulik treffsannsynlighet.
- **Kilde:** NDLA
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/skiskyting-og-binomisk-fordeling/
### Oppgavetekst
I skiskyting skytes det på blink fra stående og liggende stilling. Jonas er skiskytter.
- Sannsynligheten for at han treffer blink på et skudd fra stående stilling, er 84 prosent.
- Sannsynligheten for at han treffer blink på et skudd fra liggende stilling, er 90 prosent.
Vi antar i denne oppgaven at sannsynligheten for at han treffer blink på et skudd, ikke påvirker sannsynligheten for at han treffer blink på det neste skuddet.
I en konkurranse skal han først skyte 10 skudd fra liggende stilling og deretter 10 skudd fra stående stilling.
a) Bestem sannsynligheten for at han treffer blink på minst 8 av de 10 skuddene fra liggende stilling.
b) Bestem sannsynligheten for at Jonas treffer blink på nøyaktig 9 skudd fra liggende stilling og nøyaktig 8 skudd fra stående stilling.
c) Bestem sannsynligheten for at han treffer blink på minst $19$ av de $20$ skuddene.
---
## H2019 del 2 oppgave 4 — Tredjegradsfunksjon med parallelle tangenter
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2019 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 7
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Tangent, Tredjegradsfunksjon
- **Kort beskrivelse:** Tegne en tredjegradsfunksjon, finne punkter med vannrett tangent, bestemme tangenter parallelle med en gitt linje og en parameter for kun én vannrett tangent.
- **Kilde:** NDLA
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tredjegradsfunksjon-med-parallelle-tangenter-s1-h19/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ er gitt ved
$$
f(x) = x^3 - 3x
$$
a) Bruk en graftegner til å tegne grafen til $f$.
I to punkter $A$ og $B$ på grafen til $f$ er tangenten parallell med $x$-aksen.
b) Bestem koordinatene til $A$ og $B$.
Grafen til $f$ har to tangenter som er parallelle med linja gitt ved
$$
y = 9x + 4
$$
c) Bestem likningen for hver av de to tangentene.
Funksjonen $g$ er gitt ved
$$
g(x) = a \cdot x^3 + b \cdot x^2 + b^2 \cdot x
$$
der $a$ og $b$ er konstanter og $a \neq 0$ og $b \neq 0$.
d) Bestem $a$ slik at grafen til $g$ bare har én tangent som er parallell med $x$-aksen.
---
## V2018 del 1 oppgave 1 — Likninger med logaritme og eksponent
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2018 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Andregradslikninger, Logaritmelikning, Eksponentiallikning
- **Kort beskrivelse:** Løse en andregradslikning, en logaritmelikning og en eksponentiallikning uten hjelpemidler.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/likninger-med-logaritme-og-eksponent/
### Oppgavetekst
Løs likningene
a)
$$
2x^2 - 5x + 1 = x - 3
$$
b)
$$
2\lg(x + 7) = 4
$$
c)
$$
3 \cdot 2^{3x+2} = 12 \cdot 2^6
$$
---
## V2018 del 1 oppgave 2 — Likningssystem med andregradslikning
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2018 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Likningssystem, Andregradslikninger
- **Kort beskrivelse:** Løse et likningssystem med én lineær og én andregradslikning ved innsetting.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/likningssystem-med-andregradslikning/
### Oppgavetekst
Løs likningssystemet
$$
\begin{cases} x^2 + 3y = 7 & \\ 3x - y = 1 \end{cases}
$$
---
## V2018 del 1 oppgave 3 — Forenkling av algebra logaritme og brøk
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2018 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Algebra, Logaritmer, Rasjonale uttrykk
- **Kort beskrivelse:** Forenkle et kvadratuttrykk, et logaritmeuttrykk og en sum av rasjonale uttrykk.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/forenkling-av-algebra-logaritme-og-brok/
### Oppgavetekst
Skriv så enkelt som mulig
a)
$$
(2x - 3)^2 - 2x(2x - 6)
$$
b)
$$
\lg(2a) + \lg(4a) + \lg(8a) - \lg(16a)
$$
c)
$$
\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} - \dfrac{a - b}{ab}
$$
---
## V2018 del 1 oppgave 4 — Andregradsulikhet med fortegnsskjema
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2018 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Andregradsulikhet
- **Kort beskrivelse:** Løse en andregradsulikhet ved faktorisering og fortegnsskjema.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/andregradsulikhet-med-fortegnsskjema/
### Oppgavetekst
Løs ulikheten
$$
x^2 - 3x + 2 \geq 0
$$
---
## V2018 del 1 oppgave 5 — Pascals trekant og trekking av kuler
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2018 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Pascals trekant, Hypergeometrisk fordeling, Sannsynlighet
- **Kort beskrivelse:** Skrive opp Pascals talltrekant og beregne sannsynligheter ved trekking av kuler uten tilbakelegging.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/pascals-trekant-og-trekking-av-kuler/
### Oppgavetekst
a) Skriv ned de åtte første radene i Pascals talltrekant.
I en eske ligger det 3 røde og 4 blå kuler. Tenk deg at du skal trekke tilfeldig 3 kuler uten tilbakelegging.
b) Bestem sannsynligheten for at du trekker tre blå kuler.
c) Bestem sannsynligheten for at det er både røde og blå kuler blant de tre kulene du trekker.
I oppgaven kan du få bruk for disse formlene:
Binomisk fordeling:
$$
P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n-k}
$$
Antall uavhengige forsøk er $n$. $X$ er antall ganger $A$ inntreffer. $P(A) = p$ i hvert forsøk.
Hypergeometrisk fordeling:
$$
P(X = k) = \frac{\binom{m}{k} \cdot \binom{n-m}{r-k}}{\binom{n}{r}}
$$
$m$ elementer i $D$. $n - m$ elementer i $\bar{D}$. $r$ elementer trekkes tilfeldig. $X$ er antall elementer som trekkes fra $D$.
---
## V2018 del 1 oppgave 6 — Skravering av lineært ulikhetsområde
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2018 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Lineær optimering, Ulikheter
- **Kort beskrivelse:** Skravere området i et koordinatsystem som er avgrenset av fire lineære ulikheter.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/skravering-av-lineaert-ulikhetsomrade/
### Oppgavetekst
Skraver området som er avgrenset av ulikhetene nedenfor, i et koordinatsystem.
$$
\begin{aligned} x &\geq 0 \\ y &\leq 8 \\ x + y &\leq 10 \\ 3x - 2y &\leq -2 \end{aligned}
$$
---
## V2018 del 1 oppgave 7 — Rasjonal funksjon med skisse og likning
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2018 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Rasjonale funksjoner, Asymptoter, Likninger
- **Kort beskrivelse:** Skissere grafen til en rasjonal funksjon med asymptoter og løse en likning der den settes lik et lineært uttrykk.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/rasjonal-funksjon-med-skisse-og-likning/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ er gitt ved
$$
f(x) = \frac{2x - 1}{x + 2} \quad , \quad x \neq -2
$$
a) Lag en skisse av grafen til $f$.
b) Løs likningen $f(x) = x - 2$.
---
## V2018 del 1 oppgave 8 — Tredjegradsfunksjon med vekstfart og tangent
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2018 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 7
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Funksjonsdrøfting, Vekstfart
- **Kort beskrivelse:** Derivere en tredjegradsfunksjon, finne topp-/bunnpunkt, gjennomsnittlig vekstfart og punkter med gitt momentan vekstfart.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tredjegradsfunksjon-med-vekstfart-og-tangent/
### Oppgavetekst
Funksjonen $g$ er gitt ved
$$
g(x) = 2x^3 + 3x^2 - 12x
$$
a) Bestem $g'(x)$.
b) Bestem toppunktet og bunnpunktet på grafen til $g$.
c) Bestem den gjennomsnittlige vekstfarten til $g$ i intervallet $[0, 2]$.
d) Bestem de punktene på grafen der den momentane vekstfarten er $24$.
---
## V2018 del 1 oppgave 9 — Fortegnslinje og grafskisse
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2018 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 9
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Fortegnslinje, Derivasjon, Graftegning
- **Kort beskrivelse:** Bruke fortegnslinjen til den deriverte til å bestemme stigning og synking og skissere en mulig graf.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/fortegnslinje-og-grafskisse/
### Oppgavetekst
Nedenfor ser du fortegnslinjen til $f'(x)$, for en funksjon $f$.
a) Bruk fortegnslinjen til å bestemme hvor grafen til $f$ stiger, og hvor den synker.
b) Lag en skisse som viser hvordan grafen til $f$ kan se ut.
---
## V2018 del 2 oppgave 1 — Fiskehandlerens priser med likningssystem
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2018 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Likningssystem, CAS, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Sette opp og løse et lineært likningssystem med CAS for å finne kilopris på torsk og sei.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/fiskehandlerens-priser-med-likningssystem/
### Oppgavetekst
Einar er fiskehandler. Han selger torsk og sei. En dag solgte han 110 kg torsk og 200 kg sei. Han fikk 6795 kroner. Dagen etter solgte han 150 kg torsk og 230 kg sei. For dette fikk han 8390 kroner.
Sett opp et likningssystem, og bruk CAS til å bestemme hvilken pris Einar fikk per kilogram for torsken, og hvilken pris han fikk per kilogram for seien.
---
## V2018 del 2 oppgave 3 — Binomisk fordeling og flyoverbooking
- **Fag:** R1, S1
- **Eksamen:** Vår 2018 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Binomisk fordeling, Sannsynlighet
- **Kort beskrivelse:** Vurdere forutsetninger for binomisk modell, beregne $P(X \leq 116)$ ved 122 solgte billetter og finne maksimalt antall billetter ved kravet $P(X \leq 116) \geq 0{,}95$.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/binomisk-fordeling-og-flyoverbooking/
### Oppgavetekst
Et flyselskap har en flyrute mellom Oslo og Bergen. Flyene som brukes, har plass til 116 passasjerer. Sannsynligheten for at en passasjer som har kjøpt billett, ikke møter til flyavgang, er 6 %.
Vi lar $X$ være antall passasjerer som møter til en tilfeldig valgt flyavgang.
a) Hva må vi forutsette for å kunne bruke en binomisk sannsynlighetsmodell i denne situasjonen?
I resten av denne oppgaven går vi ut fra at $X$ er binomisk fordelt.
b) Til en flyavgang er det solgt 122 billetter. Bestem sannsynligheten for at alle som møter, får plass på flyet.
Flyselskapet ønsker at sannsynligheten skal være minst 95 % for at alle som møter, skal få plass på flyet.
c) Hvor mange billetter kan flyselskapet maksimalt selge da?
---
## V2018 del 2 oppgave 3 — Fuglekasser med lineær optimering
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2018 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 7
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Lineær optimering, Ulikheter, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Begrunne og skravere et lineært ulikhetsområde og maksimere fortjeneste ved produksjon av to typer fuglekasser, også med utvidet kapasitet.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/fuglekasser-med-lineaer-optimering/
### Oppgavetekst
Frode og Peter lager to typer fuglekasser. Type A er for meiser, og type B er for ugler. Frode lager delene til kassene, mens Peter setter dem sammen og maler dem.
- Frode bruker 10 minutter på å lage delene til en kasse av type A og 30 minutter på å lage delene til en kasse av type B.
- Peter bruker 20 minutter på å sette sammen og male en kasse av type A og 30 minutter på en kasse av type B.
- I løpet av en uke kan Frode jobbe 15 timer.
- I løpet av en uke kan Peter jobbe 20 timer.
De produserer $x$ kasser av type A og $y$ kasser av type B.
a) Forklar at $x$ og $y$ må ligge i området som er avgrenset av ulikhetene nedenfor:
$$
\begin{aligned} x &\geq 0 \,, \quad y \geq 0 \\ x + 3y &\leq 90 \\ 2x + 3y &\leq 120 \end{aligned}
$$
b) Skraver dette området i et koordinatsystem.
Når de selger fuglekassene, har de en fortjeneste på 60 kroner for en kasse av type A og 150 kroner for en kasse av type B.
c) Hvor mange kasser bør de produsere av hver type for at fortjenesten skal bli størst mulig?
Etterspørselen etter fuglekasser av begge typer er veldig stor, så Frode sier han kan jobbe 3 timer ekstra en uke.
d) Hvor mange kasser bør de produsere av hver type denne uken dersom de vil ha størst mulig fortjeneste?
---
## V2018 del 2 oppgave 4 — Pumpemontering med regresjon og lønnsvalg
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2018 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Regresjon, Modellering, Optimering
- **Kort beskrivelse:** Lage tredjegradsmodell ved regresjon og sammenligne to lønnsmodeller for å finne når akkordlønn lønner seg og når forskjellen er størst.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/pumpemontering-med-regresjon-og-lonnsvalg/
### Oppgavetekst
Arne har sommerjobb som montør i en bedrift som produserer en bestemt type pumper. Han har lagt merke til at arbeidstempoet endrer seg i løpet av dagen. En dag teller han opp annenhver time hvor mange pumper han har montert så langt den dagen. Tabellen nedenfor viser resultatet
| Timer jobbet | 0 | 2 | 4 | 6 | 8 |
|:----------------------------------:|:-:|:--:|:--:|:---:|:---:|
| Pumper montert så langt den dagen | 0 | 38 | 93 | 135 | 169 |
a) Bruk regresjon til å lage et tredjegradspolynom $g$ som kan brukes som modell for hvor mange pumper Arne setter sammen i løpet av de $x$ første timene på jobb en dag.
I resten av oppgaven lar vi funksjonen $f$ gitt ved
$$
f(x) = -0{,}26x^3 + 2{,}8x^2 + 16x \quad , \quad 0 \leq x \leq 9
$$
være en modell for antall pumper Arne klarer å montere i løpet av de $x$ første timene på jobb en dag.
b) Bruk graftegner til å tegne grafen til $f$ i et koordinatsystem.
Arne kan velge om han vil ha 9 kroner per pumpe han monterer, eller 190 kroner per time han jobber.
c) Hvor mange timer må han jobbe på én dag for at det skal lønne seg å velge betaling per montert pumpe?
d) Hvor mange timer må han jobbe én dag for at forskjellen på lønn per pumpe og lønn per time skal bli størst mulig?
---
## H2018 del 1 oppgave 1 — Likninger med logaritme og eksponential
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2018 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Likninger, Logaritmer, Eksponentiallikning
- **Kort beskrivelse:** Løse en andregradslikning, en logaritmelikning og en eksponentiallikning uten hjelpemidler.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/likninger-med-logaritme-og-eksponential/
### Oppgavetekst
Løs likningene
a)
$$
x^2 - 3x + 1 = 3x + 8
$$
b)
$$
\lg(x^4) - \lg(x^3) + \lg(x^2) - \lg x = 6
$$
c)
$$
10 \cdot 4^x = 5 \cdot 2^x
$$
---
## H2018 del 1 oppgave 2 — Forenkling av potenser og kvadrater
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2018 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Algebra, Kvadratsetninger, Potenser
- **Kort beskrivelse:** Forenkle et uttrykk med kvadratsetninger og et uttrykk med potenser av 3.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/forenkling-av-potenser-og-kvadrater/
### Oppgavetekst
Skriv så enkelt som mulig
a)
$$
(a + 2b)^2 - (2b - a)^2
$$
b)
$$
3^3 \cdot 3^0 + 3^{-1} + 3^{-2} + 3^{-3}
$$
---
## H2018 del 1 oppgave 3 — Andregradsulikhet
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2018 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Ulikheter, Andregradsulikhet
- **Kort beskrivelse:** Løse en andregradsulikhet uten hjelpemidler.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/andregradsulikhet-s1-h18/
### Oppgavetekst
Løs ulikheten
$$
x^2 - 6x \geq 7
$$
---
## H2018 del 1 oppgave 4 — Pascals trekant og hypergeometrisk uttrekk
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2018 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Kombinatorikk, Pascals trekant, Hypergeometrisk fordeling
- **Kort beskrivelse:** Skrive Pascals talltrekant og bruke hypergeometrisk fordeling til å regne sannsynligheter ved uttrekk av elever.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/pascals-trekant-og-hypergeometrisk-uttrekk/
### Oppgavetekst
a) Skriv ned de åtte første radene i Pascals talltrekant.
I elevrådet er det fire jenter og tre gutter. Det skal trekkes ut tilfeldig fire elever som skal være med på en studietur.
b) Bestem sannsynligheten for at det blir trukket ut to jenter og to gutter.
c) Bestem sannsynligheten for at minst én gutt fra elevrådet blir med på turen.
---
## H2018 del 1 oppgave 5 — Likningssystem og lineær optimering
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2018 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Likningssystem, Lineær optimering, Ulikheter
- **Kort beskrivelse:** Løse et lineært likningssystem, skravere et område avgrenset av ulikheter og maksimere en lineær størrelse i området.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/likningssystem-og-lineaer-optimering/
### Oppgavetekst
a) Løs likningssystemet
$$
\begin{cases} x + y = 1 & \\ -2x + y = -5 \end{cases}
$$
b) Skraver området som er begrenset av ulikhetene nedenfor, i et koordinatsystem.
$$
\begin{cases} x - 2y \geq -8 & \\ x + y \geq 1 \\ y \geq 2x - 5 \end{cases}
$$
c) Bestem den størst mulige verdien størrelsen $3x - y$ kan få dersom $(x, y)$ skal ligge i det skraverte området.
---
## H2018 del 1 oppgave 6 — Overskudd på toppunktform
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2018 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Overskudd, Andregradsfunksjon, Optimering
- **Kort beskrivelse:** Finne produksjonsmengde for størst overskudd fra en andregradsfunksjon og bestemme for hvilke mengder det blir overskudd.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/overskudd-pa-toppunktform/
### Oppgavetekst
Overskuddet (i 1000 kroner) ved produksjon av en bestemt vare er gitt ved
$$
O(x) = -0{,}25x^2 + 10x - 75
$$
Her er $x$ antallet produserte enheter per dag.
a) Bestem den produksjonsmengden som gir størst overskudd. Hvor stort er overskuddet da?
b) For hvilke daglige produksjonsmengder vil det bli overskudd?
---
## H2018 del 1 oppgave 7 — Vekstfart og fortegnslinjer fra graf
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2018 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Gjennomsnittlig vekstfart, Derivasjon, Fortegnslinje, Graftolkning
- **Kort beskrivelse:** Lese av gjennomsnittlig vekstfart og momentan derivert fra en graf med tangent, og tegne fortegnslinjer for funksjon og derivert.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/vekstfart-og-fortegnslinjer-fra-graf/
### Oppgavetekst
Figuren viser grafen til en funksjon $f$ sammen med tangenten $t$ til grafen i punktet $(-1, f(-1))$.
a) Bestem gjennomsnittlig vekstfart i intervallet $[-1, 2]$.
b) Bestem $f'(-1)$ og $f'(1)$.
c) Tegn fortegnslinja til $f(x)$ og til $f'(x)$.
---
## H2018 del 1 oppgave 8 — Trekantareal under parabel
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2018 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Andregradsfunksjon, Nullpunkter, Areal og omkrets
- **Kort beskrivelse:** Bestemme x-koordinaten til et punkt på en parabel slik at trekanten utspent av nullpunktene og punktet får et gitt areal.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/trekantareal-under-parabel/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ er gitt ved
$$
f(x) = -x^2 + 2x + 8
$$
Grafen skjærer $x$-aksen i punktene $A$ og $B$. Punktet $C(t, f(t))$ har $x$-koordinat mellom nullpunktene til $f$.
Bestem $t$ slik at arealet til trekanten $ABC$ blir lik $24$.
---
## H2018 del 2 oppgave 1 — Billettpriser med likningssystem i CAS
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2018 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Likningssystem, CAS, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Sette opp og løse et likningssystem i CAS for å finne ordinær pris på voksen- og barnebillett ut fra betalte beløp med rabatt.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/billettpriser-med-likningssystem-i-cas/
### Oppgavetekst
Familien Vik og familien Strand besøkte svømmehallen.
- Fra familien Vik kom det to voksne og tre barn. De betalte 315 kr.
- Fra familien Strand kom det fire voksne og åtte barn. Siden de var så mange, fikk de 30 % rabatt. De betalte 504 kr.
Sett opp et likningssystem, og bruk CAS til å bestemme den ordinære prisen for en voksenbillett og den ordinære prisen for en barnebillett.
---
## H2018 del 2 oppgave 1 — Binomisk fordeling og kombinatorikk med planter
- **Fag:** R1, S1
- **Eksamen:** Høst 2018 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Binomisk fordeling, Kombinatorikk, Sannsynlighet
- **Kort beskrivelse:** Binomisk fordeling $X \sim B(10; 0{,}4)$: sannsynlighet for halvparten og mer enn fem gule blomster, og antall permutasjoner av 4+6 like planter
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/binomisk-fordeling-og-kombinatorikk-med-planter/
### Oppgavetekst
Et gartneri produserer og selger en plante som får enten røde eller gule blomster. Sannsynligheten er $p = 0{,}4$ for at en tilfeldig valgt plante får gule blomster.
Astrid kjøper ti tilfeldige planter av denne typen.
a) Bestem sannsynligheten for at halvparten av plantene til Astrid får gule blomster.
b) Bestem sannsynligheten for at flere enn fem av plantene til Astrid får gule blomster.
Stian har fire like planter med gule blomster og seks like planter med røde blomster. Disse skal han plante på én rekke i en blomsterkasse.
c) På hvor mange ulike måter kan han plassere plantene i kassen?
---
## H2018 del 2 oppgave 3 — Lineær optimering av frokostinnhold
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2018 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Lineær optimering, Ulikheter, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Begrunne ulikhetene i en lineær optimeringsmodell for næringsinnhold i en frokost, skravere området og maksimere proteininnholdet.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lineaer-optimering-av-frokostinnhold/
### Oppgavetekst
Tabellen nedenfor viser næringsinnholdet per 100 gram for noen matvarer.
| Matvare | Energi (kJ) | Fett (g) | Karbohydrater (g) | Protein (g) |
|:----------------|:-----------:|:--------:|:-----------------:|:-----------:|
| Grovbrød | 900 | 2,0 | 32,5 | 12,4 |
| Makrell i tomat | 1049 | 20,5 | 3,0 | 13,4 |
| Syltetøy | 740 | 0,1 | 42,4 | 0,3 |
Morten spiser hver morgen fire skiver grovbrød med pålegg. Én grovbrødskive veier $50 \mathrm{~g}$. Han bestemmer seg for at frokosten maksimalt skal inneholde
- $2400 \mathrm{~kJ}$ energi
- $12 \mathrm{~g}$ fett
- $80 \mathrm{~g}$ karbohydrater
En dag kan Morten velge mellom to typer pålegg: makrell i tomat og syltetøy.
La $x$ være antall gram makrell i tomat, og la $y$ være antall gram syltetøy som han spiser.
a) Forklar at ulikhetene nedenfor må gjelde:
$$
\begin{cases} x \geq 0 & \\ y \geq 0 \\ 10{,}49x + 7{,}40y \leq 600 \\ 0{,}205x + 0{,}001y \leq 8 \\ 0{,}03x + 0{,}424y \leq 15 \end{cases}
$$
b) Skraver området som ulikhetene beskriver, i et koordinatsystem.
c) Morten ønsker at frokosten skal ha høyest mulig innhold av proteiner. Hvor mange gram syltetøy kan han da spise til frokost?
---
## H2018 del 2 oppgave 4 — Elgbestand med regresjon og eksponentiell nedgang
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2018 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 9
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Regresjon, Eksponentialfunksjon, Modellering, Graftegner
- **Kort beskrivelse:** Lage tredjegradsmodell ved regresjon, begrunne en eksponentiell nedgangsmodell og bruke begge modellene til å finne maksimum og når bestanden er over en grense.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/elgbestand-med-regresjon-og-eksponentiell-nedgang/
### Oppgavetekst
Tabellen nedenfor viser antall elg i et område per 1. januar for noen utvalgte år.
| År | 2007 | 2009 | 2011 | 2013 | 2015 | 2017 |
|:-----------|:----:|:----:|:----:|:----:|:----:|:----:|
| Antall dyr | 400 | 650 | 1100 | 1850 | 2400 | 3000 |
I hele denne oppgaven lar vi $x$ være antall år etter 1. januar 2007.
a) Bruk regresjon til å lage et tredjegradspolynom $g$ som kan brukes som modell for antall elg i dette området.
I fortsettelsen lar vi funksjonen $f$ gitt ved
$$
f(x) = -2{,}6x^3 + 49x^2 + 33x + 398
$$
være en modell for antall elg i området. Modellen gjelder fra 1. januar 2007 og 14 år framover. Etter 14 år regner vi med at elgbestanden vil få en årlig nedgang på 4 % fram til 2030.
b) Forklar at elgbestanden etter 2021 er gitt ved
$$
h(x) = 3330 \cdot 0{,}96^{x-14}
$$
c) Bruk graftegner til å tegne en graf som viser elgbestanden mellom 2007 og 2030.
d) I hvilket år er elgbestanden størst ifølge modellene $f$ og $h$?
e) I hvilke år mellom 2007 og 2030 vil elgbestanden være på over 3000 dyr ifølge modellene $f$ og $h$?
---
## V2017 del 1 oppgave 1 — Løs tre likninger med logaritme
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Likninger, Logaritmer, Eksponentiallikning
- **Kort beskrivelse:** Løse en andregradslikning, en eksponentiallikning og en logaritmelikning.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/los-tre-likninger-med-logaritme/
### Oppgavetekst
Løs likningene
a)
$$
x^2 - 5x = 0
$$
b)
$$
3 \cdot 10^x = 3000
$$
c)
$$
4\lg(x + 15) = 8
$$
---
## V2017 del 1 oppgave 2 — Forenkle tre algebraiske uttrykk
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Algebra, Potenser, Logaritmer
- **Kort beskrivelse:** Forenkle et brøkuttrykk, et potensuttrykk og et logaritmeuttrykk ved hjelp av regneregler.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/forenkle-tre-algebraiske-uttrykk/
### Oppgavetekst
Skriv så enkelt som mulig
a)
$$
\frac{1}{a} - \frac{1}{b} + \frac{a+1}{ab}
$$
b)
$$
\frac{4a^6 b^{-2} a^4}{(2ab^{-1})^2}
$$
c)
$$
\lg 3a - \lg a^3 + 2\lg a
$$
---
## V2017 del 1 oppgave 3 — Kinobilletter for to familier
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Likningssystem, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Sette opp og løse et lineært likningssystem med to ukjente for å finne billettprisene.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kinobilletter-for-to-familier/
### Oppgavetekst
To familier skal på kino. Familien Hansen kjøper tre barnebilletter og to voksenbilletter. De betaler 290 kroner for billettene. Familien Sørensen kjøper fem barnebilletter og tre voksenbilletter. De betaler 460 kroner.
a) Sett opp to likninger som kan brukes til å bestemme prisen på én barnebillett og én voksenbillett.
b) Hvor mye koster én barnebillett, og hvor mye koster én voksenbillett?
---
## V2017 del 1 oppgave 4 — Løs andregradsulikhet S1 V17
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Ulikheter, Andregradsulikhet
- **Kort beskrivelse:** Løse en andregradsulikhet ved å finne nullpunktene og lese av fortegnet.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/los-andregradsulikhet-s1-v17/
### Oppgavetekst
Løs ulikheten
$$
x^2 - 2x \geq 3
$$
---
## V2017 del 1 oppgave 5 — Pascals trekant og hypergeometrisk trekning
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Pascals trekant, Kombinatorikk, Hypergeometrisk fordeling, Sannsynlighet
- **Kort beskrivelse:** Skrive Pascals trekant, regne ut binomialkoeffisienter og bestemme en hypergeometrisk sannsynlighet uten tilbakelegging.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/pascals-trekant-og-hypergeometrisk-trekning/
### Oppgavetekst
a) Skriv opp de sju første radene i Pascals trekant.
b) Bestem $\dbinom{6}{3}$ og $\dbinom{4}{2}$.
I elevrådet er det fire jenter og to gutter. Blant disse skal det trekkes ut tilfeldig tre personer som skal representere skolen.
c) Bestem sannsynligheten for at det blir to jenter og én gutt som skal representere skolen.
Du kan få bruk for denne formelen:
Hypergeometrisk fordeling:
$$
P(X = k) = \frac{\binom{m}{k} \cdot \binom{n-m}{r-k}}{\binom{n}{r}}
$$
$m$ elementer i $D$. $n - m$ elementer i $\bar{D}$. $r$ elementer trekkes tilfeldig. $X$ er antall elementer som trekkes fra $D$.
---
## V2017 del 1 oppgave 6 — Lineær optimering med tre ulikheter
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Lineær optimering, Ulikheter
- **Kort beskrivelse:** Skravere et område avgrenset av tre lineære ulikheter og finne den minste verdien til en lineær størrelse i området.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lineaer-optimering-med-tre-ulikheter-s1-v17/
### Oppgavetekst
Et område i planet er avgrenset av de tre ulikhetene
$$
\begin{aligned} 2y + x &\geq 1 \\ y - x &\geq -4 \\ y &\leq 0 \end{aligned}
$$
a) Skraver området i et koordinatsystem.
b) Bestem den minste verdien størrelsen $2y - x$ kan ha dersom $(x, y)$ skal ligge i det skraverte området.
---
## V2017 del 1 oppgave 7 — Andregradsfunksjon med tangent fra graf
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 7
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Andregradsfunksjon, Derivasjon, Tangent, Graftolkning
- **Kort beskrivelse:** Lese av funksjons- og tangentverdier fra en graf, bestemme tangentlikning og deriverte, og finne funksjonsuttrykket til en andregradsfunksjon.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/andregradsfunksjon-med-tangent-fra-graf/
### Oppgavetekst
Figuren viser grafen til en andregradsfunksjon $f$ sammen med tangenten $t$ til grafen i punktet $(2, f(2))$.
a) Bestem $f(0)$ og $f(4)$.
b) Bestem likningen til tangenten $t$.
c) Bestem $f'(1)$ og $f'(2)$.
d) Bestem funksjonsuttrykket til $f$.
---
## V2017 del 1 oppgave 8 — Tre ulikheter fra skravert område
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Ulikheter, Lineære funksjoner, Graftolkning
- **Kort beskrivelse:** Bestemme tre lineære ulikheter som til sammen avgrenser et gitt skravert område i et koordinatsystem.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tre-ulikheter-fra-skravert-omrade/
### Oppgavetekst
Et område er skravert i koordinatsystemet.
Bestem tre ulikheter som til sammen avgrenser dette området.
---
## V2017 del 1 oppgave 9 — Rasjonal funksjon fra asymptoter og graf
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 9
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Rasjonale funksjoner, Asymptoter, Graftolkning
- **Kort beskrivelse:** Bestemme konstantene i en rasjonal funksjon ut fra avlest asymptoter og et punkt på grafen.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/rasjonal-funksjon-fra-asymptoter-og-graf/
### Oppgavetekst
Figuren nedenfor viser grafen til en rasjonal funksjon $f$. Grafen har asymptotene $x = 1$ og $y = 3$.
Funksjonsuttrykket til $f$ kan skrives på formen
$$
f(x) = \frac{ax + b}{cx - 1}
$$
Bestem $a$, $b$ og $c$.
---
## V2017 del 2 oppgave 1 — CO2-konsentrasjon og regresjon
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2017 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Regresjon, Eksponentialfunksjon, Modellering, Momentan vekstfart
- **Kort beskrivelse:** Finne eksponentiell vekstmodell ved regresjon og bruke den til å beregne framtidig CO2-nivå, løse for tidspunkt med CAS og tolke momentan vekstfart.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/co2-konsentrasjon-og-regresjon/
### Oppgavetekst
Vi antar at konsentrasjonen av CO$_2$ i lufta var 280 ppm (parts per million) i året 1800. Siden den gang har konsentrasjonen økt. Tabellen nedenfor viser utviklingen av CO$_2$-konsentrasjonen for noen utvalgte år mellom 1870 og 2000.
| År | 1870 | 1890 | 1930 | 1950 | 1970 | 2000 |
|:---------------------------------------------------------|:----:|:----:|:----:|:----:|:----:|:----:|
| CO$_2$-konsentrasjon (ppm) | 285 | 287 | 295 | 305 | 325 | 365 |
| Hvor mye CO$_2$-konsentrasjonen har økt siden 1800 (i ppm) | 5 | 7 | 15 | 25 | 45 | 85 |
La $x$ være antall år etter 1870.
a) Bruk regresjon til å bestemme en funksjon som tilnærmet beskriver hvordan CO$_2$-konsentrasjonen har økt siden 1870.
En modell for konsentrasjonen av CO$_2$ i lufta $x$ år etter 1870 er gitt ved
$$
K(x) = 280 + 5{,}0 \cdot 1{,}022^x
$$
b) Bruk graftegner til å tegne grafen til $K$.
c) Bestem konsentrasjonen av CO$_2$ i 2050 dersom utviklingen følger modellen $K$.
d) Bruk CAS til å bestemme når CO$_2$-konsentrasjonen blir 425 ppm, dersom utviklingen følger modellen $K$.
e) Bestem den momentane vekstfarten til $K$ for $x = 120$. Hva forteller dette svaret oss?
---
## V2017 del 2 oppgave 2 — Grønt lys i ti lyskryss binomisk
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2017 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Binomisk fordeling, Sannsynlighet
- **Kort beskrivelse:** Begrunne binomisk modell og beregne sannsynligheter for grønt lys i et gitt antall av ti uavhengige lyskryss.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/gront-lys-i-ti-lyskryss-binomisk/
### Oppgavetekst
Simon passerer 10 lyskryss på vei til skolen. Lyskryssene virker uavhengig av hverandre. Det er grønt lys i 24 s hvert minutt i hvert av lyskryssene.
a) Begrunn at vi kan se på dette som et binomisk forsøk med $p = 0{,}40$.
b) Bestem sannsynligheten for at Simon får grønt lys i nøyaktig fem kryss.
c) Bestem sannsynligheten for at Simon får grønt lys oftere enn rødt lys.
d) Bestem sannsynligheten for at han får grønt lys i tre kryss etter hverandre og rødt lys i alle de andre kryssene.
---
## V2017 del 2 oppgave 3 — Kennel med hunder og katter optimering
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2017 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Lineær optimering, Ulikheter, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Sette opp ulikheter for kapasitet og arbeidstid i en kennel og bestemme antall hunder og katter som gir maksimal fortjeneste.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kennel-med-hunder-og-katter-optimering/
### Oppgavetekst
En kennel tar imot både hunder og katter. De har plass til 20 hunder og 30 katter. Hver hund krever 45 min med stell hver dag. Hver katt krever 30 min med stell hver dag. Kennelen kan høyst bruke 24 arbeidstimer per dag til stell av dyrene.
La $x$ være antall hunder og $y$ antall katter som er i kennelen en dag.
a) Sett opp ulikheter som beskriver situasjonen ovenfor. Skraver området som tilfredsstiller ulikhetene, i et koordinatsystem.
De daglige utgiftene til mat er 100 kroner for en hund og 50 kroner for en katt. Kennelen tar 350 kroner per døgn for en hund og 200 kroner per døgn for en katt.
b) Hvor mange hunder og hvor mange katter bør kennelen ha i opphold per døgn for å få maksimal fortjeneste? Hvor stor er fortjenesten da?
---
## V2017 del 2 oppgave 4 — Tredjegradsfunksjon med toppunkt og ukjente
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2017 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Tredjegradsfunksjon, Likningssystem, CAS
- **Kort beskrivelse:** Utlede et likningssystem fra et gitt toppunkt på en tredjegradsfunksjon og bruke CAS til å bestemme de ukjente konstantene.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tredjegradsfunksjon-med-toppunkt-og-ukjente/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ er gitt ved
$$
f(x) = -24x^3 + ax^2 - b^2 x - 27
$$
Grafen til $f$ har et toppunkt i $(3, 3)$.
a) Vis at dette gir oss likningene
$$
\begin{aligned} 6a - b^2 &= 648 \\ 9a - 3b^2 &= 678 \end{aligned}
$$
b) Bruk CAS til å bestemme $a$ og $b$.
---
## H2017 del 1 oppgave 1 — Tre likninger med logaritme og brøk
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Likninger, Logaritmer, Andregradslikninger
- **Kort beskrivelse:** Løse en andregradslikning, en brøklikning og en logaritmelikning uten hjelpemidler.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tre-likninger-med-logaritme-og-brok/
### Oppgavetekst
Løs likningene
a)
$$
x^2 + 2x - 8 = 0
$$
b)
$$
\frac{5x - 1}{2} + \frac{2x - 5}{3} = 1
$$
c)
$$
\lg(x^2) + 2 = 4
$$
---
## H2017 del 1 oppgave 2 — Forenkle potens- og logaritmeuttrykk
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Potensregning, Logaritmer, Rasjonale uttrykk
- **Kort beskrivelse:** Forenkle et potensuttrykk, trekke sammen en rasjonal differanse og forenkle et logaritmeuttrykk.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/forenkle-potens-og-logaritmeuttrykk/
### Oppgavetekst
Skriv så enkelt som mulig
a)
$$
\frac{2a^7 (a^{-1}b^2)^3}{(2ab)^2}
$$
b)
$$
\frac{2x}{x^2 - 1} - \frac{1}{x - 1}
$$
c)
$$
4\lg(2x) - \lg(x^2) - 2\lg\left(\frac{x}{2}\right)
$$
---
## H2017 del 1 oppgave 3 — Likningssett med andregradsledd
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Likningssystem, Andregradslikninger
- **Kort beskrivelse:** Løse et ikke-lineært likningssystem ved innsetting der den ene likningen har et andregradsledd.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/likningssett-med-andregradsledd/
### Oppgavetekst
Løs likningssettet
$$
\begin{cases} x^2 + 2y = 5 & \\ 2x + y = 4 \end{cases}
$$
---
## H2017 del 1 oppgave 4 — Løs en andregradsulikhet
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Ulikheter, Andregradsulikhet
- **Kort beskrivelse:** Løse en andregradsulikhet ved å finne nullpunktene og bestemme fortegnet.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/los-en-andregradsulikhet/
### Oppgavetekst
Løs ulikheten
$$
x^2 + 2x \geq 3
$$
---
## H2017 del 1 oppgave 5 — Fotballbilletter til to supportergrupper
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Likninger, Tekstoppgave
- **Kort beskrivelse:** Sette opp og løse en likning for fordelingen av 1400 billetter mellom hjemme- og bortelagets supportere.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/fotballbilletter-til-to-supportergrupper/
### Oppgavetekst
Til en fotballkamp ble det solgt 1400 billetter. Supporterne til hjemmelaget kjøpte fire ganger så mange billetter som supporterne til bortelaget.
Hvor mange billetter ble solgt til hjemmelagets supportere? Begrunn svaret.
---
## H2017 del 1 oppgave 5 — Nøkkelboks kombinatorikk med og uten rekkefølge
- **Fag:** R1, S1
- **Eksamen:** Høst 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Kombinatorikk, Sannsynlighet
- **Kort beskrivelse:** Telle antall koder for nøkkelbokser med og uten rekkefølge, og optimere antall koder ved å variere kodelengden.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/nokkelboks-kombinatorikk-med-og-uten-rekkefolge/
### Oppgavetekst
En nøkkelboks er en boks med plass til nøkler. Noen slike bokser har kodelås.
For én type nøkkelboks lages en kode ved å stille inn fire tall. Hvert tall velges blant tallene 0 til 9. Et tall kan velges flere ganger. Tallene må være stilt inn i en bestemt rekkefølge.
a) Hvor mange ulike koder finnes det for denne typen nøkkelboks?
For en annen type nøkkelboks lages en kode ved å velge et bestemt antall forskjellige tall blant tallene 0 til 9. Tallene trenger ikke å være stilt inn i en bestemt rekkefølge.
b) Hvor mange ulike koder finnes for denne typen nøkkelboks dersom koden skal bestå av fire forskjellige tall?
c) Hvor mange tall må koden bestå av for at antallet mulige koder skal bli størst mulig? Hvor mange mulige koder er det da?
---
## H2017 del 1 oppgave 7 — Ulikheter for fotballstadion
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Ulikheter, Lineær optimering, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Oversette krav om kapasitet, sitteplasser og andel ståplasser til et system av ulikheter.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/ulikheter-for-fotballstadion/
### Oppgavetekst
En fotballklubb skal bygge et fotballstadion. For å tilfredsstille Norges Fotballforbunds regler, må tribunene ha en kapasitet på minst 1000 tilskuere. Av disse må minst 800 være sitteplasser, og høyst 40 % av plassene kan være ståplasser.
La $x$ være antall sitteplasser og $y$ antall ståplasser.
Sett opp ulikheter som beskriver situasjonen ovenfor.
---
## H2017 del 1 oppgave 8 — Postrull med størst volum
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2017 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Ulikheter, Derivasjon, Optimering, Sylinder
- **Kort beskrivelse:** Sette opp ulikheter for en postrull, vise et volumuttrykk for en sylinder og derivere for å finne radien som gir størst volum.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/postrull-med-storst-volum/
### Oppgavetekst
Når du skal sende en rull med Posten, må rullen ikke være for stor. Posten stiller følgende krav til størrelsen på rullen:
> **Info**
> Krav fra Posten
> Lengden kan være inntil 90 cm. Lengde + dobbel diameter må ikke være over 104 cm.
La $x$ være radien, og la $y$ være lengden (i cm) på en rull som skal sendes.
a) Bruk opplysningene ovenfor til å forklare at $x$ og $y$ må tilfredsstille ulikhetene
$$
0 < y \leq 90 \quad \text{og} \quad 4x + y \leq 104
$$
b) Begrunn at en rull som skal sendes, må ha radius mindre enn $26\ \mathrm{cm}$.
Vi ønsker å lage en rull der summen av lengden og to diametere er $104\ \mathrm{cm}$.
c) Vis at volumet $V$ må tilfredsstille
$$
V(x) = 104\pi x^2 - 4\pi x^3
$$
d) Hvilken radius vil gi størst volum?
---
## H2017 del 2 oppgave 1 — Rektangel under fallende andregradsgraf
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2017 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Optimering, CAS
- **Kort beskrivelse:** Sette opp arealfunksjonen til et innskrevet rektangel under en parabel og bruke CAS til å løse areallikning og maksimere arealet.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/rektangel-under-fallende-andregradsgraf/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ er gitt ved
$$
f(x) = \frac{1}{2}(x - 4)^2 \quad , \quad 0 < x < 4
$$
Under grafen til $f$ er det tegnet inn et rektangel $OBCD$, slik som figuren nedenfor viser.
a) Vis at arealet til rektangelet er gitt ved
$$
A(x) = \frac{1}{2}x^3 - 4x^2 + 8x \quad , \quad 0 < x < 4
$$
b) Bruk CAS til å bestemme $x$ slik at arealet til rektangelet blir $4$.
c) Bruk CAS til å bestemme $x$ slik at arealet til rektangelet blir størst mulig. Hva er det største arealet rektangelet kan ha?
---
## H2017 del 2 oppgave 1 — Spilleliste med Kygo binomisk fordeling
- **Fag:** R1, S1
- **Eksamen:** Høst 2017 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Binomisk fordeling, Sannsynlighet
- **Kort beskrivelse:** Modellere avspillinger fra en spilleliste med binomisk fordeling og bestemme nødvendig antall avspillinger for å oppfylle et sannsynlighetskrav.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/spilleliste-med-kygo-binomisk-fordeling/
### Oppgavetekst
Jakob har en spilleliste med 20 sanger på mobilen sin. Fire av sangene på spillelisten er med artisten Kygo. Programmet spiller av sangene i tilfeldig rekkefølge (shuffle) med tilbakelegging. Det vil si at samme sang kan bli spilt av flere ganger etter hverandre.
a) Forklar at sannsynligheten alltid er $p = 0{,}2$ for at neste sang som blir spilt, er med Kygo.
b) Jakob vil høre på fem avspillinger fra spillelisten. Bestem sannsynligheten for at nøyaktig to av sangene han spiller, er med Kygo.
c) Hvor mange avspillinger må han høre på for at sannsynligheten for å få høre minst én sang med Kygo skal være større enn 90 %?
---
## H2017 del 2 oppgave 2 — Vekt av laks ved potensregresjon
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2017 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 7
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Regresjon, Potensfunksjon, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Finne en potensmodell for laksevekt ved regresjon og bruke en gitt potensmodell til å regne ut vekt og lengde begge veier.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/vekt-av-laks-ved-potensregresjon/
### Oppgavetekst
Tabellen nedenfor viser sammenhengen mellom lengde og vekt av laks i et vassdrag.
| Lengde (i cm) | 50 | 55 | 60 | 65 | 70 | 75 | 80 | 85 | 90 |
|:-------------:|:----:|:----:|:----:|:----:|:----:|:----:|:----:|:----:|:----:|
| Vekt (i gram) | 1402 | 1905 | 2494 | 3202 | 3806 | 4600 | 5610 | 6760 | 8041 |
a) Bruk regresjon til å bestemme en potensfunksjon $g$ som viser vekten til en laks som funksjon av lengden på laksen.
I et annet vassdrag viser det seg at en god modell $f$ for vekten (i gram) til en $x$ cm lang laks er gitt ved
$$
f(x) = 0{,}015 x^{2{,}93} \quad , \quad 50 \leq x \leq 130
$$
b) Bruk graftegner til å tegne grafen til $f$.
c) Hvor mye veier en laks som er $100\ \mathrm{cm}$ lang, ifølge modellen $f$?
d) Hvor lang er en laks som veier $15\ \mathrm{kg}$, ifølge modellen $f$?
---
## H2017 del 2 oppgave 4 — Sofaproduksjon med lineær optimering
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2017 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 7
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Lineær optimering, Ulikheter, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Sette opp ulikheter for sofaproduksjon, maksimere en fortjenestefunksjon i det tillatte området og vurdere hvor kapasiteten bør utvides.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sofaproduksjon-med-lineaer-optimering/
### Oppgavetekst
En bedrift produserer to typer sofaer, A og B. La $x$ være antall sofaer av type A og $y$ antall sofaer av type B som blir produsert per dag. Sofaene må innom tre avdelinger før de er ferdige.
- Produksjonen av én sofa av type A tar 1 time i avdeling I, 2 timer i avdeling II og 2 timer i avdeling III.
- Produksjonen av én sofa av type B tar 3 timer i avdeling I, 3 timer i avdeling II og 1 time i avdeling III.
- Avdeling I har en maksimal kapasitet på 14 timer per dag.
- Avdeling II har en maksimal kapasitet på 16 timer per dag.
- Avdeling III har en maksimal kapasitet på 12 timer per dag.
a) Forklar at opplysningene ovenfor gir oss ulikhetene
$$
\begin{cases} x + 3y \leq 14 & \\ 2x + 3y \leq 16 \\ 2x + y \leq 12 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}
$$
Skraver det området i planet som er avgrenset av disse ulikhetene.
Fortjenesten i kroner når bedriften produserer og selger $x$ enheter av type A og $y$ enheter av type B, er gitt ved
$$
F(x, y) = 4500x + 6000y
$$
b) Hvor stor er fortjenesten på én sofa av type A og på én sofa av type B?
c) Hvor mange enheter av type A og type B må bedriften produsere per dag for at fortjenesten skal bli størst mulig?
Ledelsen i bedriften har funnet ut at det er ressurser til å utvide kapasiteten i én av de tre avdelingene med 1 time.
d) I hvilken avdeling bør de øke kapasiteten?
---
## V2016 del 1 oppgave 1 — Andregrads- og logaritmelikning
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Andregradslikninger, Logaritmelikning
- **Kort beskrivelse:** Løse en andregradslikning og en logaritmelikning av formen $\lg(\ldots) = \lg(\ldots)$.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/andregrads-og-logaritmelikning/
### Oppgavetekst
Løs likningene
a)
$$
x^2 - 3x + 2 = 0
$$
b)
$$
\lg(4x + 3) = \lg 7
$$
---
## V2016 del 1 oppgave 2 — Forenkling av algebraiske uttrykk
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Algebra, Potensregning, Kvadratsetninger
- **Kort beskrivelse:** Forenkle uttrykk med kvadratsetninger og konjugatsetningen, og et potensuttrykk med negativ eksponent.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/forenkling-av-algebraiske-uttrykk/
### Oppgavetekst
Skriv uttrykkene så enkelt som mulig
a)
$$
(2x - 3)^2 - 3(x - 2)^2 + (x - 1)(x + 1)
$$
b)
$$
\frac{a^2 b^3}{(a^3 b)^{-2}}
$$
---
## V2016 del 1 oppgave 3 — Rektangel med areal og omkrets
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Likningssystem, Geometri
- **Kort beskrivelse:** Sette opp og løse et ikke-lineært likningssystem for areal og omkrets til et rektangel.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/rektangel-med-areal-og-omkrets/
### Oppgavetekst
Et rektangel med sider $x$ og $y$ har areal $6$ og omkrets $11$.
a) Sett opp et likningssystem som svarer til opplysningene ovenfor.
b) Bestem lengden av sidene i rektangelet ved å løse likningssystemet.
---
## V2016 del 1 oppgave 4 — Andregradsulikhet ved fortegnsskjema
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Andregradsulikhet
- **Kort beskrivelse:** Løse en andregradsulikhet ved faktorisering og fortegnsskjema.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/andregradsulikhet-ved-fortegnsskjema/
### Oppgavetekst
Løs ulikheten
$$
-5x + x^2 \le 0
$$
---
## V2016 del 1 oppgave 5 — Pascals trekant og binomialkoeffisient
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Kombinatorikk, Pascals trekant
- **Kort beskrivelse:** Skrive opp Pascals talltrekant, bestemme $\binom{7}{4}$ og beskrive en praktisk situasjon der koeffisienten brukes.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/pascals-trekant-og-binomialkoeffisient/
### Oppgavetekst
a) Skriv opp de 7 første radene i Pascals talltrekant. Bestem $\binom{7}{4}$.
b) Beskriv en praktisk situasjon der du får bruk for $\binom{7}{4}$.
---
## V2016 del 1 oppgave 6 — Pinkoder med fire siffer
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Kombinatorikk
- **Kort beskrivelse:** Telle antall firesifrede pinkoder med og uten gjentakelse av siffer, der koden ikke kan begynne med 0.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/pinkoder-med-fire-siffer/
### Oppgavetekst
En type pinkode består av fire siffer. Det er ikke lov å la koden begynne med 0.
a) Hvor mange slike pinkoder finnes det?
b) Hvor mange pinkoder finnes det som ikke bruker samme siffer flere ganger?
---
## V2016 del 1 oppgave 7 — Rasjonal funksjon fra asymptote og skjæringspunkter
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Rasjonale funksjoner, Asymptoter, Graftegning
- **Kort beskrivelse:** Bestemme funksjonsuttrykket til en rasjonal funksjon ut fra vertikal asymptote og skjæringspunkter, og tegne grafen med asymptoter.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/rasjonal-funksjon-fra-asymptote-og-skjaeringspunkter/
### Oppgavetekst
Funksjonen $g$ er gitt ved
$$
g(x) = \frac{ax + b}{x + c}
$$
Følgende opplysninger er gitt om grafen til $g$:
- Den har vertikal asymptote $x = -1$.
- Den skjærer $x$-aksen i $x = 2$.
- Den skjærer $y$-aksen i $y = -4$.
a) Bestem funksjonsuttrykket til $g$.
b) Tegn grafen til $g$ med asymptoter i et koordinatsystem.
---
## V2016 del 1 oppgave 8 — Kostnadsfunksjon vekstfart og grensekostnad
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Kostnadsfunksjon, Derivasjon, Grenseinntekt og grensekostnad, Optimering
- **Kort beskrivelse:** Beregne gjennomsnittlig vekstfart og grensekostnad for en kostnadsfunksjon, tolke svarene og finne produksjonsmengden med størst overskudd.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kostnadsfunksjon-vekstfart-og-grensekostnad/
### Oppgavetekst
En bedrift produserer en vare. De regner med at kostnadene $K$ ved å produsere $x$ enheter av varen per dag er
$$
K(x) = 0{,}1x^2 + 30x + 1000 \quad , \quad 0 \le x \le 300
$$
a) Bestem den gjennomsnittlige vekstfarten til $K$ i intervallet $[0, 100]$. Hva forteller dette svaret oss?
b) Bestem $K'(100)$. Hva forteller dette svaret oss?
Bedriften selger varen for 60 kroner per enhet til en butikk som kjøper alt bedriften klarer å produsere.
c) Hvor mange enheter må bedriften produsere per dag for å få størst mulig overskudd?
---
## V2016 del 1 oppgave 9 — Tredjegradsfunksjon med nullpunkt og tangent
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 9
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Funksjonsdrøfting, Tangent
- **Kort beskrivelse:** Finne nullpunkt, topp- og bunnpunkt, skisse av grafen og tangentlikning for en tredjegradsfunksjon.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tredjegradsfunksjon-med-nullpunkt-og-tangent/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ er gitt ved
$$
f(x) = -\frac{2}{3}x^3 + 3x^2 \quad , \quad -1 < x < 5
$$
a) Bestem nullpunktene til $f$.
b) Bestem eventuelle topp- og bunnpunkt på grafen til $f$.
c) Lag en skisse av grafen til $f$.
d) Bestem likningen for linjen som tangerer grafen til $f$ i punktet $(1, f(1))$.
---
## V2016 del 2 oppgave 1 — Terningspill med minst en sekser
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2016 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Binomisk fordeling
- **Kort beskrivelse:** Vise sannsynligheten for minst én sekser i tre terningkast og bruke binomisk fordeling på antall deltakere som lykkes.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/terningspill-med-minst-en-sekser/
### Oppgavetekst
Fire personer deltar i et terningspill. Hver av deltakerne kaster en terning tre ganger i første runde.
Sannsynligheten for at en bestemt deltaker får minst én sekser i løpet av de tre kastene, er $p$.
a) Vis at $p \approx 0{,}4213$.
b) Bestem sannsynligheten for at bare de to første deltakerne får minst én sekser i løpet av første runde.
c) Bestem sannsynligheten for at nøyaktig to av deltakerne får minst én sekser i løpet av første runde.
---
## V2016 del 2 oppgave 2 — Eksponentiell modell for oppdrettslaks
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2016 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Eksponentialfunksjon, Regresjon, Vekstfart
- **Kort beskrivelse:** Finne en eksponentiell modell ved regresjon, tolke vekstprosent og bruke modellen til å bestemme tidspunkt for produksjon og vekstfart.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/eksponentiell-modell-for-oppdrettslaks/
### Oppgavetekst
Tabellen nedenfor viser produksjonen av norsk oppdrettslaks i noen år fra 1997 til 2013.
| Årstall | 1997 | 2001 | 2005 | 2009 | 2013 |
|:-------------------------:|:-------:|:-------:|:-------:|:-------:|:---------:|
| Produsert laks, i tonn (t)| 335 000 | 435 000 | 585 000 | 863 000 | 1 170 000 |
a) La $x$ være antall år etter 1997. Framstill tallene i tabellen ovenfor i et koordinatsystem. Bestem en eksponentiell modell som passer bra med tallene i tabellen. Hvor mange prosent vokser produksjonen per år?
I resten av oppgaven vil vi bruke modellen $f(x) = 324000 \cdot 1{,}083^x$
b) Når vil produksjonen passere $2\,000\,000 \mathrm{~t}$?
c) Når vil produksjonsveksten for første gang være større enn $100\,000 \mathrm{~t}$ per år?
---
## V2016 del 2 oppgave 3 — Lineær optimering av fiskekakeproduksjon
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2016 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 7
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Lineær optimering
- **Kort beskrivelse:** Begrunne et ulikhetssystem, skravere det avgrensede området og maksimere en fortjenestefunksjon ved lineær optimering.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lineaer-optimering-av-fiskekakeproduksjon/
### Oppgavetekst
En fiskebutikk lager fiskekaker av typene A og B. Tabellen nedenfor viser mengden av torsk og sei per kilogram fiskekaker for hver av de to typene.
| Type | Torsk | Sei |
|:----:|:--------:|:--------:|
| A | 0,6 kg | 0,2 kg |
| B | 0,4 kg | 0,4 kg |
En uke har butikken tilgang til 300 kg torsk og 200 kg sei. De vet fra tidligere erfaringer at de ikke får solgt mer enn 550 kg fiskekaker. La $x$ være antall kilogram de produserer av type A, og $y$ antall kilogram de produserer av type B.
a) Begrunn at ulikhetene nedenfor passer med opplysningene.
$$
\begin{cases} x \ge 0 & \\ y \ge 0 \\ x + y \le 550 \\ 0{,}6x + 0{,}4y \le 300 \\ 0{,}2x + 0{,}4y \le 200 \end{cases}
$$
b) Skraver det området ulikhetene avgrenser, i et koordinatsystem.
Ved innkjøp betaler butikken 55 kroner per kilogram for torsk og 35 kroner per kilogram for sei. Butikken har i tillegg faste kostnader på 5000 kroner per uke.
Fiskekakene selges for 70 kroner per kilogram for type A og 61 kroner per kilogram for type B.
c) Butikken lager og selger $x$ kg av type A og $y$ kg av type B. Forklar at fortjenesten er gitt ved
$$
30x + 25y - 5000
$$
d) Hva er den største fortjenesten butikken kan få?
---
## V2016 del 2 oppgave 4 — Inntektsoptimering for fiskesalg
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2016 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Inntektsfunksjon, Optimering, CAS
- **Kort beskrivelse:** Sette opp en inntektsfunksjon fra en prismodell, finne fiskemengden med størst inntekt og bestemme en parameter med CAS ut fra en gitt maksimumsbetingelse.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/inntektsoptimering-for-fiskesalg/
### Oppgavetekst
Salgsprisen $P$ i kroner per kilogram for et bestemt fiskeslag er gitt ved
$$
P(x) = 0{,}5x^2 - 10x + 60 \quad , \quad 0 \le x \le 8
$$
der $x$ er antall tonn fisk som selges per uke.
a) Forklar at den totale inntekten $I$ fra fiskesalget en uke er gitt ved
$$
I(x) = 1000 \cdot x \cdot P(x)
$$
b) Bruk graftegner til å bestemme hvilken fiskemengde som gir størst inntekt. Hvor stor er inntekten da?
En annen modell $F$ for prisen per kilogram er gitt ved
$$
F(x) = 0{,}5x^2 - ax + 60 \quad , \quad 0 \le x \le 8
$$
der $a$ er et positivt tall.
For en bestemt verdi av $a$ blir inntektene størst når det selges 3 t.
c) Bruk CAS til å bestemme denne verdien av $a$.
---
## H2016 del 1 oppgave 1 — Løs brøklikning og logaritmelikning
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Likninger, Logaritmer
- **Kort beskrivelse:** Løse en rasjonal likning med fellesnevner og en logaritmelikning på formen $\lg(\ldots)=2$.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/los-broklikning-og-logaritmelikning/
### Oppgavetekst
Løs likningene
a)
$$
\frac{2x-1}{3} - \frac{3x+2}{4} = \frac{5}{6}
$$
b)
$$
\lg(2x-6) = 2
$$
---
## H2016 del 1 oppgave 2 — Forenkle algebraiske uttrykk og logaritmer
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Algebra, Potenser, Logaritmer
- **Kort beskrivelse:** Trekke sammen et bokstavuttrykk, forenkle et potensuttrykk og bruke logaritmeregler på et tallsuttrykk.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/forenkle-algebraiske-uttrykk-og-logaritmer/
### Oppgavetekst
Skriv så enkelt som mulig
a)
$$
a(a-b) + b(b-a)
$$
b)
$$
\frac{(ab^2)^2 \cdot b^{-3}}{a^2(b^{-1})^2}
$$
c)
$$
\lg 2 + \lg 4 + \lg 9 - \lg 3 - \lg 8
$$
---
## H2016 del 1 oppgave 3 — Pengeforbruk hos Per og Ola
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Likningssystem, Tekstoppgave
- **Kort beskrivelse:** Sette opp et lineært likningssystem fra en tekstsituasjon og løse det for å finne et startbeløp.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/pengeforbruk-hos-per-og-ola/
### Oppgavetekst
På mandag hadde Per og Ola til sammen 200 kroner. Dagen etter hadde Per brukt halvparten av sine penger, mens Ola hadde brukt 10 kroner. Til sammen hadde de nå 110 kroner igjen.
a) Sett opp et likningssystem som beskriver situasjonen.
b) Bestem hvor mye penger Per hadde på mandag.
---
## H2016 del 1 oppgave 4 — Løs andregradsulikhet
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Ulikheter, Andregradsulikhet
- **Kort beskrivelse:** Løse en andregradsulikhet ved å finne nullpunktene til andregradsuttrykket og bestemme fortegnet.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/los-andregradsulikhet/
### Oppgavetekst
Løs ulikheten
$$
x^2 + 6 \leq 5x
$$
---
## H2016 del 1 oppgave 5 — Kinobilletter delt ut tilfeldig
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Kombinatorikk, Sannsynlighet
- **Kort beskrivelse:** Telle antall mulige fordelinger av billetter og beregne sannsynligheten for at to bestemte personer får billetter på samme rad.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kinobilletter-delt-ut-tilfeldig/
### Oppgavetekst
Line, Lars og fire venner skal på kino. De har seks nummererte billetter. Billettene blir delt ut tilfeldig.
a) Hvor mange måter kan de seks billettene deles ut på?
Fire av billettene er på rad 8 og to billetter er på rad 9.
b) Bestem sannsynligheten for at Line og Lars får billetter på rad 9.
---
## H2016 del 1 oppgave 6 — Stoler satt sammen på møbelfabrikk
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 9
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Funksjonsdrøfting, Vekstfart, Derivasjon, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Tolke en andregradsmodell for produsert antall stoler ved hjelp av gjennomsnittlig vekstfart, momentan vekstfart og gjennomsnittlig timelønn.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/stoler-satt-sammen-pa-mobelfabrikk/
### Oppgavetekst
Per har fått sommerjobb på en møbelfabrikk. Der skal han sette sammen stoler. Det viser seg at funksjonen $S$ gitt ved
$$
S(t) = 17t - 0{,}5t^2 \quad , \quad t \in [0,\ 8]
$$
er en god modell for hvor mange stoler han greier å sette sammen i løpet av $t$ timer på en normal dag.
a) Tegn en skisse av grafen til $S$.
b) Bestem den gjennomsnittlige vekstfarten til $S$ i tidsrommet $[0, 4]$. Hva forteller dette svaret deg?
c) Bestem $S'(4)$. Hva forteller dette svaret deg?
Per får 10 kroner per stol han setter sammen.
d) Hvor mye tjener han dersom han jobber 4 timer?
En dag var den gjennomsnittlige timelønnen 140 kroner.
e) Hvor lenge jobbet han denne dagen?
---
## H2016 del 1 oppgave 7 — Faktorisering og drøfting av tredjegradsfunksjon
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Polynomdivisjon, Faktorisering, Nullpunkter, Funksjonsdrøfting
- **Kort beskrivelse:** Velge riktig faktorisert form av et tredjegradspolynom og bruke den til å finne nullpunkter og x-koordinater til topp- og bunnpunkt.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/faktorisering-og-drofting-av-tredjegradsfunksjon/
### Oppgavetekst
En funksjon $f$ er gitt ved
$$
f(x) = x^3 - 8x^2 + 5x + 14
$$
a) Hvilket av de tre faktoriserte polynomene nedenfor er det samme som $f(x)$?
$$
P_1(x) = (x-2)(x^2 - 6x + 7)
$$
$$
P_2(x) = (x+2)(x^2 - 6x - 7)
$$
$$
P_3(x) = (x-2)(x^2 - 6x - 7)
$$
b) Bruk det du fant i oppgave a), til å bestemme nullpunktene til $f$.
c) Bestem $x$-koordinater til eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til $f$.
---
## H2016 del 1 oppgave 8 — Lineær optimering med tre ulikheter
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2016 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Lineær optimering, Ulikheter
- **Kort beskrivelse:** Skravere området bestemt av tre lineære ulikheter og avgjøre om en gitt lineær likning har løsninger i området.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lineaer-optimering-med-tre-ulikheter/
### Oppgavetekst
Et område i planet er begrenset av de tre ulikhetene
$$
\begin{cases} y - 5x \leq 9 & \\ 5y - x \geq -3 \\ x + y \leq 3 \end{cases}
$$
a) Skraver området i et koordinatsystem.
b) Avgjør om det finnes punkter $(x, y)$ i det skraverte området som oppfyller likningen $3x + y = 5$.
---
## H2016 del 2 oppgave 1 — Billettpriser for elever og lærere
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2016 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Likningssystem, CAS
- **Kort beskrivelse:** Begrunne et lineært likningssystem fra to teaterregninger og løse det med CAS for å finne billettprisene.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/billettpriser-for-elever-og-laerere/
### Oppgavetekst
To skoleklasser har vært på teater. Rektor ved skolen får to regninger fra teateret.
Regning 1: 23 elever og 4 lærere, totalt 1760 kroner
Regning 2: 13 elever og 7 lærere, totalt 1445 kroner
a) Forklar at likningssystemet
$$
\begin{cases} 23x + 4y = 1760 & \\ 13x + 7y = 1445 \end{cases}
$$
kan brukes til å finne prisen per billett for elevene og for lærerne.
b) Bruk CAS til å bestemme billettprisene.
---
## H2016 del 2 oppgave 2 — Lotto med 34 kuler og sju vinnertall
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2016 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 7
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Hypergeometrisk fordeling, Sannsynlighet, Binomisk fordeling
- **Kort beskrivelse:** Begrunne et hypergeometrisk uttrykk, beregne kumulativ sannsynlighet og bruke binomisk modell for at et tall uteblir i flere spilleomganger.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lotto-med-34-kuler-og-sju-vinnertall/
### Oppgavetekst
I pengespillet Lotto legges 34 kuler i en beholder. Hver kule er nummerert med ett av tallene fra 1 til 34. Sju kuler trekkes tilfeldig uten tilbakelegging. Tallene på de sju kulene er vinnertallene.
a) Forklar at sannsynligheten for at nøyaktig 4 av vinnertallene er mindre enn 10, er gitt ved
$$
\frac{\binom{9}{4} \cdot \binom{25}{3}}{\binom{34}{7}}
$$
b) Bestem sannsynligheten for at 3 eller færre av vinnertallene er mindre enn 10.
Vi lar $p$ være sannsynligheten for at tallet 11 ikke er blant vinnertallene i en spilleomgang.
c) Vis at $p \approx 0{,}794$.
Kåre følger med i Lotto. I løpet av de 10 første spilleomgangene et år blir tallet 11 ikke trukket ut en eneste gang.
d) Bestem sannsynligheten for at dette skulle skje.
---
## H2016 del 2 oppgave 3 — Eksponentiell modell for elbiler
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2016 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 7
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Regresjon, Modellering, Graftolkning
- **Kort beskrivelse:** Finne en eksponentiell modell ved regresjon, bruke den til framskriving og sammenlikne med en tredjegradsmodell for bensin- og dieselbiler.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/eksponentiell-modell-for-elbiler/
### Oppgavetekst
Tabellen nedenfor viser det samlede antallet registrerte elbiler i Norge i årene 2010–2014.
| Årstall | 2010 | 2011 | 2012 | 2013 | 2014 |
|:--------------:|:-----:|:-----:|:-----:|:------:|:------:|
| Antall elbiler | 2 035 | 3 849 | 7 961 | 17 670 | 38 422 |
a) La $x$ være antall år etter 2010. Bestem en eksponentiell modell som passer med verdiene i tabellen.
b) Når vil det samlede antallet registrerte elbiler passere 200 000 dersom vi legger denne modellen til grunn?
En modell for antall registrerte bensin- og dieselbiler til privat bruk er gitt ved
$$
g(x) = -800x^3 - 600x^2 + 65\,000x + 2\,300\,000
$$
der $x$ er antall år etter 2010.
c) Bruk graftegner til å tegne grafene til $g$ og $f$ i samme koordinatsystem.
d) Når vil det ifølge modellene være flere registrerte elbiler enn privatbiler som går på bensin eller diesel?
---
## H2016 del 2 oppgave 4 — Parkeringsplass for biler og busser
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2016 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Lineær optimering, Ulikheter, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Sette opp ulikheter fra en arealsituasjon, skravere det lovlige området og maksimere parkeringsinntektene.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/parkeringsplass-for-biler-og-busser/
### Oppgavetekst
I et område planlegges en parkeringsplass for biler og busser. Det totale tilgjengelige parkeringsarealet er på $1000\mathrm{~m}^2$. Hver oppstillingsplass for biler skal være på $12\mathrm{~m}^2$, mens hver oppstillingsplass for busser skal være på $50\mathrm{~m}^2$. Parkeringsplassen har lov til å ta imot maksimalt 60 kjøretøy.
La $x$ være antall biler, og la $y$ være antall busser på parkeringsplassen.
a) Forklar at opplysningene gir følgende ulikheter:
$$
\begin{cases} x \geq 0 & \\ y \geq 0 \\ x + y \leq 60 \\ 6x + 25y \leq 500 \end{cases}
$$
b) Skraver området som er begrenset av ulikhetene ovenfor, i et koordinatsystem.
Timeprisen for parkering er 30 kroner for biler og 100 kroner for busser.
c) Hvor mange biler og hvor mange busser må stå på plassen for at inntektene skal bli størst mulig? Hva blir inntektene da?
---
## V2015 del 1 oppgave 1 — Andregrads- og logaritmelikning
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Likninger, Andregradslikninger, Logaritmer
- **Kort beskrivelse:** Løse andregradslikning med abc-formelen og logaritmelikning ved hjelp av logaritmeregler.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/andregrads-og-logaritmelikning-s1-v15/
### Oppgavetekst
Løs likningene
a)
$$
2x^2 - 6x + 4 = 0
$$
b)
$$
2\lg x - \lg 2 = \lg(4 - x)
$$
---
## V2015 del 1 oppgave 2 — Rettvinklet trekant med likningssystem
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Likningssystem, Geometri, Rettvinklet trekant
- **Kort beskrivelse:** Begrunne og løse et likningssystem bygd på Pytagoras for å finne sidene i en rettvinklet trekant.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/rettvinklet-trekant-med-likningssystem/
### Oppgavetekst
$\triangle ABC$ er rettvinklet. Et punkt $P$ på $AC$ er plassert slik at $PA + AB = PC + CB$. Vi setter $PC = x$ og $CB = y$.
a) Forklar at likningssystemet nedenfor kan brukes til å regne ut sidene i trekanten.
$$
\begin{cases} x + y = 30 & \\ (10 + x)^2 + 400 = y^2 \end{cases}
$$
b) Bestem $x$ og $y$ ved å løse likningssystemet.
---
## V2015 del 1 oppgave 3 — Forenkling med kvadratsetninger og potenser
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Algebra, Potenser, Faktorisering
- **Kort beskrivelse:** Forenkle uttrykk med kvadratsetningene og med potensregler for brøk.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/forenkling-med-kvadratsetninger-og-potenser/
### Oppgavetekst
Skriv så enkelt som mulig
a)
$$
(a + 1)^2 - 2(a - 1)(a + 1) + (a - 1)^2
$$
b)
$$
\dfrac{(2a^2)^{-1}(3b)^2}{(3a^2 b^{-1})^2}
$$
---
## V2015 del 1 oppgave 4 — Tredjegradsfunksjon med parallelle tangenter
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 7
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Funksjonsdrøfting, Tangent
- **Kort beskrivelse:** Derivere en tredjegradsfunksjon, finne topp-/bunnpunkt og tangentlikning, og bestemme tangeringspunkt for en parallell tangent.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tredjegradsfunksjon-med-parallelle-tangenter/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ er gitt ved
$$
f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 4 \quad , \quad D_f = \mathbb{R}
$$
a) Bestem $f'(x)$.
b) Bestem eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til $f$.
c) Bestem likningen til tangenten til grafen i punktet $(0, f(0))$.
d) Grafen til $f$ har en annen tangent som er parallell med tangenten du fant i oppgave c). Bestem tangeringspunktet for denne tangenten.
---
## V2015 del 1 oppgave 5 — Lineær optimering med ulikhetsområde
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Ulikheter, Lineær optimering, Lineære funksjoner
- **Kort beskrivelse:** Skravere et område avgrenset av lineære ulikheter og maksimere $3x + 2y$ over området.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lineaer-optimering-med-ulikhetsomrade/
### Oppgavetekst
Et område $D$ er bestemt av ulikhetene
$$
\begin{aligned} x + y &\leq 5 \\ y - x &\geq 1 \\ x &\geq -1 \end{aligned}
$$
a) Skraver området $D$ i et koordinatsystem.
b) Bestem punktet $(x, y)$ i området $D$ slik at $3x + 2y$ blir størst mulig.
---
## V2015 del 1 oppgave 6 — Overskudd ved vareproduksjon
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Kostnadsfunksjon, Optimering, Andregradsfunksjon
- **Kort beskrivelse:** Sette opp overskuddsfunksjon fra kostnad og pris, og finne produksjonsmengden som gir størst overskudd.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/overskudd-ved-vareproduksjon-s1-v15/
### Oppgavetekst
En bedrift regner med at kostnadene i kroner ved å produsere $x$ enheter av en vare per dag er gitt ved
$$
K(x) = 0{,}25x^2 + 100x + 5000 \quad , \quad x \in [0,\ 400]
$$
Bedriften selger alle varene de produserer for 200 kroner per enhet.
a) Forklar at overskuddet $O$ per dag er gitt ved
$$
O(x) = -0{,}25x^2 + 100x - 5000
$$
b) Bestem den produksjonsmengden som gir størst overskudd per dag. Hva blir det største overskuddet?
---
## V2015 del 1 oppgave 7 — Trekking av røde og blå kuler
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Hypergeometrisk fordeling, Binomisk fordeling
- **Kort beskrivelse:** Beregne sannsynligheter ved trekking av kuler både uten (hypergeometrisk) og med (binomisk) tilbakelegging.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/trekking-av-rode-og-bla-kuler/
### Oppgavetekst
I oppgaven kan du få bruk for disse formlene:
Binomisk fordeling:
$$
P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n-k}
$$
Antall uavhengige forsøk er $n$. $X$ er antall ganger $A$ inntreffer. $P(A) = p$ i hvert forsøk.
Hypergeometrisk fordeling:
$$
P(X = k) = \frac{\binom{m}{k} \cdot \binom{n-m}{r-k}}{\binom{n}{r}}
$$
$m$ elementer i $D$. $n - m$ elementer i $\bar{D}$. $r$ elementer trekkes tilfeldig. $X$ er antall elementer som trekkes fra $D$.
I en boks ligger det 3 røde og 4 blå kuler. Thomas skal trekke tilfeldig ut 3 kuler uten tilbakelegging.
a) Bestem sannsynligheten for at 2 av de 3 kulene han trekker, er røde.
b) Bestem sannsynligheten for at han trekker ut flere røde enn blå kuler.
Thomas skal så trekke tilfeldig ut 3 kuler med tilbakelegging.
c) Bestem sannsynligheten for at 2 av de 3 kulene han trekker, er røde.
---
## V2015 del 1 oppgave 8 — Gjenkjenne grafer til fire funksjoner
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Graftolkning, Rasjonale funksjoner, Funksjonsdrøfting
- **Kort beskrivelse:** Begrunne hvilke av fire gitte funksjoner som hører til to skisserte grafer ut fra asymptoter og form.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/gjenkjenne-grafer-til-fire-funksjoner/
### Oppgavetekst
Funksjonene $f$, $g$, $h$ og $k$ er gitt ved
$$
f(x) = x^3 + x^2 - 2x + 2 \qquad h(x) = \frac{2x + 3}{x - 1}
$$
$$
g(x) = \frac{x + 3}{x - 1} \qquad k(x) = 2x^3 - 6x + 2
$$
På figuren nedenfor er det tegnet grafen til to av disse funksjonene.
a) Hvilken funksjon gir graf A? Begrunn svaret.
b) Hvilken funksjon gir graf B? Begrunn svaret.
---
## V2015 del 1 oppgave 9 — Eksponentiallikning med 9ˣ og substitusjon
- **Fag:** R1, S1
- **Eksamen:** Vår 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 9
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Eksponentialfunksjon, Likninger, Substitusjon
- **Kort beskrivelse:** Løse $9^x - 3^x - 12 = 0$ ved å skrive $9^x = (3^x)^2$ og substituere $u = 3^x$.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/eksponentiallikning-med-9x-og-substitusjon/
### Oppgavetekst
Løs likningen
$$
9^x - 3^x - 12 = 0
$$
---
## V2015 del 2 oppgave 1 — Sannsynlighet for fornøyde elever
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2015 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Binomisk fordeling, Hypergeometrisk fordeling
- **Kort beskrivelse:** Beregne binomiske sannsynligheter (akkurat og minst) og en hypergeometrisk sannsynlighet med digitale hjelpemidler.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sannsynlighet-for-fornoyde-elever/
### Oppgavetekst
En undersøkelse viser at 70 % av norske arbeidstakere er fornøyde med den utdanningen de har valgt. I en ungdomsskoleklasse er det 30 elever.
a) Bestem sannsynligheten for at akkurat 21 av elevene kommer til å bli fornøyde med utdanningen de velger.
b) Bestem sannsynligheten for at minst 25 av elevene kommer til å bli fornøyde med utdanningen de velger.
I klassen er det 15 gutter og 15 jenter. Blant disse skal det trekkes ut 6 elever som skal delta i en undersøkelse.
c) Bestem sannsynligheten for at det blir trukket ut flere jenter enn gutter.
---
## V2015 del 2 oppgave 2 — Andregradsregresjon for produksjonskostnader
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2015 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Regresjon, Kostnadsfunksjon, Optimering
- **Kort beskrivelse:** Finne andregrads kostnadsmodell ved regresjon og bruke den til å bestemme nullpunkt for overskudd og største overskudd.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/andregradsregresjon-for-produksjonskostnader/
### Oppgavetekst
En bedrift produserer en bestemt vare. Tabellen nedenfor viser sammenhengen mellom antall produserte enheter av varen per uke og de totale kostnadene.
| Antall produserte enheter per uke, $x$ | 80 | 120 | 170 | 330 | 420 | 700 |
|:--------------------------------------:|:------:|:------:|:------:|:------:|:------:|:-------:|
| Totale kostnader i kroner, $K(x)$ | 27 000 | 31 000 | 36 500 | 59 000 | 74 500 | 137 000 |
a) Bestem en andregradsfunksjon $K$ som med god tilnærming kan brukes til å beregne kostnadene $K(x)$. Hva blir kostnadene i en uke der det produseres 220 enheter?
Varen selges for 250 kroner per enhet.
b) Bestem hvor mange enheter bedriften må produsere og selge for å få overskudd.
c) Bestem det største overskuddet som bedriften kan oppnå med denne prisen. Hvor mange enheter må bedriften produsere og selge for å få størst mulig overskudd?
---
## V2015 del 2 oppgave 3 — Avkjøling av metall hos en smed
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2015 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Eksponentialfunksjon, Modellering, Graftolkning
- **Kort beskrivelse:** Bruke en eksponentiell temperaturmodell til å lese av starttemperatur, bestemme bearbeidingstid og regne motsatt vei for ekstra tid.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/avkjoling-av-metall-hos-en-smed/
### Oppgavetekst
En smed skal bearbeide et metallstykke. Metallet lar seg bearbeide bare når temperaturen er $150\ \degree\text{C}$ eller høyere. Temperaturen $T$, målt i grader celsius, er gitt ved
$$
T(x) = 470 \cdot 0{,}95^x + 30
$$
der $x$ er tiden, målt i minutter, etter at metallstykket blir tatt ut av ovnen.
a) Bruk graftegner til å tegne grafen til $T$. Bestem temperaturen til metallet idet det blir tatt ut av ovnen.
b) Hvor lang tid har smeden på seg til å bearbeide metallstykket? Hva er temperaturen i rommet der smeden arbeider?
c) Smeden ønsker 10 min ekstra tid til å bearbeide metallet. Hva må i så fall temperaturen i metallet være når han starter bearbeidingen?
---
## V2015 del 2 oppgave 4 — Optimering av eskevolum med CAS
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2015 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Optimering, Derivasjon, CAS
- **Kort beskrivelse:** Sette opp volumfunksjon for en brettet eske, maksimere den med CAS og generalisere det maksimale volumet for vilkårlig sidelengde.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/optimering-av-eskevolum-med-cas/
### Oppgavetekst
En bedrift lager esker av kvadratiske pappstykker med side lik 6 dm. Dette gjør de ved å klippe ut hjørner som vist nedenfor og brette langs de stiplede linjene.
a) Forklar at volumet $V$, målt i kubikkdesimeter, til hver eske er gitt ved
$$
V(x) = 8x^3 - 36x^2 + 36x \quad , \quad x \in \langle 0,\ 1{,}5 \rangle
$$
b) Bruk CAS til å bestemme $x$ slik at volumet blir størst mulig. Bestem dette største volumet.
Bedriften skal også lage andre esker der de bruker kvadratiske pappstykker med side lik $a$ dm. De klipper og bretter på samme måte som ovenfor.
c) Bruk CAS til å vise at det maksimale volumet til disse eskene er $\dfrac{\sqrt{3}}{36}a^3$.
---
## H2015 del 1 oppgave 1 — Tre likninger med logaritme og potens
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Andregradslikninger, Eksponentiallikning, Logaritmelikning
- **Kort beskrivelse:** Løse en andregradslikning, en eksponentiallikning med lik grunntall og en logaritmelikning.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tre-likninger-med-logaritme-og-potens/
### Oppgavetekst
Løs likningene nedenfor
a)
$$
2x^2 - 3x = 0
$$
b)
$$
2^{3x+1} = 4^{17}
$$
c)
$$
\lg(2x + 2) = 3 + \lg 2
$$
---
## H2015 del 1 oppgave 2 — Forenkling av potens- og kvadratuttrykk
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Potensregning, Algebra, Kvadratsetninger
- **Kort beskrivelse:** Forenkle et potensuttrykk med potensreglene og et uttrykk ved hjelp av kvadratsetningene.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/forenkling-av-potens-og-kvadratuttrykk/
### Oppgavetekst
Skriv uttrykkene så enkelt som mulig
a)
$$
\dfrac{8a^3(a^{-1}b)^2}{(2ab)^2}
$$
b)
$$
(x+y)(x-y) + (y+x)(y-x) - (x+y)(x-y)
$$
---
## H2015 del 1 oppgave 3 — Likningssystem med andregradsledd
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Likningssystem, Andregradslikninger
- **Kort beskrivelse:** Løse et ikke-lineært likningssystem med ett andregradsledd ved innsettingsmetoden.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/likningssystem-med-andregradsledd/
### Oppgavetekst
Løs likningssystemet
$$
\begin{cases} 2x^2 + x + y = 7 & \\ 3x + y = -5 \end{cases}
$$
---
## H2015 del 1 oppgave 4 — Andregradsulikhet med faktorer
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Andregradsulikhet, Fortegnslinje
- **Kort beskrivelse:** Løse en faktorisert andregradsulikhet med negativ koeffisient ved hjelp av fortegnslinje.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/andregradsulikhet-med-faktorer/
### Oppgavetekst
Løs ulikheten
$$
-3(x-2)(x+1) < 0
$$
---
## H2015 del 1 oppgave 5 — Vekstfart og monotoni for tredjegradsfunksjon
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Vekstfart, Funksjonsdrøfting
- **Kort beskrivelse:** Regne gjennomsnittlig vekstfart, bruke den deriverte til å avgjøre stigning og finne x-verdier til topp- og bunnpunkt.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/vekstfart-og-monotoni-for-tredjegradsfunksjon/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ er gitt ved
$$
f(x) = x^3 - x^2 - x + 3
$$
a) Bestem funksjonens gjennomsnittlige vekstfart i intervallet $[0, 2]$.
b) Bestem $f'(x)$ og bruk denne til å avgjøre om grafen til $f$ stiger eller synker for $x = 0$.
c) Bestem $x$-verdien til eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til $f$.
---
## H2015 del 1 oppgave 6 — Skisse av rasjonal funksjon med asymptoter
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Rasjonale funksjoner, Asymptoter, Skjæringspunkt
- **Kort beskrivelse:** Finne skjæringspunkter med aksene og skissere grafen til en rasjonal funksjon med loddrett og vannrett asymptote.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/skisse-av-rasjonal-funksjon-med-asymptoter/
### Oppgavetekst
Funksjonen $g$ er gitt ved
$$
g(x) = \frac{2x - 3}{x + 1} \qquad , \qquad x \neq -1
$$
a) Bestem grafens skjæringspunkter med koordinataksene.
b) Lag en skisse av grafen til $g$ med eventuelle asymptoter i et koordinatsystem.
---
## H2015 del 1 oppgave 7 — Pascals talltrekant og brusflasker
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Kombinatorikk, Sannsynlighet, Pascals trekant
- **Kort beskrivelse:** Skrive Pascals talltrekant, telle kombinasjoner ved uordnet trekning og finne sannsynlighet for at et bestemt element velges.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/pascals-talltrekant-og-brusflasker/
### Oppgavetekst
a) Skriv ned de 6 første radene i Pascals talltrekant.
I kjøleskapet står det fem flasker brus: sitronbrus, appelsinbrus, pærebrus, champagnebrus og cola. Erik skal hente tre av flaskene.
b) Hvor mange mulige kombinasjoner av flasker kan han velge?
Erik tar tilfeldig tre flasker.
c) Bestem sannsynligheten for at colaflasken er én av de tre.
---
## H2015 del 1 oppgave 8 — Lineær optimering av poteter og gulrøtter
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Lineær optimering, Ulikheter, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Sette opp ulikheter for et arealproblem, skravere mulighetsområdet og maksimere inntekten i et hjørnepunkt.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lineaer-optimering-av-poteter-og-gulrotter/
### Oppgavetekst
En bonde eier et område som er 15 dekar stort. Han vil dyrke poteter og gulrøtter.
Det tar 5 timer å klargjøre 1 dekar for gulrotdyrking og 2,5 timer å klargjøre 1 dekar for potetdyrking. Han kan maksimalt bruke 50 timer på å klargjøre området.
Bonden lurer på hvor stor del av arealet han bør bruke til gulrøtter, og hvor stor del han bør bruke til poteter, for at inntekten skal bli størst mulig.
Vi tenker oss at han bruker $x$ dekar til gulrotdyrking og $y$ dekar til potetdyrking.
a) Forklar at situasjonen ovenfor gir oss følgende ulikheter
$$
\begin{aligned} x &\geq 0 \\ y &\geq 0 \\ x + y &\leq 15 \\ 2x + y &\leq 20 \end{aligned}
$$
b) Skraver i et koordinatsystem området som er begrenset av ulikhetene.
Bonden regner med at inntekten fra avlingen er 12 000 kroner for hvert dekar han bruker til gulrøtter, og 8000 kroner for hvert dekar han bruker til poteter.
c) Hvor stor del av arealet må han bruke til gulrøtter, og hvor stor del må han bruke til poteter, for at den samlede inntekten skal bli størst mulig? Hvor stor blir inntekten da?
---
## H2015 del 1 oppgave 9 — Eksponentiallikning med substitusjon
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 9
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Eksponentiallikning, Substitusjon, Andregradslikninger
- **Kort beskrivelse:** Løse en eksponentiallikning ved å substituere $u = 2^x$ og løse den tilhørende andregradslikningen.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/eksponentiallikning-med-substitusjon-s1-h15/
### Oppgavetekst
Løs likningen
$$
4^x - 6 \cdot 2^x + 8 = 0
$$
---
## H2015 del 2 oppgave 1 — Hypergeometrisk trekking til muntlig eksamen
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2015 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Hypergeometrisk fordeling
- **Kort beskrivelse:** Beregne hypergeometriske sannsynligheter ved trekking av elever, inkludert komplementhendelse og betingelse på en bestemt elev.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/hypergeometrisk-trekking-til-muntlig-eksamen/
### Oppgavetekst
I en S1-gruppe er det 10 gutter og 15 jenter. Geir er elev i gruppen. Seks av elevene skal trekkes ut til muntlig eksamen i faget. Vi går ut fra at det skjer ved loddtrekning.
a) Bestem sannsynligheten for at det blir trukket ut 3 gutter og 3 jenter.
b) Bestem sannsynligheten for at det blir trukket ut både gutter og jenter.
c) Bestem sannsynligheten for at det blir trukket ut 3 gutter og 3 jenter, der Geir er én av guttene.
---
## H2015 del 2 oppgave 2 — BMI-formel med likningssystem
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2015 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Formler, Likningssystem, CAS
- **Kort beskrivelse:** Regne ut og løse BMI-formelen for ukjent variabel, og sette opp og løse et likningssystem med CAS for to personers høyde og vekt.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/bmi-formel-med-likningssystem/
### Oppgavetekst
Kroppsmasseindeksen $BMI$ er en internasjonal standard som brukes for å si noe om vekt i forhold til høyde hos voksne mennesker. Formelen som brukes, er
$$
BMI = \frac{m}{h^2}
$$
Her er $m$ vekten i kilogram, mens $h$ er høyden i meter.
a) Bestem $BMI$ for en person som veier $78\mathrm{~kg}$ og er $177\mathrm{~cm}$ høy.
b) Bestem høyden til en person som veier $85\mathrm{~kg}$ og har $BMI$ lik $28$.
Svein er 4 kg tyngre og 4 cm høyere enn Terje. Begge har $BMI$ lik $28$.
c) Sett opp et likningssystem og bruk CAS til å bestemme høyde og vekt for Svein og Terje.
---
## H2015 del 2 oppgave 3 — Regresjon for månedslønnsutvikling
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2015 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Regresjon, Eksponentialfunksjon, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Finne eksponentiell regresjonsmodell for lønn, tolke vekstfaktor, lage prisutviklingsmodell og bestemme når modellene avviker med et gitt beløp.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/regresjon-for-manedslonnsutvikling/
### Oppgavetekst
Tabellen nedenfor viser gjennomsnittlig månedslønn for heltidsansatte norske arbeidstakere i noen år i tidsrommet 1998–2008.
| Årstall | 1998 | 2000 | 2002 | 2004 | 2006 | 2008 |
|:----------------------------|:------:|:------:|:------:|:------:|:------:|:------:|
| Gjennomsnittlig månedslønn | 21 600 | 23 600 | 26 350 | 28 250 | 30 550 | 34 250 |
a) Bruk regresjon til å finne en eksponentialfunksjon som beskriver månedslønnen som funksjon av antall år etter 1998. Hva er den årlige prosentvise lønnsveksten ifølge denne modellen?
b) Hva blir gjennomsnittlig månedslønnen i 2015 ifølge denne modellen?
Prisene på varer og tjenester har økt med ca. 2,5 % per år de siste tiårene.
c) Lag en modell for den gjennomsnittlige månedslønnen $x$ år etter 1998 dersom lønnen følger prisutviklingen.
d) I hvilket år ville modellen i oppgave a) ha gitt en gjennomsnittlig månedslønn som er 10 000 kroner høyere enn den gjennomsnittlige månedslønnen i modellen i oppgave c)?
---
## H2015 del 2 oppgave 4 — Rektangel under fallende graf med CAS
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2015 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Optimering, Areal og omkrets, CAS
- **Kort beskrivelse:** Sette opp arealfunksjonen til et innskrevet rektangel og bestemme dimensjoner for gitt og maksimalt areal med graftegner og CAS.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/rektangel-under-fallende-graf-med-cas/
### Oppgavetekst
På figuren nedenfor ser du grafen til funksjonen $f$ gitt ved
$$
f(x) = \frac{5}{x^2 + 2} \qquad , \qquad x > 0
$$
Rektangelet $OABC$ er laget slik at $B$ ligger på grafen til $f$.
a) Vis at arealet $F$ til rektangelet kan skrives som
$$
F(x) = \frac{5x}{x^2 + 2}
$$
b) Bruk graftegner til å bestemme $x$ slik at rektangelet får areal lik $1{,}0$.
c) Bruk CAS til å bestemme eksakt $x$-verdi når rektangelet har størst mulig areal. Bestem det største arealet.
---
## E2015 del 1 oppgave 1 — Derivasjon av to polynomfunksjoner
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Polynomfunksjoner
- **Kort beskrivelse:** Derivere to polynomfunksjoner og regne ut en derivert i et gitt punkt.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/derivasjon-av-to-polynomfunksjoner/
### Oppgavetekst
a) Bestem $f'(x)$ når $f(x) = 3x^2 - 4x + 2$.
b) Bestem $g'(2)$ når $g(x) = 3x^3 - 3$.
---
## E2015 del 1 oppgave 2 — Forenkle potens logaritme og rasjonalt uttrykk
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Potensregning, Logaritmer, Rasjonale uttrykk
- **Kort beskrivelse:** Forenkle et potensuttrykk, et logaritmeuttrykk og et rasjonalt uttrykk ved faktorisering.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/forenkle-potens-logaritme-og-rasjonalt-uttrykk/
### Oppgavetekst
Skriv så enkelt som mulig
a)
$$
\frac{2^{-1} \cdot a \cdot b^{-1}}{4^{-1} \cdot a^{-2} \cdot b^2}
$$
b)
$$
\lg(a^2 \cdot b) + \lg(a \cdot b^2) + \lg\left(\frac{a}{b^3}\right)
$$
c)
$$
\frac{3a^2 - 75}{6a + 30}
$$
---
## E2015 del 1 oppgave 3 — Konjugatsetningen i hoderegning
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Konjugatsetningen, Faktorisering
- **Kort beskrivelse:** Bruke konjugatsetningen (tredje kvadratsetning) til å regne ut to talluttrykk uten kalkulator.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/konjugatsetningen-i-hoderegning/
### Oppgavetekst
Bruk konjugatsetningen (3. kvadratsetning) til å regne ut
a)
$$
\frac{61^2 - 39^2}{51^2 - 49^2}
$$
b)
$$
1997 \cdot 2003 - 1993 \cdot 2007
$$
---
## E2015 del 1 oppgave 4 — Skjæringspunkt mellom parabel og linje
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Skjæringspunkt, Andregradslikninger, Funksjoner
- **Kort beskrivelse:** Bestemme skjæringspunktene mellom grafen til en andregradsfunksjon og en lineær funksjon ved likning.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/skjaeringspunkt-mellom-parabel-og-linje/
### Oppgavetekst
Funksjonene $f(x) = x^2 - x - 2$ og $g(x) = x + 1$ er gitt.
Bestem koordinatene til skjæringspunktene mellom grafen til $f$ og grafen til $g$.
---
## E2015 del 1 oppgave 5 — Tre likninger med potenser og andregrad
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Likninger, Andregradslikninger, Potensregning
- **Kort beskrivelse:** Løse en andregradslikning, en eksponentiallikning og en likning med summen av like potensledd.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tre-likninger-med-potenser-og-andregrad/
### Oppgavetekst
Løs likningene
a)
$$
3x^2 = 18 - 3x
$$
b)
$$
3 \cdot 2^x = 24
$$
c)
$$
3^8 + 3^8 + 3^8 + 3^8 + 3^8 + 3^8 + 3^8 + 3^8 + 3^8 = 3^x
$$
---
## E2015 del 1 oppgave 6 — Formel for x og likningssystem med parabel
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Logaritmer, Likningssystem, Andregradslikninger
- **Kort beskrivelse:** Løse en eksponentiallikning for eksponenten med logaritme og løse et likningssystem av en parabel og en linje.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/formel-for-x-og-likningssystem-med-parabel/
### Oppgavetekst
a) Bestem en formel for $x$ uttrykt ved $a$, $y$ og $b$ når $y = a \cdot b^x$.
b) Løs likningssystemet
$$
\begin{cases} y = x^2 - 3x - 2 & \\ y + 2 = 2x \end{cases}
$$
---
## E2015 del 1 oppgave 7 — Fortegnslinje og graf av tredjegradsfunksjon
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Funksjonsdrøfting, Fortegnslinje
- **Kort beskrivelse:** Derivere en tredjegradsfunksjon, bruke fortegnslinje for den deriverte til å finne topp- og bunnpunkt og skissere grafen.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/fortegnslinje-og-graf-av-tredjegradsfunksjon/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ er gitt ved
$$
f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x \quad , \quad D_f = \mathbb{R}
$$
a) Bestem $f'(x)$.
b) Tegn fortegnslinjen til $f'(x)$ og bruk denne til å finne topp- og bunnpunktet på grafen til $f$. Lag en skisse av grafen til $f$.
---
## E2015 del 1 oppgave 7 — Implikasjon eller ekvivalens mellom andregradslikning og løsning
- **Fag:** R1, S1
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Argumentasjon, Andregradslikninger, Likninger
- **Kort beskrivelse:** Velge riktig logisk symbol ($\Rightarrow$, $\Leftarrow$ eller $\Leftrightarrow$) mellom $x^2+5x+6=0$ og $x=-2$, og begrunne valget.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/implikasjon-eller-ekvivalens-mellom-andregradslikning-og-losning/
### Oppgavetekst
Skriv av og sett $\Rightarrow$ eller $\Leftarrow$ eller $\Leftrightarrow$ mellom utsagnene nedenfor, og begrunn valget ditt.
$$
x^2 + 5x + 6 = 0 \quad \Box \quad x = -2
$$
---
## E2015 del 1 oppgave 8 — Definisjonen av den deriverte
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Grenseverdi
- **Kort beskrivelse:** Bruke grensedefinisjonen av den deriverte til å vise at $f'(x) = 2x + 2$ for $f(x) = x^2 + 2x$.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/definisjonen-av-den-deriverte/
### Oppgavetekst
En funksjon $f$ er gitt ved
$$
f(x) = x^2 + 2x \quad , \quad D_f = \mathbb{R}
$$
Bruk definisjonen til den deriverte til å vise at $f'(x) = 2x + 2$.
---
## E2015 del 1 oppgave 10 — Pascals trekant og binomialkoeffisienter
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 10
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Pascals trekant, Kombinatorikk
- **Kort beskrivelse:** Fylle ut tabell med trekanttall og delsummer fra Pascals trekant og uttrykke dem som binomialkoeffisienter.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/pascals-trekant-og-binomialkoeffisienter/
### Oppgavetekst
På figuren er det tegnet et utsnitt av Pascals trekant. Vi har markert trekanttallene $a_n$ og delsummene $S_n$ av disse.
a) Skriv av og fyll ut tabellen.
| $n$ | $a_n$ | $a_n$ | $S_n$ | $S_n$ |
|:---:|:-----:|:-------------------:|:-----:|:-------------------:|
| 1 | 1 | $\binom{2}{2}$ | 1 | $\binom{3}{3}$ |
| 2 | 3 | $\binom{3}{2}$ | 4 | |
| 3 | 6 | | 10 | $\binom{5}{3}$ |
| 4 | 10 | | 20 | |
| 5 | 15 | | 35 | |
b) Se på mønsteret i tabellen, og foreslå hvordan vi kan skrive $a_n$ og $S_n$ som binomialkoeffisienter.
---
## E2015 del 1 oppgave 11 — Lagringskapasitet for minnepinner med likningssystem
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 11
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Likningssystem, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Sette opp og løse et likningssystem med to ukjente for å bestemme lagringskapasiteten til to typer minnepinner.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lagringskapasitet-for-minnepinner-med-likningssystem/
### Oppgavetekst
To ulike typer minnepinner har forskjellig lagringskapasitet. Én minnepinne av type 1 og tre av type 2 har en lagringskapasitet på til sammen 100 Gb (gigabyte). To minnepinner av type 1 og fire av type 2 har en lagringskapasitet på til sammen 144 Gb.
Bestem lagringskapasiteten til type 1 og lagringskapasiteten til type 2.
---
## E2015 del 1 oppgave 12 — Graf av rasjonal funksjon med asymptoter
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 12
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Rasjonale funksjoner, Graftegning, Asymptoter
- **Kort beskrivelse:** Tegne grafen til en rasjonal funksjon på et avgrenset definisjonsmengde uten verdien $x=1$.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/graf-av-rasjonal-funksjon-med-asymptoter/
### Oppgavetekst
En funksjon $f$ er gitt ved
$$
f(x) = \frac{2x - 4}{x - 1} \quad , \quad D_f = \langle -3,\, 5 \rangle \setminus \{1\}
$$
Tegn grafen til $f$.
---
## E2015 del 1 oppgave 13 — Skravere område avgrenset av fire ulikheter
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2015 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 13
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Lineær optimering, Ulikheter
- **Kort beskrivelse:** Tegne fire lineære ulikheter i et koordinatsystem og skravere området som tilfredsstiller alle.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/skravere-omrade-avgrenset-av-fire-ulikheter/
### Oppgavetekst
Vi har gitt ulikhetene
$$
\begin{aligned} x &\geq 0 \\ y &\geq 0 \\ x + 2y &\leq 6 \\ 2x + y &\leq 6 \end{aligned}
$$
Tegn ulikhetene inn i et koordinatsystem. Skraver det området i koordinatsystemet som tilfredsstiller *alle* ulikhetene.
---
## E2015 del 2 oppgave 1 — Rett prisme med likningssystem og CAS
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2015 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Likningssystem, Geometri, CAS
- **Kort beskrivelse:** Begrunne et likningssystem for volum, romdiagonal og overflate i et prisme, og bestemme sidelengdene med CAS.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/rett-prisme-med-likningssystem-og-cas/
### Oppgavetekst
Et rett prisme har sidene $a$, $b$ og $c$. Volumet er 200, diagonalen $d$ (inne i prismet) er $\sqrt{141}$ og overflaten er 220. Se skissen nedenfor.
a) Vis at vi kan stille opp følgende likningssystem utfra opplysningene om prismet.
$$
\begin{cases} abc = 200 & \\ a^2 + b^2 + c^2 = 141 \\ ab + bc + ac = 110 \end{cases}
$$
b) Bruk CAS til å bestemme lengden av sidene $a$, $b$ og $c$.
---
## E2015 del 2 oppgave 2 — Andregradsregresjon for brødproduksjon
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2015 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Regresjon, Kostnadsfunksjon, Optimering
- **Kort beskrivelse:** Vise at en andregradsmodell passer kostnadsdata, sette opp overskuddsfunksjon og finne størst overskudd med graftegner.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/andregradsregresjon-for-brodproduksjon/
### Oppgavetekst
Et bakeri lager og selger et populært brød. Tabellen under viser sammenhengen mellom antall bakte brød $x$ og kostnadene $K(x)$.
| $x$ | 50 | 100 | 150 | 200 | 250 |
|:------:|:---:|:---:|:---:|:---:|:----:|
| $K(x)$ | 190 | 280 | 489 | 878 | 1323 |
a) Bruk graftegner til å vise at
$$
K(x) = 0{,}025x^2 - 1{,}9x + 218
$$
er en god modell for kostnadsfunksjonen.
b) Utsalgsprisen per brød settes til 14 kroner. Vis at bakeriet vil få et overskudd på
$$
O(x) = -0{,}025x^2 + 15{,}9x - 218
$$
ved produksjon og salg av $x$ brød.
c) Bruk graftegner til å bestemme antallet brød som gir størst overskudd. Hvor stort blir dette overskuddet?
---
## E2015 del 2 oppgave 3 — Binomisk forsøk i Abelkonkurransen
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2015 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Binomisk fordeling
- **Kort beskrivelse:** Begrunne at tilfeldig gjetting på flervalgsoppgaver er et binomisk forsøk og beregne sannsynlighet for akkurat og minst fem rette.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/binomisk-forsok-i-abelkonkurransen/
### Oppgavetekst
Abelkonkurransen er en matematikkonkurranse i skolen. Den består av 20 spørsmål der hvert spørsmål har 5 svaralternativer. Vi vil i dette tilfellet trekke ut våre 20 svar helt tilfeldig uten å løse oppgavene.
a) Begrunn hvorfor vi kan se på denne trekningen som et binomisk forsøk.
b) Bestem sannsynligheten for å få akkurat 5 rette svar.
c) Bestem sannsynligheten for å få minst 5 rette hvis vi trekker ut svarene tilfeldig.
---
## E2015 del 2 oppgave 4 — Lineær optimering av pukk og veigrus
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2015 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Lineær optimering, Ulikheter, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Begrunne ulikheter fra mengde- og volumkrav og bestemme innkjøp av pukk og veigrus som gir størst inntekt.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lineaer-optimering-av-pukk-og-veigrus/
### Oppgavetekst
En forhandler selger pukk og veigrus til de lokale entreprenørene.
- Han kan importere maks 900 t veigrus og 1000 t pukk.
- Han kan bare importere til sammen $1000 \mathrm{~m^3}$ pukk og veigrus.
- $1 \mathrm{~m^3}$ veigrus veier $1{,}60$ t, og $1 \mathrm{~m^3}$ pukk veier $1{,}36$ t.
La $x$ være antall tonn veigrus som blir importert, og $y$ antall tonn pukk.
a) Forklar at opplysningene ovenfor gir oss følgende ulikheter:
$$
\begin{aligned} 0 &\leq x \leq 900 \\ 0 &\leq y \leq 1000 \\ 1{,}36x + 1{,}60y &\leq 2176 \end{aligned}
$$
Forhandleren selger veigrus til 74 kroner per tonn. Inntektene ved salg av $x$ tonn veigrus og $y$ tonn pukk er gitt ved
$$
F(x, y) = 74x + 106y
$$
b) Hva er utsalgsprisen for pukk?
c) Hvor mange tonn veigrus og pukk bør forhandleren kjøpe for å få størst inntekter?
---
## E2015 del 2 oppgave 5 — Maksimalt volum av eske med side a
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2015 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Optimering, Derivasjon, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Vise volumformelen for en eske brettet av et kvadrat med side $a$ og bestemme $x$ uttrykt ved $a$ som gir størst volum.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/maksimalt-volum-av-eske-med-side-a/
### Oppgavetekst
En bedrift lager esker av papp som er formet som et kvadrat med side $a > 0$. Et kvadrat med side $x$ klippes av i hvert hjørne.
a) Vis at volumet av esken kan skrives som
$$
V(x) = (a - 2x)^2 \cdot x
$$
b) Bestem $x$ uttrykt ved $a$ slik at volumet av esken blir størst mulig. Bestem det største volumet.
---
## E2015 del 2 oppgave 6 — Bestem a og b fra toppunkt og tangent
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2015 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Tangent, Likningssystem
- **Kort beskrivelse:** Bestemme de eksakte verdiene av $a$ og $b$ i en tredjegradsfunksjon ut fra et toppunkt og et oppgitt tangentstigningstall.
- **Kilde:** matematikk.net
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/bestem-a-og-b-fra-toppunkt-og-tangent/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ er gitt ved
$$
f(x) = ax^3 - bx - 2
$$
Grafen til $f$ har et toppunkt i $(2, f(2))$ og en tangent med stigningstall lik 2 i punktet $(1, f(1))$.
Bestem de eksakte verdiene for tallene $a$ og $b$.
---
## V2014 del 1 oppgave 1 — Andregrads- og logaritmelikning S1 V14
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2014 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Andregradslikninger, Logaritmelikning, Likninger
- **Kort beskrivelse:** Løse en andregradslikning og en logaritmelikning av formen $\lg(x+2) = 2\lg x$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/andregrads-og-logaritmelikning-s1-v14/
### Oppgavetekst
Løs likningene
a)
$$
-x^2 + 3x - 3 = 3 - 2x
$$
b)
$$
\lg(x + 2) = 2\lg x
$$
---
## V2014 del 1 oppgave 2 — Logaritmeuttrykk med tre ledd og brøker av a og b
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2014 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Logaritmer, Algebra
- **Kort beskrivelse:** Forenkle et sammensatt logaritmeuttrykk med tre ledd ved å bruke logaritmereglene for produkt, kvotient og potens.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/logaritmeuttrykk-med-tre-ledd-og-broker-av-a-og-b/
### Oppgavetekst
Skriv så enkelt som mulig
$$
2 \cdot \lg\left(\frac{a^2}{b^2}\right) + 3 \cdot \lg\left(\frac{b^2}{a}\right) + \lg\left(\frac{b}{a}\right)
$$
---
## V2014 del 1 oppgave 3 — Kvadratsetning og potensregler med to variable
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2014 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Algebra, Potenser
- **Kort beskrivelse:** Forenkle algebrauttrykk ved å bruke kvadratsetningen og potensreglene.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kvadratsetning-og-potensregler-med-to-variable/
### Oppgavetekst
Skriv så enkelt som mulig
a)
$$
2(a+b)^2 - 2(a-b)^2
$$
b)
$$
\dfrac{a^{-4} \cdot b^2 \cdot a^3}{(a^2 \cdot b)^{-3} \cdot a^0}
$$
---
## V2014 del 1 oppgave 4 — Rasjonal funksjon bestem a og b fra skjæringspunkter
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2014 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Rasjonale funksjoner, Likninger
- **Kort beskrivelse:** Bestemme konstantene $a$ og $b$ i $f(x) = \frac{ax+b}{x-1}$ fra gitte skjæringspunkter med aksene, og tegne grafen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/rasjonal-funksjon-bestem-a-og-b-fra-skjaeringspunkter/
### Oppgavetekst
En rasjonal funksjon $f$ er gitt ved
$$
f(x) = \frac{ax + b}{x - 1} \quad , \quad D_f = \mathbb{R} \setminus \{1\}
$$
Grafen til $f$ skjærer $x$-aksen i $x = 3$ og $y$-aksen i $y = 6$.
a) Bestem $a$ og $b$.
b) Tegn grafen til $f$.
---
## V2014 del 1 oppgave 5 — Pascals talltrekant og binomisk sannsynlighet
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2014 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Kombinatorikk, Binomisk fordeling, Sannsynlighet
- **Kort beskrivelse:** Bestemme ukjente verdier i Pascals talltrekant, bruke binomialteoremet og sette opp sannsynlighetstabell for binomisk forsøk.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/pascals-talltrekant-og-binomisk-sannsynlighet/
### Oppgavetekst
Figuren til høyre viser et utsnitt av Pascals talltrekant.
a) Bestem $x$ og $y$.
Nedenfor ser du utregningen $(a+b)^n$ for noen verdier av $n$.
$$
(a+b)^0 = 1
$$
$$
(a+b)^1 = 1 \cdot a + 1 \cdot b
$$
$$
(a+b)^2 = 1 \cdot a^2 + 2 \cdot ab + 1 \cdot b^2
$$
$$
(a+b)^3 = 1 \cdot a^3 + 3 \cdot a^2b + 3 \cdot ab^2 + 1 \cdot b^3
$$
$$
(a+b)^4 = 1 \cdot a^4 + 4 \cdot a^3b + 6 \cdot a^2b^2 + 4 \cdot ab^3 + 1 \cdot b^4
$$
b) Bruk mønsteret ovenfor til å regne ut $(a+b)^5$.
Et forsøk er sammensatt av tre uavhengige delforsøk. I hvert delforsøk ser vi om et utfall $A$ inntreffer eller ikke. Sannsynlighetene er $P(A) = a$ og $P(\bar{A}) = b$. Forsøket kan illustreres i et valgtre. Se figuren.
Vi lar $P(X = k)$ være sannsynligheten for at utfallet $A$ inntreffer $k$ ganger.
c) Skriv av og fyll ut sannsynlighetstabellen nedenfor.
| $k$ | 3 | 2 | 1 | 0 |
|---|---|---|---|---|
| $P(X = k)$ | $a^3$ | | | |
---
## V2014 del 1 oppgave 6 — Kostnad inntekt og overskudd med salgspris p
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2014 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Kostnadsfunksjon, Derivasjon, Optimering
- **Kort beskrivelse:** Vise at overskuddsfunksjonen $O(x) = -0{,}1x^2 + (10+p)x - 20000$ og optimere produksjon for gitt $p$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kostnad-inntekt-og-overskudd-med-salgspris-p/
### Oppgavetekst
En bedrift produserer $x$ enheter av en vare. Kostnadene $K$ (i kroner) er gitt ved
$$
K(x) = 0{,}1x^2 - 10x + 20000
$$
Inntektene $I$ (i kroner) er gitt ved
$$
I(x) = p \cdot x
$$
der $p$ er salgsprisen per enhet for varen.
a) Vis at overskuddet $O$ er gitt ved
$$
O(x) = -0{,}1x^2 + (10 + p)x - 20000
$$
b) Hvilken produksjonsmengde gir størst overskudd dersom $p = 140$?
c) For en bestemt salgspris $p$ er overskuddet størst når bedriften produserer og selger 2000 enheter. Hva er denne salgsprisen $p$?
---
## V2014 del 2 oppgave 1 — Varmetap gjennom vegg og vindu likningssystem
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2014 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Likningssystem, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Sette opp og løse et likningssystem for areal av veggflate og vindu gitt totalt varmetap på 2,0 kWh.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/varmetap-gjennom-vegg-og-vindu-likningssystem/
### Oppgavetekst
En arkitekt skal tegne et hus med total yttervegg på $120\ \mathrm{m^2}$. Ytterveggen består av isolert veggflate og vindu. Tabellen nedenfor viser varmetapet per time gjennom isolert veggflate og gjennom vindu under visse betingelser.
| | Areal (m²) | Varmetap (kWh/m²) |
|---|---|---|
| Isolert veggflate | $x$ | $0{,}009 \cdot x$ |
| Vindu | $y$ | $0{,}048 \cdot y$ |
a) Bestem det totale varmetapet per time gjennom ytterveggen dersom $20\ \mathrm{m^2}$ er vindu.
Det totale varmetapet gjennom ytterveggen per time skal være $2{,}0\ \mathrm{kWh}$.
b) Sett opp et likningssystem som kan brukes til å bestemme hvor mange kvadratmeter veggflate og hvor mange kvadratmeter vindu ytterveggen må ha.
Løs likningssystemet.
---
## V2014 del 2 oppgave 2 — Drøfting av fjerdegradsfunksjon med doble nullpunkter
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2014 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Funksjonsdrøfting, Andregradslikninger
- **Kort beskrivelse:** Finne skjæring med y-aksen, løse $f(x)=0$ og bruke $f'(x)$ til å bestemme topp- og bunnpunkter for $f(x) = x^4 - 8x^2 + 16$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/drofting-av-fjerdegradsfunksjon-med-doble-nullpunkter/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ er gitt ved
$$
f(x) = x^4 - 8x^2 + 16 \quad , \quad D_f = \mathbb{R}
$$
a) Bestem skjæringspunktet mellom grafen til $f$ og $y$-aksen.
b) Løs likningen $f(x) = 0$.
c) Bruk $f'(x)$ til å bestemme koordinatene til eventuelle topp- og bunnpunkt på grafen til $f$.
---
## V2014 del 2 oppgave 3 — Gjerding av rektangel med steinmur optimering
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2014 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Optimering, Modellering, Derivasjon, Rasjonale funksjoner
- **Kort beskrivelse:** Utlede gjerdeuttrykket $G(x) = \frac{1250}{x} + 2x - 15$ for rektangel med areal 625 m² og 15 m steinmur, og minimere $G$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/gjerding-av-rektangel-med-steinmur-optimering/
### Oppgavetekst
En bonde skal gjerde inn et rektangelformet område med areal $625\ \mathrm{m^2}$. Hun skal bruke en 15 m lang steinmur som en del av det inngjerdede området. Til resten av området skal hun bruke et gjerde med lengde $G$.
Området er skissert på figuren nedenfor. På skissen er sidene i rektangelet kalt $x$ og $y$.
a) Vis at lengden $G$ av gjerdet kan skrives som
$$
G(x) = \dfrac{1250}{x} + 2x - 15 \quad , \quad x > 15
$$
b) Tegn grafen til $G$.
c) Hva er det korteste gjerdet bonden kan bruke? Hva slags rektangel får vi da?
---
## V2014 del 2 oppgave 4 — Lærerutdannede som arbeider som lærere binomisk fordeling
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2014 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Binomisk fordeling, Sannsynlighet
- **Kort beskrivelse:** Binomisk fordeling med $p = 3/4$ og $n = 20$; beregne $P(X=15)$, $P(X>15)$ og minste $n$ for $P(X \geq 25) > 0{,}95$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/laererutdannede-som-arbeider-som-laerere-binomisk-fordeling/
### Oppgavetekst
Sommeren 2013 viste en undersøkelse at 3 av 4 som har tatt lærerutdanning, arbeidet som lærer. I en ny undersøkelse blir 20 personer som har tatt lærerutdanning, kontaktet.
a) Bestem sannsynligheten for at akkurat 15 av disse arbeider som lærer.
b) Bestem sannsynligheten for at flere enn 15 arbeider som lærer.
Det blir bestemt at flere personer med lærerutdanning skal kontaktes.
c) Hvor mange personer må delta i undersøkelsen for at sannsynligheten skal være større enn 95 % for at minst 25 av dem arbeider som lærer?
---
## V2014 del 2 oppgave 5 — Fortjeneste per enhet og maksimalt overskudd
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2014 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Optimering, Kostnadsfunksjon
- **Kort beskrivelse:** Maksimere fortjeneste per enhet $F(x) = -0{,}01x^2 + 0{,}3x + 120$, forklare $O(x) = x \cdot F(x)$ og bestemme produksjonsmengden som maksimerer overskuddet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/fortjeneste-per-enhet-og-maksimalt-overskudd/
### Oppgavetekst
En bedrift produserer og selger $x$ enheter av en vare per dag. Fortjenesten $F$ per enhet (målt i kroner) er gitt ved
$$
F(x) = -0{,}01x^2 + 0{,}3x + 120
$$
a) Hvor mange enheter må bedriften produsere for at fortjenesten per enhet skal bli størst mulig?
b) Forklar at overskuddet $O$ til bedriften per dag er gitt ved
$$
O(x) = x \cdot F(x)
$$
c) Bestem den produksjonsmengden som gjør overskuddet størst mulig.
Hvor stort er overskuddet da?
---
## V2014 del 2 oppgave 6 — Logaritmisk likning med to løsninger
- **Fag:** R1, S1
- **Eksamen:** Vår 2014 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Logaritmer, Likninger, Algebra
- **Kort beskrivelse:** Omforme og løse likningen $n^n \cdot (x/n)^{\lg x} = x^n$ ved å bruke logaritmeregler til å vise en faktorisert form og finne $x$ uttrykt ved $n$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/logaritmisk-likning-med-to-losninger/
### Oppgavetekst
Vi skal løse likningen nedenfor med hensyn på $x$
$$
n^n \cdot \left(\frac{x}{n}\right)^{\lg x} = x^n \,, \quad x > 0 \,, \quad n > 0
$$
a) Vis at denne likningen kan omformes til
$$
\lg\left(\frac{x}{n}\right)^{\lg x} = \lg\left(\frac{x}{n}\right)^n
$$
b) Vis at likningen videre kan skrives
$$
(\lg x - n) \cdot (\lg x - \lg n) = 0
$$
c) Bruk likningen i oppgave b) til å bestemme $x$ uttrykt ved $n$.
---
## V2014 del 2 oppgave 6 — Saft og syltetøy lineær optimering med ressursgrenser
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2014 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Lineær optimering, Ulikheter, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Sette opp ulikheter for produksjon av saft og syltetøy gitt bringebær-, jordbær- og kapasitetsgrenser, markere det tillatte området og maksimere fortjenesten.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/saft-og-syltetoy-lineaer-optimering-med-ressursgrenser/
### Oppgavetekst
Kari har startet en liten bedrift. Hun lager saft og syltetøy.
- For å lage 1 kg saft trenger hun 0,35 kg bringebær og 0,15 kg jordbær
- For å lage 1 kg syltetøy trenger hun 0,20 kg bringebær og 0,40 kg jordbær
- Hun klarer å lage inntil 900 kg saft og syltetøy til sammen per uke
En uke har hun tilgang på 250 kg bringebær og 300 kg jordbær.
La $x$ være antall kilogram saft og $y$ antall kilogram syltetøy hun lager denne uken.
a) Sett opp ulikhetene som må være oppfylt i produksjonen.
b) Marker området som er avgrenset av ulikhetene du fant i oppgave a).
Fortjenesten er 8 kroner per kilogram for saft og 12 kroner per kilogram for syltetøy.
c) Hvilken produksjonsmengde gir størst fortjeneste, og hva er fortjenesten da?
---
## H2014 del 1 oppgave 1 — Andregrads- og logaritmelikning S1 H14
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2014 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Andregradslikninger, Logaritmer
- **Kort beskrivelse:** Løse andregradslikning ved faktorisering og logaritmelikning ved definisjon av lg.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/andregrads-og-logaritmelikning-s1-h14/
### Oppgavetekst
Løs likningene
a)
$$
2x - 10 = x(x - 5)
$$
b)
$$
\lg\left(\dfrac{x}{2}\right) + 3 = 5
$$
---
## H2014 del 1 oppgave 2 — Kvadratsetning for 995 ganger 995
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2014 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Kvadratsetninger, Potenser
- **Kort beskrivelse:** Bruke første kvadratsetning til å beregne $995 \cdot 995$ uten kalkulator.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kvadratsetning-for-995-ganger-995/
### Oppgavetekst
Bruk en kvadratsetning til å bestemme verdien av produktet $995 \cdot 995$.
---
## H2014 del 1 oppgave 3 — Lineært og kvadratisk likningssystem S1 H14
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2014 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Likningssystem, Andregradslikninger
- **Kort beskrivelse:** Løse likningssystem med én lineær og én andregradsligning ved innsettingsmetoden.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lineaert-og-kvadratisk-likningssystem-s1-h14/
### Oppgavetekst
Løs likningssystemet
$$
\begin{bmatrix} 2x = y - 4 \\ 4x^2 + 3y = 12 \end{bmatrix}
$$
Løs likningssystemet.
---
## H2014 del 1 oppgave 4 — Forenkle logaritmeuttrykk med lg
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2014 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Logaritmer
- **Kort beskrivelse:** Forenkle $\lg\left(\frac{a^2}{b}\right) + \lg(a^2b^2) - \lg\left(\frac{b}{a}\right)$ ved hjelp av logaritmereglene.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/forenkle-logaritmeuttrykk-med-lg/
### Oppgavetekst
Skriv så enkelt som mulig
$$
\lg\left(\dfrac{a^2}{b}\right) + \lg(a^2b^2) - \lg\left(\dfrac{b}{a}\right)
$$
---
## H2014 del 1 oppgave 5 — Funksjonsdrøfting og nullpunkt for tredjegradsfunksjon S1 H14
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2014 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Funksjonsdrøfting
- **Kort beskrivelse:** Derivere tredjegradsfunksjon, bestemme topp- og bunnpunkter, og argumentere for antall nullpunkter.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/funksjonsdrofting-og-nullpunkt-for-tredjegradsfunksjon-s1-h14/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ er gitt ved
$$
f(x) = -\dfrac{2}{3}x^3 + x^2 + 2 \quad , \quad D_f = \mathbb{R}
$$
a) Bestem $f'(x)$.
b) Bruk den deriverte til å bestemme eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til $f$.
c) Regn ut $f(3)$. Forklar ved hjelp av det du fant i oppgave b), at $f$ bare har ett nullpunkt.
---
## H2014 del 1 oppgave 6 — Koder med bokstavene A B C D
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2014 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Kombinatorikk
- **Kort beskrivelse:** Telle tresifrede koder fra fire bokstaver med og uten gjentakelse, og med krav om minst to like.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/koder-med-bokstavene-a-b-c-d/
### Oppgavetekst
Med bokstavene A, B, C og D skal vi lage en kode på tre bokstaver.
a) Hvor mange ulike koder kan vi lage dersom vi tillater at én bokstav kan brukes flere ganger?
b) Hvor mange ulike koder kan vi lage dersom hver bokstav kan brukes bare én gang?
c) Hvor mange ulike koder kan vi lage dersom hver av kodene skal inneholde minst to like bokstaver?
---
## H2014 del 1 oppgave 7 — Enhetskostnad og overskudd for bedrift S1 H14
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2014 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Kostnadsfunksjon, Optimering, Derivasjon
- **Kort beskrivelse:** Beregne enhetskostnad og total produksjonskostnad, sette opp overskuddsfunksjon og finne optimal produksjonsmengde.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/enhetskostnad-og-overskudd-for-bedrift-s1-h14/
### Oppgavetekst
En bedrift produserer $x$ enheter av en vare. Enhetskostnaden $E(x)$ kroner per produsert enhet er gitt ved
$$
E(x) = 4x + 1200 + \dfrac{20000}{x} \quad , \quad x > 0
$$
a) Hvor stor er enhetskostnaden dersom bedriften produserer 200 enheter av varen? Hva blir da den samlede produksjonskostnaden?
Bedriften har inngått en avtale der de får solgt alt de produserer, for 2000 kroner per enhet.
b) Forklar at bedriftens overskudd $O$ når det produseres $x$ enheter, er gitt ved
$$
O(x) = -4x^2 + 800x - 20000
$$
c) Hvilken produksjonsmengde gir størst overskudd?
---
## H2014 del 1 oppgave 8 — Derivasjon fra definisjon for kubisk funksjon
- **Fag:** R1, S1
- **Eksamen:** Høst 2014 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Bevis
- **Kort beskrivelse:** Bruke definisjonen av den deriverte til å vise at $f'(x) = 3x^2 - 1$ for $f(x) = x^3 - x$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/derivasjon-fra-definisjon-for-kubisk-funksjon/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ er gitt ved
$$
f(x) = x^3 - x \quad , \quad D_f = \mathbb{R}
$$
Bruk definisjonen av den deriverte til å vise at $f'(x) = 3x^2 - 1$.
---
## H2014 del 2 oppgave 1 — Momentan og gjennomsnittlig vekstfart for andregradsfunksjon
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2014 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Vekstfart
- **Kort beskrivelse:** Beregne og sammenligne momentan og gjennomsnittlig vekstfart for $f(x) = x^2 + 3x - 5$ i konkrete punkter og generelt med konstant $a$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/momentan-og-gjennomsnittlig-vekstfart-for-andregradsfunksjon/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ er gitt ved
$$
f(x) = x^2 + 3x - 5 \quad , \quad D_f = \mathbb{R}
$$
a) Bestem den momentane vekstfarten til $f$ i punktet $(2, f(2))$ og den gjennomsnittlige vekstfarten til $f$ i intervallet $\left[1, 3\right]$.
b) Bestem den momentane vekstfarten til $f$ i punktet $(a, f(a))$ og den gjennomsnittlige vekstfarten til $f$ i intervallet $\left[a-1, a+1\right]$. Tallet $a$ er en konstant. Sammenlign svarene og kommenter.
---
## H2014 del 2 oppgave 2 — Per sparer med fast rente og nytt innskudd
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2014 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Geometrisk vekst, Vekstfaktor, Eksponentialfunksjon
- **Kort beskrivelse:** Beregne saldo etter rentes rente, bruke logaritme til å finne antall år til målbeløp, og bestemme nødvendig nytt innskudd.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/per-sparer-med-fast-rente-og-nytt-innskudd/
### Oppgavetekst
For nøyaktig tre år siden satte Per inn 10 000 kroner på en sparekonto. Kontoen har en fast årlig rente på 4,0 %.
a) Hvor mye penger har Per på sparekontoen i dag?
b) Hvor mange år vil det gå fra han satte inn pengene, til han har 25 000 kroner på kontoen, dersom han lar pengene bli stående på kontoen?
Per bestemmer seg for å sette inn mer penger på kontoen.
c) Hvor mye penger må han sette inn på sparekontoen i dag for at det til sammen skal stå 25 000 kroner på kontoen om sju år?
---
## H2014 del 2 oppgave 3 — Bussrute med stoppesteder og billettkontroll
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2014 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Binomisk fordeling, Sannsynlighet, Kombinatorikk
- **Kort beskrivelse:** Beregne sannsynlighet for reisetid ved binomisk fordeling og sannsynlighet for at minst én uten billett kontrolleres ved hypergeometrisk sannsynlighet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/bussrute-med-stoppesteder-og-billettkontroll/
### Oppgavetekst
På en bussrute er det 10 stoppesteder i tillegg til endeholdeplassen. Dersom bussen kjører ruten uten å stoppe, tar turen 20 min. For hver gang bussen stopper, går det ett minutt ekstra.
Sannsynligheten for at bussen må stoppe på et vilkårlig stoppested, er $0{,}40$.
a) Bestem sannsynligheten for at bussturen tar nøyaktig 23 min.
b) Bestem sannsynligheten for at bussturen tar mindre enn 25 min.
En dag er det billettkontroll. I bussen er det 30 passasjerer. Fire av dem har ikke billett. Fem vilkårlig valgte passasjerer blir kontrollert.
c) Bestem sannsynligheten for at minst én av de fire uten billett blir kontrollert.
---
## H2014 del 2 oppgave 4 — Vanntank som kjegle med potensfunksjon og regresjon
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2014 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Regresjon, Optimering
- **Kort beskrivelse:** Lage potensfunksjon for vannstand i kjegleformet tank ved regresjon, bestemme fylletid og dimensjonere ny tank.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/vanntank-som-kjegle-med-potensfunksjon-og-regresjon/
### Oppgavetekst
En vanntank har form som en rett kjegle. Tanken er 10,0 m høy. En pumpe fyller $18 \mathrm{~m^3}$ vann på tanken hver time. Det tappes ikke noe vann ut av tanken. Tabellen nedenfor viser vannstanden i tanken ved ulike tidspunkt.
| Tid i timer | 1 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 |
|:-----------:|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|:--:|
| Vannstand i meter | 3,3 | 4,2 | 5,2 | 6,0 | 6,6 | 7,1 |
a) Sett punktene fra tabellen inn i et koordinatsystem med tiden langs $x$-aksen og vannstanden langs $y$-aksen. Lag en potensfunksjon som passer med tallene fra tabellen.
b) Bestem hvor mange timer det går før tanken er full. Hvor mye vann er det da i tanken?
Det skal bygges en ny tank med samme form, men høyere. Den nye tanken skal romme $1000 \mathrm{~m^3}$.
c) Hvor lang tid tar det for pumpen å fylle den nye tanken? Hvor høy blir den nye tanken?
---
## H2014 del 2 oppgave 5 — To biler kjører mot hverandre og møtes
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2014 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Likningssystem, Lineære funksjoner
- **Kort beskrivelse:** Sette opp og løse likningssystem for to biler som kjører mot hverandre, og bestemme nødvendig fart for å møtes midt mellom byene.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/to-biler-kjorer-mot-hverandre-og-motes/
### Oppgavetekst
Avstanden mellom byene A og B er 200 km.
- En bil starter i A og kjører mot B med farten $60 \mathrm{~km/h}$.
- Vi setter i gang en klokke idet bilen i A starter.
- En annen bil starter i B 20 min senere og kjører mot A med farten $40 \mathrm{~km/h}$.
- La $t$ være tiden klokken viser, målt i timer.
a) Forklar at likningssystemet nedenfor kan brukes til å bestemme hvor langt det er fra A til stedet der bilene møtes.
$$
\begin{bmatrix} s = 60 \cdot t \\ s = 200 - 40\left(t - \dfrac{1}{3}\right) \end{bmatrix}
$$
b) Løs likningssystemet og bestem hvor langt fra A de møtes.
Anta at føreren av bilen som starter i B, ønsker at de skal møtes midt mellom de to byene.
c) Bestem hvilken fart bilen hans må ha for at dette skal skje.
---
## H2014 del 2 oppgave 6 — Pakke med pakkebånd og størst mulig volum
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2014 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Optimering, Derivasjon
- **Kort beskrivelse:** Vise at volumet av et rektangulært prisme er $V(x) = -2x^3 + 225x^2$ og finne dimensjoner som gir størst mulig volum med 900 cm pakkebånd.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/pakke-med-pakkeband-og-storst-mulig-volum/
### Oppgavetekst
Vi skal lage en pakke med form som et rett prisme. Pakken har bredde lik $y$ cm, lengde lik $x$ cm og høyde lik $x$ cm. Vi vil sikre pakken med svart pakkebånd. Se figuren nedenfor.
Vi ser at lengden av pakkebåndet er $8x + 4y$. Vi vil lage pakken slik at den har størst mulig volum når vi bruker akkurat 900 cm med pakkebånd.
a) Vis at volumet $V(x)$ av pakken kan skrives som
$$
V(x) = -2x^3 + 225x^2
$$
b) Bestem $x$ og $y$ slik at volumet av pakken blir størst mulig. Kommenter svaret ditt. Bestem det største volumet, målt i kubikkdesimeter.
---
## H2014 del 2 oppgave 7 — Kjøttkakeproduksjon med lineær optimering
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2014 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 7
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Lineær optimering, Ulikheter
- **Kort beskrivelse:** Sette opp og tegne ulikhetsområde for to kjøttkaketyper, og finne produksjonsmengde som maksimerer salgsinntekt med og uten kapasitetsbegrensning.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kjottkakeproduksjon-med-lineaer-optimering/
### Oppgavetekst
En matbutikk lager to typer kjøttkaker. Tabellen nedenfor viser hvor mye kjøttdeig og mel som går med til å lage 1 kg kjøttkaker for hver av de to typene.
| Kjøttkaketype | Kjøttdeig | Mel |
|:---:|:---:|:---:|
| A | 0,40 kg | 0,60 kg |
| B | 0,80 kg | 0,20 kg |
Matbutikken har hver uke tilgang på 1000 kg kjøttdeig og 800 kg mel.
La $x$ være antall kilogram kjøttkaker av type A og $y$ antall kilogram kjøttkaker av type B som lages en uke.
a) Forklar at $x$ og $y$ må oppfylle ulikhetene nedenfor.
$$
x \geq 0
$$
$$
y \geq 0
$$
$$
0{,}60x + 0{,}20y \leq 800
$$
$$
0{,}40x + 0{,}80y \leq 1000
$$
Ulikhetene avgrenser et område. Marker dette området i et koordinatsystem.
Prisen på kjøttkaker av type A er 70 kroner per kilogram. Prisen for type B er 110 kroner per kilogram.
b) Anta at butikken får solgt alle kjøttkakene. Hvor mye av hver type kjøttkaker må de produsere for at salgsinntektene skal bli størst mulig?
En uke er en av de ansatte i butikken syk. De klarer derfor ikke å produsere mer enn 1500 kg kjøttkaker til sammen.
c) Hvor mye av hver kjøttkaketype må de produsere denne uken for at salgsinntektene skal bli størst mulig?
---
## V2013 del 1 oppgave 1 — Logaritmelikning og andregradslikning
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Logaritmer, Andregradslikninger, Likninger
- **Kort beskrivelse:** Løse en logaritmelikning og en andregradslikning uten hjelpemidler.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/logaritmelikning-og-andregradslikning-s1-v13/
### Oppgavetekst
Løs likningene
a)
$$
2\lg x + 3 = 5
$$
b)
$$
2x^2 + 2x = 12
$$
---
## V2013 del 1 oppgave 2 — Likningssystem parabola og linje
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Likningssystem, Andregradslikninger, Lineære funksjoner
- **Kort beskrivelse:** Løse likningssystem med en parabel og en lineær funksjon ved regning.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/likningssystem-parabola-og-linje-s1-v13/
### Oppgavetekst
Løs likningssystemet ved regning
$$
\begin{bmatrix} y = 6 - x^2 \\ y + 4 = -3x \end{bmatrix}
$$
Løs likningssystemet ved regning.
---
## V2013 del 1 oppgave 3 — Forenkling av potens- og logaritmeuttrykk
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Potenser, Logaritmer
- **Kort beskrivelse:** Forenkle et potensutrykk med negative eksponenter og et logaritmeuttrykk med logaritmeregler.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/forenkling-av-potens-og-logaritmeuttrykk-s1-v13/
### Oppgavetekst
Skriv så enkelt som mulig
a)
$$
\dfrac{2^{-3} \cdot a^{0} \cdot (a \cdot b)^{2}}{2^{-4} \cdot a^{-1} \cdot b^{2}}
$$
b)
$$
\lg(a \cdot b)^{2} - \lg\left(\dfrac{a^{3}}{b^{2}}\right) + \lg(a \cdot b^{2})
$$
---
## V2013 del 1 oppgave 4 — Rasjonal funksjon skisse og gjennomsnittlig veksthastighet
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Rasjonale funksjoner, Vekstfart
- **Kort beskrivelse:** Lag skisse av rasjonal funksjon med asymptoter og beregn gjennomsnittlig veksthastighet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/rasjonal-funksjon-skisse-og-gjennomsnittlig-veksthastighet-s1-v13/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ er gitt ved
$$
f(x) = \dfrac{3x - 1}{x - 3}
$$
a) Lag en skisse av grafen til $f$.
b) Bestem gjennomsnittlig veksthastighet for funksjonen fra $x = 4$ til $x = 7$.
---
## V2013 del 1 oppgave 5 — Pascals talltrekant og hypergeometrisk fordeling
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Kombinatorikk, Sannsynlighet, Binomisk fordeling
- **Kort beskrivelse:** Skrive opp Pascals talltrekant, lese av binomialkoeffisienter og bruke hypergeometrisk fordeling på komité-trekning.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/pascals-talltrekant-og-hypergeometrisk-fordeling-s1-v13/
### Oppgavetekst
a) Skriv opp de ni første radene av Pascals talltrekant.
b) Bruk Pascals talltrekant til å bestemme binomialkoeffisientene $\binom{2}{0}$, $\binom{3}{1}$, $\binom{5}{2}$ og $\binom{8}{3}$.
I oppgavene nedenfor kan du få bruk for denne formelen:
$$
\text{Hypergeometrisk fordeling:} \quad P(X = k) = \dfrac{\dbinom{m}{k} \cdot \dbinom{n-m}{r-k}}{\dbinom{n}{r}}
$$
$m$ elementer i $D$. $\; n - m$ elementer i $\bar{D}$. $\; r$ elementer trekkes tilfeldig. $X$ er antall elementer som trekkes fra $D$.
Fra en gruppe med 3 gutter og 5 jenter skal det velges en komité på 3 elever ved loddtrekning.
c) Bestem sannsynligheten for at det blir 1 gutt og 2 jenter i komiteen.
Fra en gruppe med 8 elever skal det velges en komité. Du får vite at komiteen kan settes sammen på 28 ulike måter.
d) Hvor mange elever kan det være i komiteen?
---
## V2013 del 1 oppgave 6 — Tredjegradsfunksjon derivasjon og fortegnslinje
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Funksjonsdrøfting
- **Kort beskrivelse:** Derivere en tredjegradsfunksjon og bruke fortegnslinje til å avgjøre hvor funksjonen stiger og synker.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tredjegradsfunksjon-derivasjon-og-fortegnslinje-s1-v13/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ er gitt ved
$$
f(x) = \dfrac{2}{3}x^3 + x^2 - 12x + 1
$$
a) Bestem $f'(x)$.
b) Tegn fortegnslinjen til $f'(x)$. Bruk denne til å avgjøre hvor grafen til $f$ stiger, og hvor den synker.
---
## V2013 del 1 oppgave 7 — To tog fart og tid med likningssystem
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Likningssystem, Andregradslikninger
- **Kort beskrivelse:** Sette opp og løse et ikke-lineært likningssystem for fart og tid med to tog på samme strekning.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/to-tog-fart-og-tid-med-likningssystem-s1-v13/
### Oppgavetekst
Tog A og tog B starter samtidig fra stasjon 1. De kjører på hvert sitt spor til stasjon 2. Kjørelengden er 120 km for begge togene.
Gjennomsnittsfarten til tog A er $v$ km/h, og dette toget bruker $t$ timer på strekningen mellom stasjonene.
Gjennomsnittsfarten til tog B er 20 km/h større enn til tog A, og tog B bruker én time kortere tid enn tog A.
Forklar at vi kan sette opp likningssystemet
$$
\begin{bmatrix} v \cdot t = 120 \\ (v + 20) \cdot (t - 1) = 120 \end{bmatrix}
$$
Bestem gjennomsnittsfarten til hvert av togene.
Forklar at vi kan sette opp likningssystemet over, og bestem gjennomsnittsfarten til hvert av togene.
---
## V2013 del 2 oppgave 1 — Epledyrker binomisk og hypergeometrisk sannsynlighet
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2013 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Binomisk fordeling, Sannsynlighet, Kombinatorikk
- **Kort beskrivelse:** Beregne binomisk sannsynlighet for eplerplukking og hypergeometrisk sannsynlighet for trekking av eplesorter.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/epledyrker-binomisk-og-hypergeometrisk-sannsynlighet-s1-v13/
### Oppgavetekst
En epledyrker har funnet ut at 80 % av eplene han plukker, har god nok kvalitet til at de kan selges til vanlig forbruk. Resten går til produksjon av eplesaft, syltetøy og lignende.
a) En dag plukker han 70 epler. Bestem sannsynligheten for at akkurat 60 av disse kan selges til vanlig forbruk.
b) Bestem sannsynligheten for at minst 60 av disse eplene kan selges til vanlig forbruk.
Epledyrkeren selger epler fra en kasse som inneholder 80 epler av sort A og 100 epler av sort B. Eplene er lagt tilfeldig ned i kassen.
c) En kunde kjøper 20 epler. Bestem sannsynligheten for at kunden får akkurat 10 av hver sort når eplene trekkes ut tilfeldig.
---
## V2013 del 2 oppgave 2 — Lufttrykk og høyde eksponentiell regresjon
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2013 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Regresjon, Eksponentialfunksjon, Logaritmer
- **Kort beskrivelse:** Bruke eksponentiell regresjon til å modellere lufttrykk som funksjon av høyde over havet, og løse likning med logaritme.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lufttrykk-og-hoyde-eksponentiell-regresjon-s1-v13/
### Oppgavetekst
Tabellen nedenfor viser sammenhengen mellom høyden over havet målt i kilometer og lufttrykket målt i hektopascal (hPa), under visse betingelser.
| Høyde $x$ (km over havet) | 0 | 1,10 | 2,10 | 4,20 | 6,00 |
|---|---|---|---|---|---|
| Lufttrykk $p(x)$ (hPa) | 1013 | 900 | 800 | 600 | 500 |
a) Bruk eksponentiell regresjon til å bestemme en modell $p(x)$ som viser lufttrykket som funksjon av høyden $x$ over havet.
b) Titicacasjøen ligger 3,8 km over havet på grensen mellom Peru og Bolivia. Bruk modellen $p(x)$ og bestem lufttrykket i denne høyden.
c) Bestem ved regning hvor høyt vi er over havet når vi måler lufttrykket til 700 hPa.
---
## V2013 del 2 oppgave 3 — Fjerdegradsfunksjon drøfting og parabel gjennom bunnpunkter
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2013 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 10
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Funksjonsdrøfting, Andregradslikninger
- **Kort beskrivelse:** Drøfte en fjerdegradsfunksjon fullstendig og bestemme parameter for en parabel som går gjennom bunnpunktene til funksjonen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/fjerdegradsfunksjon-drofting-og-parabel-gjennom-bunnpunkter-s1-v13/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ er gitt ved
$$
f(x) = x^4 - 4x^2
$$
a) Tegn grafen til $f$ når $x \in \langle -2{,}5,\; 2{,}5 \rangle$.
b) Bestem ved regning grafens skjæringspunkter med koordinataksene.
c) Bruk $f'(x)$ til å avgjøre hvor grafen til $f$ stiger, og hvor den synker. Bestem koordinatene til topp- og bunnpunkter på grafen til $f$.
En annen funksjon $g$ er gitt ved
$$
g(x) = ax^2, \text{ der } a \text{ er en konstant.}
$$
Grafen til $g$ skal gå gjennom de to bunnpunktene på grafen til $f$.
d) Bestem $a$.
e) Tegn grafen til $g$ i samme koordinatsystem som grafen til $f$.
---
## V2013 del 2 oppgave 4 — Laksefôr lineær optimering
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2013 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Ulikheter, Lineære funksjoner
- **Kort beskrivelse:** Sette opp og tegne ulikhetsbetingelser for produksjon av laksefôr, og finne optimal produksjonsmengde for størst salgsinntekt.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/laksefor-lineaer-optimering-s1-v13/
### Oppgavetekst
En bedrift produserer to typer laksefôr, Godlaks og Gladlaks. Begge fôrtypene inneholder stoffene A og B.
- For å lage 1 tonn av fôret Godlaks blandes 300 kg av stoffet A og 700 kg av stoffet B.
- For å lage 1 tonn av fôret Gladlaks blandes 600 kg av stoffet A og 400 kg av stoffet B.
- Bedriften kan hver uke få kjøpt inntil 20 tonn av stoffet A og inntil 18 tonn av stoffet B.
- Den maksimale produksjonsmengden er inntil 35 tonn laksefôr per uke.
Bedriften produserer $x$ tonn av fôret Godlaks og $y$ tonn av fôret Gladlaks hver uke.
a) Forklar at $x$ og $y$ må oppfylle ulikhetene
$$
x \geq 0,\; y \geq 0
$$
$$
0{,}3x + 0{,}6y \leq 20
$$
$$
0{,}7x + 0{,}4y \leq 18
$$
$$
x + y \leq 35
$$
Marker det området som $x$ og $y$ må tilhøre i et koordinatsystem.
Bedriften selger hele produksjonen. Salgsprisen for fôret Godlaks er 5 000 kroner per tonn, mens fôret Gladlaks selges for 8 500 kroner per tonn.
b) Hvor mye må bedriften produsere av hver fôrtype for at salgsinntekten per uke skal bli størst mulig? Bestem denne salgsinntekten.
---
## V2013 del 2 oppgave 5 — Kostnadsfunksjon overskudd og tangentbetingelse
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2013 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 9
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Kostnadsfunksjon, Derivasjon, Andregradslikninger, Optimering
- **Kort beskrivelse:** Analysere kostnad og inntekt for en bedrift, finne overskudd ved optimering og bestemme minimumspris ved tangentbetingelse og diskriminant.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kostnadsfunksjon-overskudd-og-tangentbetingelse-s1-v13/
### Oppgavetekst
En bedrift har funnet ut at de samlede kostnadene $f$ ved å produsere $x$ enheter av en vare er gitt ved
$$
f(x) = 55 + 0{,}01x^2
$$
a) De samlede kostnadene må ikke overstige 200. Hvor mange enheter kan bedriften da høyst produsere?
b) Hele produksjonen blir solgt. Salgsinntekten $g$ er gitt ved
$$
g(x) = 1{,}6x
$$
Hvilke produksjonsmengder gir overskudd for bedriften? Hvilken produksjonsmengde gir størst overskudd? Hvor stort er dette overskuddet?
Hvis prisen per enhet er $p$, kan salgsinntekten skrives som
$$
h(x) = p \cdot x
$$
Bedriften vil undersøke hvor lavt prisen kan settes dersom det skal være mulig å oppnå balanse mellom kostnader og inntekter.
c) Forklar at vi kan bestemme denne minsteprisen når grafen til $h$ tangerer grafen til $f$. Se figuren.
Det kan vises at den minste prisen som vil gi balanse, er $p \approx 1{,}48$.
d) Forklar at prisen er minst når $p = f'(a)$, der $a$ er førstekoordinaten til tangeringspunktet $T$ på figuren. Bruk dette til å bestemme hvor mange enheter det produseres og selges når prisen er minst.
e) Likningen $f(x) = h(x)$ kan omformes til $0{,}01x^2 - px + 55 = 0$. Bestem en verdi for $p$ som gjør at denne likningen har bare én løsning. Forklar hvorfor denne verdien er den minste prisen som vil gi balanse.
---
## H2013 del 1 oppgave 1 — Andregradsderiverte beregnet i punkt S1 H13
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon
- **Kort beskrivelse:** Derivere $f(x) = 3x^2 - 3x + 1$ og beregne $f'(2)$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/andregradsderiverte-beregnet-i-punkt-s1-h13/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ er gitt ved
$$
f(x) = 3x^2 - 3x + 1, \quad D_f = \mathbb{R}
$$
Bestem $f'(2)$.
---
## H2013 del 1 oppgave 2 — Andregrads- og eksponentlikning uten hjelpemidler S1 H13
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Andregradslikninger, Logaritmer, Eksponentialfunksjon
- **Kort beskrivelse:** Løse en andregradsligning og en eksponentlikning med logaritmer uten hjelpemidler.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/andregrads-og-eksponentlikning-uten-hjelpemidler-s1-h13/
### Oppgavetekst
Løs likningene
a)
$$
x(x+5) - 10 = 4
$$
b)
$$
10^{3x} - 100000 = 0
$$
---
## H2013 del 1 oppgave 3 — Likningssystem med parabel og rett linje S1 H13
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Likningssystem, Andregradslikninger
- **Kort beskrivelse:** Løse likningssystem med parabel og lineær ligning ved innsetting.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/likningssystem-med-parabel-og-rett-linje-s1-h13/
### Oppgavetekst
Løs likningssettet ved regning
$$
\left[\begin{array}{l} y = x^2 + 2 \\ y + x^2 = 4 \end{array}\right]
$$
Løs likningssettet ved regning.
---
## H2013 del 1 oppgave 4 — Rettlinjet bevegelse med konstant akselerasjon S1 H13
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Likninger, Formler
- **Kort beskrivelse:** Utlede formel for tid $t$ fra $v = v_0 + at$ og beregne $t$ med gitte verdier.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/rettlinjet-bevegelse-med-konstant-akselerasjon-s1-h13/
### Oppgavetekst
En bevegelse foregår langs en rett linje. Startfarten var $v_0$, og akselerasjonen er konstant lik $a$. Etter tida $t$ er farten $v$ blitt $v = v_0 + at$.
a) Bestem en formel for $t$ uttrykt ved $v$, $v_0$ og $a$.
b) Hvor lang tid tar det før farten $v$ er blitt 25 når akselerasjonen $a = 3$ og startfarten $v_0 = 1$?
---
## H2013 del 1 oppgave 5 — Forenkle potensuttrykk og vis logaritmeidentitet S1 H13
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Potenser, Logaritmer
- **Kort beskrivelse:** Forenkle potensuttrykk med bokstavparametre og vise en logaritmeidentitet ved hjelp av logaritmeregler.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/forenkle-potensuttrykk-og-vis-logaritmeidentitet-s1-h13/
### Oppgavetekst
a) Skriv så enkelt som mulig
$$
\dfrac{9^2 \cdot a^2 \cdot b^3}{(3ab^2)^2}
$$
b) Vis at
$$
\lg\left(\dfrac{a^2}{b^2}\right) + \lg\left(\dfrac{b^2}{a}\right) + \lg(a+b) = \lg(a^2 + ab)
$$
---
## H2013 del 1 oppgave 6 — Andradssulikhet løst ved faktorisering S1 H13
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Ulikheter, Andregradslikninger
- **Kort beskrivelse:** Løse andradssulikhet $x^2 + 2x \geq x + 6$ ved faktorisering og fortegnsskjema.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/andradssulikhet-lost-ved-faktorisering-s1-h13/
### Oppgavetekst
Løs ulikheten
$$
x^2 + 2x \geq x + 6
$$
---
## H2013 del 1 oppgave 7 — Pascals talltrekant likningssystem x og y S1 H13
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Pascals trekant, Likningssystem, Kombinatorikk
- **Kort beskrivelse:** Sette opp og løse likningssystem fra et utsnitt av Pascals talltrekant med ukjente $x$ og $y$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/pascals-talltrekant-likningssystem-x-og-y-s1-h13/
### Oppgavetekst
Figuren nedenfor viser et utsnitt av tre påfølgende rader av Pascals talltrekant.
Bruk figuren til å bestemme $x$ og $y$ ved å sette opp og løse et likningssystem.
---
## H2013 del 1 oppgave 8 — Tredjegradsfunksjon nullpunkter og skisse S1 H13
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Funksjonsdrøfting, Derivasjon, Nullpunkter
- **Kort beskrivelse:** Bestemme nullpunkter og topp-/bunnpunkter til $f(x) = 2x^3 - 6x^2$ og skissere grafen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tredjegradsfunksjon-nullpunkter-og-skisse-s1-h13/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ er gitt ved
$$
f(x) = 2x^3 - 6x^2, \quad D_f = \mathbb{R}
$$
a) Bestem nullpunktene til $f$.
b) Bruk $f'(x)$ til å bestemme eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til $f$.
c) Lag en skisse av grafen til $f$.
---
## H2013 del 1 oppgave 9 — Rasjonal funksjon bestem parametre fra graf S1 H13
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 9
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Rasjonale funksjoner, Asymptoter, Graf
- **Kort beskrivelse:** Lese av asymptoter og punktverdier fra graf til $f(x) = \dfrac{ax+b}{cx-1}$ for å bestemme $a$, $b$ og $c$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/rasjonal-funksjon-bestem-parametre-fra-graf-s1-h13/
### Oppgavetekst
Grafen til funksjonen $f(x) = \dfrac{ax + b}{cx - 1}$ er tegnet nedenfor.
Bruk figuren til å bestemme verdiene til $a$, $b$ og $c$.
---
## H2013 del 1 oppgave 10 — Vis at den deriverte til x² er 2x fra definisjonen S1 H13
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2013 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 10
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Grenseverdi
- **Kort beskrivelse:** Bruke definisjonen av den deriverte til å vise at $f'(x) = 2x$ for $f(x) = x^2$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/vis-at-den-deriverte-til-x2-er-2x-fra-definisjonen-s1-h13/
### Oppgavetekst
En funksjon $f$ er gitt ved
$$
f(x) = x^2, \quad D_f = \mathbb{R}
$$
Bruk definisjonen av den deriverte til å vise at $f'(x) = 2x$.
---
## H2013 del 2 oppgave 1 — Defekte lyspærer hypergeometrisk sannsynlighet S1 H13
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2013 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Kombinatorikk, Sannsynlighet
- **Kort beskrivelse:** Beregne hypergeometrisk sannsynlighet for defekte lyspærer ved utvelging fra eske.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/defekte-lyspaerer-hypergeometrisk-sannsynlighet-s1-h13/
### Oppgavetekst
I en eske ligger 50 lyspærer. Av disse er 7 defekte.
Du velger tilfeldig ut 10 lyspærer fra esken.
a) Bestem sannsynligheten for at akkurat 2 av lyspærene er defekte.
b) Bestem sannsynligheten for at du velger ut minst 3 defekte lyspærer.
---
## H2013 del 2 oppgave 2 — Lyspærfabrikk binomisk sannsynlighet og garantigrense S1 H13
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2013 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Binomisk fordeling, Sannsynlighet
- **Kort beskrivelse:** Beregne binomisk sannsynlighet for antall lyspærer som lyser etter 1000 t, og finne garantigrense for sannsynlighet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lyspaerfabrikk-binomisk-sannsynlighet-og-garantigrense-s1-h13/
### Oppgavetekst
En fabrikk produserer lyspærer. Fabrikken garanterer at det er 75 % sannsynlighet for at en lyspære vil lyse i 1000 h (timer).
En kunde kjøper 20 slike lyspærer.
a) Bestem sannsynligheten for at akkurat 18 lyspærer lyser når det er gått 1000 h.
b) Bestem sannsynligheten for at minst 15 lyspærer lyser i 1000 h.
Kunden ønsker at det skal være en sannsynlighet på 95 % eller mer for at minst 15 av 20 lyspærer fremdeles lyser når det er gått 1000 h.
c) Bestem hvilken sannsynlighet hver lyspære da må ha for å lyse i 1000 h.
---
## H2013 del 2 oppgave 3 — Eksponentlikning med to baser bestem k S1 H13
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2013 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Eksponentialfunksjon, Likninger, Vekstfaktor
- **Kort beskrivelse:** Bestemme vekstfaktoren $k$ i $900 \cdot 1{,}10^x = 1500 \cdot k^x$ slik at $x = 10$ er løsning.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/eksponentlikning-med-to-baser-bestem-k-s1-h13/
### Oppgavetekst
Vi har gitt likningen
$$
900 \cdot 1{,}10^x = 1500 \cdot k^x
$$
Bestem $k$ slik at $x = 10$ er en løsning av likningen.
---
## H2013 del 2 oppgave 4 — Rektangel innskrevet under parabel areal og omkrets S1 H13
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2013 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Optimering, Derivasjon, Areal og omkrets
- **Kort beskrivelse:** Sette opp arealuttrykk for rektangel $ABCD$ innskrevet under $f(x) = 6 - \frac{1}{2}x^2$ og optimere areal og omkrets.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/rektangel-innskrevet-under-parabel-areal-og-omkrets-s1-h13/
### Oppgavetekst
Figuren viser grafen til funksjonen $f$ gitt ved
$$
f(x) = 6 - \dfrac{1}{2}x^2, \quad D_f = \mathbb{R}
$$
Under grafen og over x-aksen er det skrevet inn et rektangel $ABCD$ slik figuren viser. Punktene $A$ og $B$ ligger på x-aksen, og $C$ og $D$ ligger på grafen. Punktet $B$ har førstekoordinaten $x$, der $x > 0$.
a) Forklar at arealet $F$ av rektangelet kan skrives som en funksjon av $x$ gitt ved
$$
F(x) = 12x - x^3
$$
Bestem $D_F$.
b) Det fins to verdier av $x$ som gjør at arealet av rektangelet blir lik 9. Bestem disse to verdiene.
c) Bestem den verdien av $x$ som gjør at arealet av rektangelet blir størst mulig. Hva blir det største arealet?
d) Bestem et uttrykk for omkretsen av rektangelet. Bestem den verdien av $x$ som gjør at omkretsen av rektangelet blir størst mulig. Kommenter svaret.
---
## H2013 del 2 oppgave 5 — Implikasjon og kontraposisjon andregradslikhet S1 H13
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2013 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Logikk, Ulikheter
- **Kort beskrivelse:** Avgjøre om en implikasjon mellom andregradslikhet og lineær betingelse er riktig, og vurdere den motsatte implikasjonen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/implikasjon-og-kontraposisjon-andregradslikhet-s1-h13/
### Oppgavetekst
a) Avgjør om implikasjonen nedenfor er riktig.
$$
x^2 < 4 \Rightarrow x > -2
$$
b) Avgjør om den motsatte implikasjonen er riktig.
---
## H2013 del 2 oppgave 6 — Bakeri kakeproduksjon regresjon og overskudd S1 H13
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2013 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Regresjon, Kostnadsfunksjon, Derivasjon, Optimering, Økonomi
- **Kort beskrivelse:** Modellere kakeproduksjonens kostnad med tredjegradsregresjon, beregne overskudd og bestemme optimal produksjonsmengde og minimumspris.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/bakeri-kakeproduksjon-regresjon-og-overskudd-s1-h13/
### Oppgavetekst
Et bakeri lager $x$ kaker per dag, i tillegg til andre bakervarer. Bakeriet har funnet ut at de totale kostnadene $K(x)$ i kroner ved kakeproduksjonen avhenger av antall kaker, slik tabellen viser.
| Antall kaker $x$ | 0 | 50 | 90 | 150 | 180 | 250 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Totale kostnader $K(x)$ | 0 | 900 | 1000 | 1100 | 1500 | 4400 |
a) Bruk regresjon til å bestemme en polynomfunksjon av tredje grad som passer best mulig med tallene i tabellen.
I resten av oppgaven vil vi bruke kostnadsfunksjonen $K$ gitt ved
$$
K(x) = 0{,}001x^3 - 0{,}3x^2 + 30x, \quad x \in [0,\, 250]
$$
Bakeriet selger alle kakene for 15 kroner per stykk. Inntektsfunksjonen $I$ er da gitt ved
$$
I(x) = 15x
$$
b) Tegn grafene til $K$ og $I$ i samme koordinatsystem. Bestem hvilke produksjonsmengder som gir overskudd, og hvilke som gir underskudd.
c) Bruk derivasjon til å bestemme hvor mange kaker som bør produseres dersom overskuddet skal bli størst mulig. Hva er det største overskuddet bakeriet kan oppnå per dag når vi bare ser på kakeproduksjonen?
Som et ekstra tilbud til kundene vurderer bakeriet å sette ned prisen per kake.
d) La prisen per kake være $p$ kroner. Bestem den minste verdien $p$ kan ha dersom det skal være mulig å oppnå balanse mellom kostnader og inntekter. Hvor mange kaker bør lages og selges per dag når $p$ har denne verdien?
---
## H2013 del 2 oppgave 7 — Syltetøyproduksjon lineær optimering og sukkerpriser S1 H13
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2013 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 7
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Lineær optimering, Likningssystem, Økonomi
- **Kort beskrivelse:** Sette opp og løse optimeringsproblem for syltetøyproduksjon med to typer, og undersøke virkning av prisendring på sukker.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/syltetoyproduksjon-lineaer-optimering-og-sukkerpriser-s1-h13/
### Oppgavetekst
Silje lager to typer syltetøy.
Type 1 inneholder 90 % bær og 10 % sukker.
Type 2 inneholder 40 % bær og 60 % sukker.
Syltetøyet skal fylles på glass, og et fullt glass skal inneholde 1 kg syltetøy.
Hun har 20 kg bær og 5 kg sukker som hun skal lage syltetøy av.
a) Hvor mange glass av hver type må hun lage for å få brukt opp 20 kg bær og 5 kg sukker?
b) Hun kan selge syltetøyet av type 1 for 80 kroner per glass og syltetøyet av type 2 for 40 kroner per glass. Hvilken inntekt får hun i dette tilfellet?
Forklar ved å bruke lineær optimering at dette er den største inntekten hun kan oppnå.
Helsemyndighetene foreslår å øke sukkerprisen slik at syltetøy av type 2 blir dyrest.
c) Når Silje skal lage mer syltetøy, kjøper hun bær for 30 kroner per kilogram. Det skal koste 5 kroner mer per glass å lage syltetøy av type 2 enn av type 1.
Undersøk hva prisen per kilogram sukker da må være.
---
## V2012 del 1 oppgave 1 — Algebra, sannsynlighet og likninger S1 V12
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2012 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 16
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Rasjonale uttrykk, Konjugatsetningen, Potenser, Sannsynlighet, Likninger, Logaritmer, Likningssystem, Kombinatorikk
- **Kort beskrivelse:** Forenkling av rasjonalt uttrykk, konjugatsetning, potenser, sannsynlighet, rasjonale og logaritmiske likninger, likningssystem og kombinatorikk.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/algebra-sannsynlighet-og-likninger-s1-v12/
### Oppgavetekst
a)
1\) Skriv så enkelt som mulig
$$
\frac{2}{a-b} + \frac{a-2b}{a^2-b^2}
$$
2\) Bruk konjugatsetningen til å bestemme $99 \cdot 101$
3\) Hvis $(x+y)^2 = 100$ og $x^2 + y^2 = 60$, hva er da produktet $x \cdot y$?
Vi kaster to terninger.
b) Bestem sannsynligheten for at summen av antall øyne blir 10.
c)
1\) Løs likningen
$$
\frac{2}{x-1} + \frac{3}{x^2-1} = 1 + \frac{6}{x+1}
$$
2\) Løs likningen
$$
2\lg(x+1) = 4
$$
3\) Bruk potensregneregler til å avgjøre hvilket tall som er størst av $2^{75}$ og $3^{50}$
En kinosal har 80 seter. En voksenbillett koster 100 kroner og en barnebillett 60 kroner. Ved en forestilling var salen fullsatt. De samlede billettinntektene var 6 000 kroner.
d) Hvor mange voksne og hvor mange barn var til stede på forestillingen?
Styret i en ungdomsklubb består av to jenter og fire gutter. To fra styret er invitert til et møte i kommunen for å legge fram klubbens ønsker.
e) Bestem sannsynligheten for at én gutt og én jente møter dersom de trekkes ut på en tilfeldig måte.
---
## V2012 del 1 oppgave 2 — Andregradsfunksjon med fortegnslinje og skjæring med linje
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2012 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Andregradsfunksjon, Nullpunkter, Derivasjon, Funksjonsdrøfting, Likninger
- **Kort beskrivelse:** Finne nullpunkter, tegne fortegnslinje for $f'(x)$, skissere grafene til $f$ og $g$ og bestemme skjæringspunktene algebraisk.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/andregradsfunksjon-med-fortegnslinje-og-skjaering-med-linje/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ er gitt ved
$$
f(x) = -x^2 + 2x
$$
a) Bestem nullpunktene til $f$.
b) Tegn fortegnslinjen til $f'(x)$. Bruk denne til å finne eventuelle topp- eller bunnpunkter på grafen til $f$.
c) Tegn grafen til $f$ når $x \in \langle -3,\, 3 \rangle$
d) Tegn grafen til $g(x) = 2x - 4$ i samme koordinatsystem.
e) Bestem skjæringspunktene mellom $f$ og $g$ ved regning.
---
## V2012 del 1 oppgave 3 — Tangent til f(x)=1 delt på x og arealet av trekant OAB R1 V12
- **Fag:** R1, S1
- **Eksamen:** Vår 2012 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Tangent, Derivasjon, Areal og omkrets, Omvendt proporsjonalitet
- **Kort beskrivelse:** Vise tangentligning til $f(x)=1/x$, bestemme akseskjæringer og vise at $\triangle OAB$ har konstant areal uavhengig av $a$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tangent-til-f-x-1-delt-pa-x-og-arealet-av-trekant-oab-r1-v12/
### Oppgavetekst
Skissen ovenfor viser grafen til funksjonen $f(x) = \dfrac{1}{x}$ og en tangent i punktet $\left(a,\, f(a)\right)$.
a) Vis at likningen for tangenten er
$$
y = -\frac{1}{a^2} \cdot x + \frac{2}{a}
$$
Tangenten skjærer koordinataksene i $A$ og $B$.
b) Bestem koordinatene til $A$ og $B$.
c) Bestem arealet av $\triangle OAB$. Kommenter svaret.
---
## V2012 del 2 oppgave 3 — Kaffeblindtest og binomisk fordeling S1 V12
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2012 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Binomisk fordeling, Kombinatorikk
- **Kort beskrivelse:** Bestemme sannsynlighet ved gjetting i blindtest, forklare binomisk forsøk og beregne $P(X \geq 4)$ for $n=5$ forsøk med $p=\frac{1}{3}$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kaffeblindtest-og-binomisk-fordeling-s1-v12/
### Oppgavetekst
Lars mener at han kan kjenne igjen et kaffemerke A på smaken i forhold til to andre kaffemerker B og C. Lisa tviler på Lars sine evner og bestemmer seg for å sette opp en såkalt blindtest. Hun setter fram tre kopper som hver inneholder ett av kaffemerkene A, B eller C i tilfeldig rekkefølge. Lars smaker på alle tre koppene, og blir bedt om å avgjøre hvilken kopp som inneholder kaffemerket A.
a) Bestem sannsynligheten for at Lars velger koppen med kaffemerket A, dersom han bare gjetter.
Lars velger riktig kopp ved første forsøk. Line mener at det er altfor stor sannsynlighet for at dette skyldes flaks. Hun bestemmer derfor at de skal gjøre testen fem ganger til.
b) Forklar hvorfor dette blir et binomisk forsøk dersom Lars *ikke* har denne evnen.
c) Bestem sannsynligheten for at Lars velger kaffemerke A minst fire av disse gangene, dersom han bare gjetter.
---
## V2012 del 2 oppgave 4 — Diskriminant og likningssystem med produkt S1 V12
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2012 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Andregradslikninger, Diskriminant, Likningssystem
- **Kort beskrivelse:** Bestemme parameter $b$ slik at andregradslikning får nøyaktig én løsning, og løse likningssystem med én lineær og én produktbetingelse.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/diskriminant-og-likningssystem-med-produkt-s1-v12/
### Oppgavetekst
a) Bestem $b$ slik at likningen $x^2 + bx + 25 = 0$ får nøyaktig én løsning
b) Løs likningssystemet
$$
\begin{vmatrix} 2x + y = 22 \\ x \cdot y = 60 \end{vmatrix}
$$
---
## V2012 del 2 oppgave 5 — Logaritmeuttrykk eksponentiallikning og implikasjoner S1 V12
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2012 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Logaritmer, Eksponentialfunksjon, Logikk, Likninger
- **Kort beskrivelse:** Forenkle logaritmeuttrykk med regneregler, løse eksponentiallikning med logaritmer og avgjøre gyldigheten av implikasjoner og kontrapositive utsagn.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/logaritmeuttrykk-eksponentiallikning-og-implikasjoner-s1-v12/
### Oppgavetekst
a) Skriv uttrykket så enkelt som mulig
$$
\lg(ab) + \lg\left(\frac{a^3}{b^4}\right) - 3\lg b
$$
b) Løs likningen
$$
2 \cdot 7^x = 4 \cdot 5^x
$$
c)
1\) Avgjør om implikasjonene nedenfor er riktige. Begrunn svarene dine.
$$
x = 3 \;\wedge\; y = 7 \quad\Rightarrow\quad x + y = 10
$$
$$
(x-2) \cdot x \cdot (x+3) = 0 \quad\Rightarrow\quad x = -3
$$
2\) Avgjør om den motsatte implikasjonen er riktig i noen av utsagnene i c) 1).
---
## V2012 del 2 oppgave 6 — Bedriftsoptimering med regresjon inntekt og kostnad S1 V12
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2012 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 10
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Regresjon, Kostnadsfunksjon, Optimering, Derivasjon, Lineære funksjoner
- **Kort beskrivelse:** Finne regresjonsmodell for etterspørsel, utlede inntekts- og overskuddsfunksjoner og bestemme optimal pris ved derivasjon.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/bedriftsoptimering-med-regresjon-inntekt-og-kostnad-s1-v12/
### Oppgavetekst
En bedrift selger en vare og ønsker å finne en optimal pris per enhet. De har foretatt en markedsanalyse og funnet ut at når prisen er $p$ kroner per enhet, får de solgt $x$ enheter slik tabellen nedenfor viser.
| Pris $p$ | 12 | 16 | 20 | 24 | 28 | 32 | 36 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Antall solgte enheter $x$ | 1 153 | 1 001 | 839 | 690 | 490 | 380 | 190 |
a) Bruk regresjon til å finne en modell for antall solgte enheter som funksjon av prisen $p$.
Videre i oppgaven går vi ut fra følgende modell for antall solgte enheter
$$
x = -40p + 1600
$$
når prisen er $p$ kroner per enhet.
Bedriften ønsker å sette prisen så høyt som mulig, men ikke høyere enn at de får solgt alle enhetene de produserer.
b) Vis at inntekten ved salg av $x$ enheter er
$$
I(x) = -0{,}025x^2 + 40x
$$
Bedriften har kommet fram til at kostnadene ved å produsere $x$ enheter er
$$
K(x) = 0{,}002x^2 + 10x + 4\,000, \quad x \in \langle 0,\, 1200 \rangle
$$
c) Avgjør om bedriften får et overskudd dersom de produserer og selger 1 000 enheter.
d) Tegn grafene til funksjonene $K$ og $I$ i samme koordinatsystem.
e) Vis at overskuddet ved produksjon av $x$ enheter er gitt ved
$$
O(x) = -0{,}027x^2 + 30x - 4\,000
$$
f) Hva må prisen per enhet være for at overskuddet skal bli størst mulig?
---
## V2012 del 2 oppgave 8 — Lineær optimering for stoler og bord S1 V12
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2012 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Lineær optimering, Ulikheter, Likningssystem
- **Kort beskrivelse:** Sette opp og løse et lineært optimeringsproblem for stol- og bordproduksjon med kapasitetsbetingelser fra tre avdelinger, og vurdere hva endret stykksalspris betyr for løsningen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lineaer-optimering-for-stoler-og-bord-s1-v12/
### Oppgavetekst
En bedrift lager stoler og bord. Produksjonen foregår i tre avdelinger, som tar seg av henholdsvis montering, kontroll og pakking.
*Monteringsavdelingen* har en arbeidskapasitet på i alt 2 525 min per dag. De bruker 3 min på å montere en stol og 50 min per bord.
*Kontrollavdelingen* har en arbeidskapasitet på 480 min per dag. De bruker 2 min på å kontrollere en stol og 8 min per bord.
*Pakkeavdelingen* har en arbeidskapasitet på 810 min per dag. De bruker 4 min på å pakke en stol og 10 min per bord.
a) La $x$ være antall stoler og $y$ antall bord som produseres per dag.
Vis at opplysningene ovenfor gir disse ulikhetene:
$$
x \geq 0, \quad y \geq 0
$$
$$
y \leq -0{,}06x + 50{,}5
$$
$$
y \leq -0{,}25x + 60
$$
$$
y \leq -0{,}40x + 81
$$
En stol selges for 300 kroner, og et bord selges for 1 600 kroner. Hele produksjonen blir solgt. Bedriften ønsker å innrette produksjonen slik at salgsinntekten blir så stor som mulig.
b) Bestem hvor mange stoler og hvor mange bord bedriften må produsere per dag dersom inntekten skal bli størst mulig. Hvor stor er den største inntekten?
c) Ved denne produksjonsmengden blir ikke hele arbeidskapasiteten ved bedriften utnyttet fullt ut.
Undersøk hvor mye den samlede arbeidskapasiteten kunne reduseres uten at det ville få betydning for produksjonen.
Bedriften lurer på om stolene burde selges for 400 kroner per stol, mens prisen på bord holdes uforandret på 1 600 kroner.
d) Vis at den maksimale inntekten da er 96 000 kroner per dag. Forklar at det er mulig å oppnå denne inntekten ved mange ulike produksjonsmengder.
---
## H2012 del 1 oppgave 1 — Andregradslikning, eksponentlikning og logaritmelikning S1 H12
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2012 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Andregradslikninger, Eksponentialfunksjon, Logaritmer, Likninger
- **Kort beskrivelse:** Løse andregradslikning, eksponentlikning og logaritmelikning med logaritmeregler.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/andregradslikning-eksponentlikning-og-logaritmelikning-s1-h12/
### Oppgavetekst
Løs likningene
a)
$$
x^2 + 2x = 8
$$
b)
$$
3 \cdot 3^x = 27
$$
c)
$$
2\lg(x + 1) = 4
$$
---
## H2012 del 1 oppgave 2 — Tredjegradsfunksjon nullpunkter og ekstremalpunkter S1 H12
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2012 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Funksjonsdrøfting, Nullpunkter
- **Kort beskrivelse:** Bestemme null-, topp- og bunnpunkter for $f(x) = x^3 - 3x$ og lage en skisse av grafen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tredjegradsfunksjon-nullpunkter-og-ekstremalpunkter-s1-h12/
### Oppgavetekst
Vi har gitt funksjonen
$$
f(x) = x^3 - 3x
$$
a) Bestem eventuelle null-, topp- og bunnpunkter på grafen til $f$.
b) Lag en skisse av grafen til $f$.
---
## H2012 del 1 oppgave 3 — Likningssystem med parabel og linje S1 H12
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2012 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Likningssystem, Andregradslikninger, Lineære funksjoner
- **Kort beskrivelse:** Løse likningssystem der en av likningene er en andregradsfunksjon ved substitusjon.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/likningssystem-med-parabel-og-linje-s1-h12/
### Oppgavetekst
Løs likningssystemet
$$
\begin{bmatrix} y - 10x = x^2 + 28 \\ y - 2x = 12 \end{bmatrix}
$$
Løs likningssystemet.
---
## H2012 del 1 oppgave 4 — Uttrykk for x uttrykt ved y med kvadratrot S1 H12
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2012 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 1
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Algebra, Likninger
- **Kort beskrivelse:** Isolere $x$ fra formelen $3y = \dfrac{4x^2}{3}$ og skrive $x$ uttrykt ved $y$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/uttrykk-for-x-uttrykt-ved-y-med-kvadratrot-s1-h12/
### Oppgavetekst
Lag en formel for $x$ uttrykt ved $y$ når $3y = \dfrac{4x^2}{3}$.
---
## H2012 del 1 oppgave 5 — Bjørkeved og granved likningssystem S1 H12
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2012 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Lett (1 av 3)
- **Temaer:** Likningssystem, Lineære funksjoner
- **Kort beskrivelse:** Sette opp og løse lineært likningssystem for antall sekker bjørkeved og granved ut fra antall og totalpris.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/bjorkeved-og-granved-likningssystem-s1-h12/
### Oppgavetekst
Harald kjøpte i alt 20 sekker med bjørkeved og granved. En sekk med bjørkeved kostet 83 kroner, og en sekk med granved kostet 65 kroner. Til sammen betalte han 1570 kroner for sekkene.
Bestem hvor mange sekker med bjørkeved og hvor mange sekker med granved Harald kjøpte.
---
## H2012 del 1 oppgave 6 — Logaritmeuttrykk og algebraisk forenkling S1 H12
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2012 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Logaritmer, Algebra
- **Kort beskrivelse:** Forenkle logaritmeuttrykk med logaritmeregler og algebraisk uttrykk ved å gange ut og samle like ledd.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/logaritmeuttrykk-og-algebraisk-forenkling-s1-h12/
### Oppgavetekst
Skriv så enkelt som mulig
a)
$$
\lg(ab)^2 + 3\lg b - \lg\left(\dfrac{a}{b^5}\right)
$$
b)
$$
(2x + 3)^2 - (2x - 1)(2x + 1) + (x - 3)(x - 1)
$$
---
## H2012 del 1 oppgave 7 — Pascals trekant binomialkoeffisienter og tresifrede tall S1 H12
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2012 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Kombinatorikk, Sannsynlighet
- **Kort beskrivelse:** Skrive opp Pascals trekant, lese av binomialkoeffisienter og telle antall tresifrede tall fra åtte nummererte lapper.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/pascals-trekant-binomialkoeffisienter-og-tresifrede-tall-s1-h12/
### Oppgavetekst
a) Skriv opp de åtte første radene i Pascals trekant.
b) Bruk Pascals trekant til å bestemme binomialkoeffisientene $\dbinom{4}{0}$, $\dbinom{5}{2}$, $\dbinom{5}{4}$ og $\dbinom{7}{5}$.
c) I en eske er det åtte papirlapper nummerert fra og med 1 til og med 8.
Hvor mange ulike tall med tre siffer kan vi lage med de åtte nummererte lappene?
---
## H2012 del 1 oppgave 8 — Derivasjon fra definisjon for andregradsfunksjon S1 H12
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2012 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 8
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Bevis
- **Kort beskrivelse:** Vise at $f'(x) = 4x$ for $f(x) = 2x^2 + 1$ ved å bruke definisjonen av den deriverte.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/derivasjon-fra-definisjon-for-andregradsfunksjon-s1-h12/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ er gitt ved
$$
f(x) = 2x^2 + 1
$$
Vis at $f'(x) = 4x$ ved å bruke definisjonen av den deriverte.
---
## H2012 del 2 oppgave 1 — Kajakker og hypergeometrisk sannsynlighet S1 H12
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2012 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Kombinatorikk
- **Kort beskrivelse:** Beregne sannsynligheter ved tilfeldig utvalg av kajakker med ulike farger fra et lager uten tilbakelegging.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kajakker-og-hypergeometrisk-sannsynlighet-s1-h12/
### Oppgavetekst
Et utleiefirma har 20 kajakker på lager. Av disse er sju gule, åtte røde og fem hvite. Maria og tre venner vil leie hver sin kajakk. Firmaet velger ut fire kajakker tilfeldig fra lageret.
a) Bestem sannsynligheten for at Maria og vennene får utdelt to gule, én rød og én hvit kajakk.
b) Bestem sannsynligheten for at firmaet velger ut fire gule kajakker.
c) Bestem sannsynligheten for at ingen av de fire kajakkene er gule.
---
## H2012 del 2 oppgave 2 — Tredjegradsfunksjon drøfting og gjennomsnittlig vekstfart S1 H12
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2012 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 9
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Funksjonsdrøfting, Vekstfart
- **Kort beskrivelse:** Drøfte $f(x) = \dfrac{1}{3}x^3 - \dfrac{3}{2}x^2$: skjæring med aksene, tegne graf, gjennomsnittlig og momentan vekstfart, topp-/bunnpunkter.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tredjegradsfunksjon-drofting-og-gjennomsnittlig-vekstfart-s1-h12/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ er gitt ved
$$
f(x) = \dfrac{1}{3}x^3 - \dfrac{3}{2}x^2
$$
a) Bestem ved regning skjæringspunktene mellom grafen til $f$ og koordinataksene.
b) Tegn grafen til $f$ når $x \in \langle -2,\ 5 \rangle$. Bestem den gjennomsnittlige vekstfarten i intervallet $\left[0, 3\right]$.
c) Bruk $f'(x)$ til å bestemme eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til $f$.
d) For hvilke verdier av $x$ er den momentane vekstfarten lik $-1{,}5$?
---
## H2012 del 2 oppgave 3 — Eksponentiell kostnadsfunksjon og overskuddsoptimering S1 H12
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2012 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 7
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Eksponentialfunksjon, Kostnadsfunksjon, Optimering, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Modellere kostnad og inntekt med eksponential- og lineær funksjon, finne nullpunkt for overskudd og optimal produksjonsmengde.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/eksponentiell-kostnadsfunksjon-og-overskuddsoptimering-s1-h12/
### Oppgavetekst
Kostnadene $f$, målt i kroner, ved å produsere en bestemt vare er gitt ved funksjonen
$$
f(x) = 3^{0{,}4x} + 2000
$$
der $x$ er antall hundre produserte enheter. For eksempel svarer $x = 20$ til 2 000 enheter.
Produsenten selger hele produksjonen. Prisen per enhet er 5,00 kroner.
a) Forklar at inntektsfunksjonen $g$ er gitt ved
$$
g(x) = 500x
$$
Tegn grafene til $f$ og $g$ i samme koordinatsystem når $x \in \left[0,\ 22\right]$.
b) Bestem hvor mange enheter som må produseres og selges for at driften skal gå i balanse.
c) Bestem den produksjonsmengden som gir størst overskudd.
Hvor stort er det største overskuddet?
---
## H2012 del 2 oppgave 4 — Lineær optimering av to varesproduksjon S1 H12
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2012 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Lineær optimering, Ulikheter, Likningssystem
- **Kort beskrivelse:** Tegne og markere gjennomførbart område for fire ulikheter, finne optimal produksjon av to varer og argumentere for minsteinntekt.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lineaer-optimering-av-to-varesproduksjon-s1-h12/
### Oppgavetekst
En bedrift produserer $x$ enheter av en vare A og $y$ enheter av en annen vare B. Bedriften har funnet ut at det er følgende begrensninger i forbindelse med produksjonen:
$$
3x + 9y \leq 132
$$
$$
4x + 2y \geq 50
$$
$$
2x + 3y \geq 44
$$
$$
5y - 4 \geq x
$$
a) Lag et koordinatsystem og marker på figuren det området som er avgrenset av de fire ulikhetene.
Bedriften regner med at vare A kan selges for 840,00 kroner per enhet, mens vare B kan selges for 1 500,00 kroner per enhet.
b) Hvor mange enheter bør produseres og selges av hvert vareslag dersom salgsinntekten skal bli størst mulig? Hvor stor er den maksimale inntekten bedriften kan oppnå?
c) Vis at bedriften er sikret en minsteinntekt på 19 440,00 kroner.
---
## H2012 del 2 oppgave 5 — Lukket sylinder med maksimalt volum S1 H12
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2012 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Optimering, Geometri
- **Kort beskrivelse:** Utlede volumformelen $V(x) = 6\pi x^2 - 2\pi x^3$ for sylinder med $d+h=6$, og vise at maksimalt volum er $8\pi$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lukket-sylinder-med-maksimalt-volum-s1-h12/
### Oppgavetekst
En produsent skal lage en rett, lukket sylinder. Høyden $h$ og diameteren $d$ kan variere, men $d + h = 6$. Vi setter radius i sylinderen lik $x$.
a) Vis at volumet $V$ av sylinderen da kan skrives som
$$
V(x) = 6\pi x^2 - 2\pi x^3
$$
Vis at i denne oppgaven må $x \in \langle 0,\ 3 \rangle$.
b) Bruk $V'(x)$ til å vise at det største volumet sylinderen kan få, er nøyaktig lik $8\pi$.
---
## V2011 del 1 oppgave 1 — Derivasjon, forenkling og likninger S1 V11
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2011 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 18
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Rasjonale funksjoner, Potenser, Logaritmer, Likningssystem, Andregradslikninger, Ulikheter, Eksponentialfunksjon
- **Kort beskrivelse:** Blandingsoppgave med derivasjon, forenkling av rasjonale og potensuttrykk, logaritmer, likningssystem, skjæringspunkter, kvadratsetning, ulikhet og eksponentialfunksjon.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/derivasjon-forenkling-og-likninger-s1-v11/
### Oppgavetekst
Vi har funksjonen $f(x) = 2x^3 - 5x + 2$
a)
1\) Deriver funksjonen.
2\) Bestem $f'(1)$. Hva forteller svaret deg om grafen til $f$?
Skriv så enkelt som mulig:
$$
\dfrac{3}{2x+4} - \dfrac{2-x}{3x+6}
$$
b) Skriv så enkelt som mulig (uttrykket over).
Skriv så enkelt som mulig:
$$
\dfrac{2^{-1} \cdot a \cdot b^{-1}}{4^{-1} \cdot a^{-2} \cdot b^2}
$$
c) Skriv så enkelt som mulig (uttrykket over).
Skriv så enkelt som mulig:
$$
\lg(a^2 \cdot b) + \lg(a \cdot b^2) + \lg\left(\frac{a}{b^3}\right)
$$
d) Skriv så enkelt som mulig (uttrykket over).
e) En familie på to voksne og to barn betalte til sammen 220 kroner for å komme inn på et arrangement. En annen voksen og tre barn betalte til sammen 190 kroner. Hva kostet én barnebillett, og hva kostet én voksenbillett?
Vi har gitt funksjonene $f(x) = x^2 - x - 2$ og $g(x) = x + 1$
f) Regn ut koordinatene til skjæringspunktene mellom grafen til $f$ og grafen til $g$.
Vi har gitt sammenhengen $a + ab + b^2 = 1$
g) Finn $a$ uttrykt ved $b$. Skriv svaret så enkelt som mulig.
h) Løs ulikheten $-2x^2 - 4x + 6 \geq 0$
i) Tegn grafen til funksjonen $f(x) = 4 \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^x$ når $x \geq 0$
---
## V2011 del 1 oppgave 2 — Binomialkoeffisient og hypergeometrisk sannsynlighet S1 V11
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2011 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Kombinatorikk, Sannsynlighet, Hypergeometrisk fordeling
- **Kort beskrivelse:** Beregn binomialkoeffisient og bruk hypergeometrisk fordeling til å finne sannsynligheter ved trekking fra gruppe med like mange gutter og jenter.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/binomialkoeffisient-og-hypergeometrisk-sannsynlighet-s1-v11/
### Oppgavetekst
a) Regn ut binomialkoeffisienten $\dbinom{8}{3}$
En gruppe på 8 elever består av like mange gutter som jenter.
Vi trekker tilfeldig ut 3 elever.
b) Hva er sannsynligheten for å trekke ut 2 gutter og 1 jente?
c) Hva er sannsynligheten for å trekke ut minst 1 jente?
---
## V2011 del 2 oppgave 3 — Binomisk sannsynlighet for smittet ørret
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2011 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Binomisk fordeling, Sannsynlighet
- **Kort beskrivelse:** Bruk binomisk sannsynlighetsmodell til å beregne sannsynligheter for antall smittede ørret blant 5 fangede, med $p = 0{,}30$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/binomisk-sannsynlighet-for-smittet-orret/
### Oppgavetekst
Langs en del av kysten regner man med at 30 % av all ørret er smittet av en bestemt sykdom. Vi fanger 5 tilfeldige ørreter.
a) Hva må vi anta for å kunne bruke binomiske sannsynligheter i denne situasjonen?
b) Finn sannsynligheten for at
1\) alle 5 er smittet
2\) akkurat 3 er smittet
3\) høyst 3 er smittet
4\) minst 1 er smittet
---
## V2011 del 2 oppgave 4 — Bankkonto med eksponentialvekst og gjennomsnittlig vekstfart
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2011 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Eksponentialfunksjon, Geometrisk vekst, Vekstfart, Logaritmer
- **Kort beskrivelse:** Les av startbeløp og beregn kapital etter 8 år fra $K(t) = 30000 \cdot 1{,}035^t$, finn tid til 40 000 kr med logaritme, og beregn gjennomsnittlig vekstfart over 15 år.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/bankkonto-med-eksponentialvekst-og-gjennomsnittlig-vekstfart/
### Oppgavetekst
Et beløp ble satt inn på en bankkonto. Kapitalen $K$ på kontoen $t$ år etter at beløpet ble satt inn, er
$$
K(t) = 30000 \cdot 1{,}035^t
$$
a)
1\) Hvor stort beløp ble satt inn?
2\) Hvor mye sto det på kontoen etter 8 år?
b) Hvor lang tid tok det før beløpet på kontoen hadde økt til 40 000 kroner?
c) Finn den gjennomsnittlige vekstfarten de 15 første årene.
---
## V2011 del 2 oppgave 5 — Inntekt, kostnad og maksimalt overskudd for bedrift S1 V11
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2011 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 10
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Kostnadsfunksjon, Optimering, Derivasjon, Andregradslikninger
- **Kort beskrivelse:** Finn inntektsfunksjon fra salgspris, tegn grafer for $K$ og $I$, bestem overskuddsintervall og maksimalt overskudd ved derivasjon av $O(x) = -0{,}3x^2 + 280x - 20000$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/inntekt-kostnad-og-maksimalt-overskudd-for-bedrift-s1-v11/
### Oppgavetekst
En bedrift produserer og selger $x$ enheter av en vare per uke. De ukentlige produksjonskostnadene $K$ er
$$
K(x) = 0{,}2x^2 + 20x + 20000, \quad x \in \langle 0, \; 1000 \rangle
$$
Salgsprisen $P$ på varen er
$$
P(x) = 300 - 0{,}1x
$$
Både $K(x)$ og $P(x)$ er gitt i kroner.
a) Finn et uttrykk $I(x)$ for bedriftens inntekt $I$ per uke.
b) Tegn grafen til kostnadsfunksjonen $K$ og grafen til inntektsfunksjonen $I$ i det samme koordinatsystemet.
c) For hvilke verdier av $x$ går bedriften med overskudd?
d)
1\) Vis at uttrykket for overskuddsfunksjonen $O$ kan skrives $O(x) = -0{,}3x^2 + 280x - 20000$
2\) Undersøk hva $x$ må være for at overskuddet skal bli størst mulig.
3\) Hva er prisen for varen når overskuddet er størst? Hvor stort er overskuddet da?
---
## V2011 del 2 oppgave 6 — Lineær optimering for leketøysfabrikk med dukker og lekebiler
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2011 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 7
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Lineær optimering
- **Kort beskrivelse:** Sett opp og løs et lineært optimeringsproblem for en leketøysfabrikk som produserer dukker og lekebiler med restriksjoner på arbeidstimer i tre avdelinger.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lineaer-optimering-for-leketoysfabrikk-med-dukker-og-lekebiler/
### Oppgavetekst
I denne oppgaven skal du bruke lineær optimering.
En leketøysfabrikk lager to populære leker, en dukke og en lekebil.
Fabrikken har tre avdelinger, én for produksjon, én for maling og én for montering av lekene.
Nedenfor ser du en oversikt over nødvendig tidsbruk per leke og antall arbeidstimer som kan brukes i hver av de tre avdelingene.
| Avdeling | Arbeidstimer per dukke | Arbeidstimer per lekebil | Tilgjengelige arbeidstimer |
|----------|----------------------|--------------------------|---------------------------|
| Produksjon | 0,5 | 0,25 | 700 |
| Maling | 1 | 0,25 | 1 100 |
| Montering | 0,2 | 0,5 | 1 200 |
Hver dukke kan selges for 900 kroner, mens hver lekebil kan selges for 300 kroner. Vi forutsetter at alt som produseres, blir solgt.
a) Hvor mange av hver leke vil du anbefale fabrikken å lage når de ønsker at den totale inntekten skal bli så høy som mulig? (Denne oppgaven teller som tre delspørsmål.)
b) Hva er den største inntekten fabrikken kan oppnå?
---
## V2011 del 2 oppgave 7 — Tre bakere fordeler hvetemel og bestemmer startmengde
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2011 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Likninger, Algebra, Rekker
- **Kort beskrivelse:** Forklar algebraisk at tre bakere tar $\dfrac{x}{2}+\dfrac{1}{2}$, $\dfrac{x}{4}+\dfrac{1}{4}$ og $\dfrac{x}{8}+\dfrac{1}{8}$ kg hvetemel, og bestem $x$ fra ligningen med 1 kg igjen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tre-bakere-fordeler-hvetemel-og-bestemmer-startmengde/
### Oppgavetekst
Tre bakere skal bake brød.
La $x$ være antall kilogram hvetemel som skal brukes.
a) Baker nr. 1 tar halvparten av hvetemelet, pluss et halvt kilogram. Forklar at baker nr. 1 tar $\left(\dfrac{x}{2} + \dfrac{1}{2}\right)$ kg hvetemel, og at det er igjen $\left(\dfrac{x}{2} - \dfrac{1}{2}\right)$ kg hvetemel.
b) Baker nr. 2 tar halvparten av det hvetemelet som er igjen, pluss et halvt kilogram. Forklar at baker nr. 2 tar $\left(\dfrac{x}{4} + \dfrac{1}{4}\right)$ kg hvetemel, og at det er igjen $\left(\dfrac{x}{4} - \dfrac{3}{4}\right)$ kg hvetemel.
c) Baker nr. 3 tar halvparten av det hvetemelet som er igjen, pluss et halvt kilogram. Forklar at baker nr. 3 tar $\left(\dfrac{x}{8} + \dfrac{1}{8}\right)$ kg hvetemel.
Etter at de tre bakerne har tatt hvetemelet sitt, er det 1 kg hvetemel igjen.
d) Forklar at $\left(\dfrac{x}{2} + \dfrac{1}{2}\right) + \left(\dfrac{x}{4} + \dfrac{1}{4}\right) + \left(\dfrac{x}{8} + \dfrac{1}{8}\right) = x - 1$. Bestem $x$.
---
## H2011 del 1 oppgave 1 — Derivasjon, likninger, potenser og binomialkoeffisienter S1 H11 del1
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2011 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 24
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Likninger, Logaritmer, Potenser, Ulikheter, Funksjonsdrøfting, Likningssystem, Kombinatorikk
- **Kort beskrivelse:** Sammensatt Del 1-oppgave med derivasjon, fire likningstyper, skjæringspunkter, potensforenkling, brøkforkorting, lineær optimering og binomialkoeffisienter fra Pascals trekant.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/derivasjon-likninger-potenser-og-binomialkoeffisienter-s1-h11-del1/
### Oppgavetekst
a) Deriver funksjonen
$$
f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 2x + 3
$$
b) Løs likningene
1\)
$$
\dfrac{6x}{5} - 2 = \dfrac{4}{5} + \dfrac{x}{2}
$$
2\)
$$
3x^2 = 18 - 3x
$$
3\)
$$
2\lg x + 3 = 5
$$
4\)
$$
2 \cdot 3^x = 54
$$
c) Bestem koordinatene til skjæringspunktene på grafene til funksjonene
$$
f(x) = x^2 + x \quad \text{og} \quad g(x) = -x + 3
$$
d) Skriv så enkelt som mulig
1\)
$$
\dfrac{2^2 \cdot 2 \cdot 2^3}{2^5 \cdot 2^{-2}}
$$
2\)
$$
\dfrac{(a^2 \cdot b)^2 \cdot a \cdot b^3}{a^3 \cdot b^{-2}}
$$
e) Forkort brøken
$$
\frac{3a^2 - 75}{6a + 30}
$$
f) Vi har gitt ulikhetene
$$
x > 0
$$
$$
y > 0
$$
$$
x + y \leq 3
$$
$$
3x + y \leq 6
$$
Tegn ulikhetene inn i et koordinatsystem. Skraver det området i koordinatsystemet som tilfredsstiller *alle* ulikhetene.
Vi har gitt en funksjon $f$. Fortegnslinjen til $f'(x)$ er gitt ved
g)
1\) Bestem hvor grafen til $f$ stiger og synker.
2\) Tegn en skisse som viser hvordan grafen til $f$ *kan* se ut.
h) En gruppe på to voksne og to barn går på fotballkamp. Billettene koster til sammen 500 kroner. En annen gruppe på én voksen og fire barn betaler til sammen 550 kroner.
Sett opp et likningssystem, og finn prisen for én barnebillett og én voksenbillett.
i) Vi skal studere sammenhengen mellom noen binomialkoeffisienter.
1\) Skriv opp de seks første radene i Pascals talltrekant.
2\) Bruk oppgave i) 1\) til å forklare at $\dbinom{5}{3} = \dbinom{4}{2} + \dbinom{4}{3}$
3\) Sett opp en tilsvarende sammenheng for $\dbinom{6}{5}$
---
## H2011 del 2 oppgave 2 — Fjelltur ryggsekker og kombinatorisk sannsynlighet
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2011 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Kombinatorikk, Sannsynlighet
- **Kort beskrivelse:** Beregne sannsynligheter uten tilbakelegging for å trekke hvem som bærer tunge ryggsekker i en klasse av 12 jenter og 8 gutter.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/fjelltur-ryggsekker-og-kombinatorisk-sannsynlighet/
### Oppgavetekst
En klasse på 12 jenter og 8 gutter er på fjelltur. Fire av ryggsekkene er ekstra tunge. De bestemmer seg for å trekke lodd om hvem som skal bære disse ryggsekkene.
a) Bestem sannsynligheten for at det er fire jenter som må bære de tunge ryggsekkene.
b) Bestem sannsynligheten for at de fire ryggsekkene fordeles på to jenter og to gutter.
c) Bestem sannsynligheten for at minst én gutt må bære en tung ryggsekk.
---
## H2011 del 2 oppgave 3 — Jordskjelv og energi på Richters skala
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2011 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Logaritmer, Eksponentialfunksjon, Modellering
- **Kort beskrivelse:** Bruke formelen $E = 10^{1{,}5R+9}$ for energi i jordskjelv til å beregne energimengder, bestemme Richter-tall og tolke forholdstall.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/jordskjelv-og-energi-pa-richters-skala/
### Oppgavetekst
Kilde: www.ssb.no/emner/01/03/10/energikomm/tab-2011-02-22-02.html (06.05.2011)
Energimengden $E$, målt i joule (J), som blir utløst i et jordskjelv med styrke $R$ på Richters skala, er gitt ved
$$
E = 10^{1{,}5R + 9}
$$
a) Bestem energimengden som utløses av et jordskjelv som har styrke 7,5 på Richters skala.
b) I 2009 var det årlige forbruket av energi i Norge $3{,}99 \cdot 10^{17}$ J. Bestem Richter-tallet $R$ til et jordskjelv som utløser samme energimengde.
c) Bestem $\dfrac{E(5)}{E(4)}$ og $\dfrac{E(9)}{E(8)}$. Kommenter svarene dine.
---
## H2011 del 2 oppgave 4 — Implikasjon x kvadrat minus 9
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2011 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Likninger, Ulikheter
- **Kort beskrivelse:** Velge riktig logisk symbol ($\Rightarrow$, $\Leftarrow$ eller $\Leftrightarrow$) mellom $x^2 - 9 = 0$ og $x = 3$, og begrunne valget.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/implikasjon-x-kvadrat-minus-9/
### Oppgavetekst
Sett inn korrekt symbol ($\Rightarrow$ eller $\Leftarrow$ eller $\Leftrightarrow$) i boksen slik at påstanden blir riktig:
$$
x^2 - 9 = 0 \quad \boxed{\phantom{\Rightarrow}} \quad x = 3
$$
Skriv av oppgaven på besvarelsen din, og forklar hvordan du tenker.
---
## H2011 del 2 oppgave 5 — Flytur og binomisk fordeling av amerikanere
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2011 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Kombinatorikk, Binomisk fordeling
- **Kort beskrivelse:** Beregne sannsynligheter for amerikanere om bord i fly, først uten tilbakelegging (klassisk kombinatorikk) og deretter med binomisk fordeling.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/flytur-og-binomisk-fordeling-av-amerikanere/
### Oppgavetekst
På en flytur er det 70 passasjerer om bord. Av disse er 35 amerikanere.
a) Vi regner med at passasjerene går om bord i vilkårlig rekkefølge.
Bestem sannsynligheten for at de 3 første passasjerene som går om bord i flyet, er amerikanere.
På en annen flytur er sannsynligheten 0,5 for at en tilfeldig valgt passasjer er amerikaner. Vi regner med at passasjerene plasseres vilkårlig i flyet. På første seterad er det 10 seter i bredden. Alle setene på første seterad fylles opp.
b) Bestem sannsynligheten for at det sitter akkurat 3 amerikanere på første seterad.
c) Bestem sannsynligheten for at det sitter minst 3 amerikanere på første seterad.
---
## H2011 del 2 oppgave 6 — Bakeri brødproduksjon kostnad og optimalt overskudd
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2011 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Poeng:** 9
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Regresjon, Kostnadsfunksjon, Derivasjon, Optimering
- **Kort beskrivelse:** Finne en andregradsmodell for kostnadsfunksjonen til et bakeri ved regresjon, beregne grensekostnad og bestemme optimal produksjonsmengde.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/bakeri-brodproduksjon-kostnad-og-optimalt-overskudd/
### Oppgavetekst
Et bakeri lager og selger et populært brød. Tabellen nedenfor viser sammenhengen mellom antall bakte brød $x$ og kostnadene $K(x)$ kroner.
| $x$ | 50 | 75 | 100 | 125 | 150 | 175 | 200 | 225 | 250 | 275 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $K(x)$ | 190 | 240 | 280 | 365 | 489 | 655 | 878 | 1121 | 1323 | 1700 |
a) Bruk regresjon, og vis at
$$
K(x) = 0{,}029x^2 - 2{,}8x + 270
$$
er en god modell for kostnadsfunksjonen.
b) Regn ut $K'(200)$. Hva forteller dette tallet oss?
c) Utsalgsprisen per brød settes til 14 kroner.
Vis at bakeriet vil få et overskudd på
$$
O(x) = -0{,}029x^2 + 16{,}8x - 270
$$
ved produksjon og salg av $x$ brød.
d) Bakeriet har funnet ut at overskuddet blir størst når kostnaden ved å produsere ett ekstra brød er akkurat lik 14 kroner. Forklar hvorfor dette er riktig.
e) Bestem det antallet brød som gir størst overskudd, og hvor stort dette overskuddet blir.
---
## H2011 del 2 oppgave 7 — Jernbane setefordeling og lineær optimering
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2011 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 7
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Lineær optimering, Ulikheter
- **Kort beskrivelse:** Bestemme optimal fordeling av seter på første og andre klasse i et togsett for å maksimere billettinntektene, gitt fire lineære begrensninger.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/jernbane-setefordeling-og-lineaer-optimering/
### Oppgavetekst
Et jernbaneselskap skal innrede et nytt togsett. Sitteplassene i toget er fordelt på første klasse og andre klasse. Selskapet ønsker å fordele setene slik at billettinntektene blir størst mulig. Etterspørselen er stor, så de regner med å selge alle billettene på hver avgang.
La $x$ være antall seter på første klasse, og la $y$ være antall seter på andre klasse.
Fordelingen av seter er gitt med følgende begrensninger:
$$
60 \leq y \leq 400
$$
$$
0 \leq x \leq 150
$$
$$
y \leq -\dfrac{1}{3}x + 250
$$
$$
y \leq -\dfrac{4}{3}x + 360
$$
Billettprisen på første klasse er 820 kroner per sete, og prisen på andre klasse er 465 kroner per sete.
Bestem det antallet seter på første klasse og det antallet seter på andre klasse som gir selskapet størst mulig samlet inntekt per avgang.
Bestem hvor stor denne inntekten blir.
---
## V2010 del 1 oppgave 1 — Polynomfunksjon potensforenkling logaritmer og ulikheter S1 V10
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2010 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Polynomfunksjoner, Potenser, Logaritmer, Likninger, Ulikheter
- **Kort beskrivelse:** Regn ut funksjonsverdi og derivert, forenkle potens- og logaritmeuttrykk, løs eksponent- og logaritmelikninger, og løs en tredjegradsulikhet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/polynomfunksjon-potensforenkling-logaritmer-og-ulikheter-s1-v10/
### Oppgavetekst
a)
Gitt polynomfunksjonen $f(x) = 2x^3 - x^2$.
1\) Regn ut $f(1)$ og $f'(1)$.
2\) Bruk 1) til å beskrive hvordan grafen til $f$ ser ut i et lite område rundt punktet som har førstekoordinat $x = 1$.
b) Skriv så enkelt som mulig:
1\)
$$
(a-b)^2 + (a+b)(a-b)
$$
2\)
$$
\dfrac{a^2 \cdot (a \cdot b^2)^2}{(a^2)^3 \cdot b^3}
$$
3\)
$$
\lg(a^2 \cdot b) + \lg\left(\dfrac{1}{a \cdot b}\right)
$$
c) Løs likningene:
1\)
$$
3 \cdot 10^{3x} = 3000
$$
2\)
$$
2\lg x - \lg\left(\dfrac{1}{x}\right) = 6
$$
d) Løs ulikheten
$$
-3(x+1)(x-2) > 0
$$
---
## V2010 del 1 oppgave 2 — Derivert funksjon tabell og vekst-avtak S1 V10
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2010 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Funksjonsdrøfting
- **Kort beskrivelse:** Fyll ut tabell for $f'(x) = x^2 - 2x$, tegn grafen til $f'$, og bruk den til å bestemme hvor $f$ vokser og avtar.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/derivert-funksjon-tabell-og-vekst-avtak-s1-v10/
### Oppgavetekst
Den deriverte til en funksjon $f$ er gitt ved $f'(x) = x^2 - 2x$.
a) Skriv av og fyll ut tabellen nedenfor.
| $x$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ |
|-----|------|-----|-----|-----|-----|
| $f'(x)$ | | | | | |
b) Tegn grafen til $f'$ og bruk grafen til $f'$ til å bestemme hvor grafen til $f$ vokser, og hvor den avtar.
---
## V2010 del 1 oppgave 3 — Terninger kuler og staver på skålvekt – likningssystem
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2010 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Likningssystem
- **Kort beskrivelse:** Sett opp et likningssystem fra en balansert skålvekt med terninger, kuler og staver, og bruk systemet til å besvare et nytt balanseringsspørsmål.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/terninger-kuler-og-staver-pa-skalvekt-likningssystem/
### Oppgavetekst
Per og Kari leker med terninger, kuler og stavformete klosser. To ganger klarer de å balansere en skålvekt. Den første gangen ligger det to terninger og én kule i den ene skåla og åtte staver i den andre. Den andre gangen ligger det én terning i den ene skåla og én kule og én stav i den andre. Se figurene under.
La $x$ være vekten til én terning, la $y$ være vekten til én kule, og la $z$ være vekten til én stav.
a) Skriv opp en likning som passer til figur 1, og en likning som passer til figur 2.
Den tredje gangen legger de én terning i den ene skåla og bare staver i den andre skåla. Se figur 3.
b) Hvor mange staver må de nå legge i skåla for å balansere vekten?
---
## V2010 del 2 oppgave 4 — Binomisk sannsynlighet for pasienter som blir friske
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2010 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Binomisk fordeling, Sannsynlighet
- **Kort beskrivelse:** Sett opp binomisk sannsynlighetsformel, finn sannsynlighet for akkurat 15 og minst 15 friske pasienter blant 20, og bestem minste $x$ med $P(X \geq x) > 0{,}9$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/binomisk-sannsynlighet-for-pasienter-som-blir-friske/
### Oppgavetekst
En bedrift har utviklet en medisin til behandling av en sykdom. Bedriften anslår at 80 % av pasientene som bruker medisinen, blir friske. Vi bruker dette anslaget i utregningene nedenfor.
20 tilfeldig utvalgte pasienter får medisinen.
a) Skriv opp en formel for sannsynligheten for at akkurat $x$ av de 20 pasientene blir friske.
b) Finn sannsynligheten for at akkurat 15 av pasientene blir friske.
c) Finn sannsynligheten for at minst 15 av pasientene blir friske.
d) Bestem $x$ slik at sannsynligheten for at minst $x$ pasienter blir friske, er større enn 0,9.
---
## V2010 del 2 oppgave 5 — Kostnad og inntekt med andregradsfunksjoner og maksimalt overskudd
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2010 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Kostnadsfunksjon, Derivasjon, Optimering, Andregradslikninger
- **Kort beskrivelse:** Beregn overskudd for $x=300$, finn overskuddsfunksjon $P(x)=I(x)-K(x)$, løs $P(x)=0$ og bruk derivasjon til å finne maksimalt overskudd.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kostnad-og-inntekt-med-andregradsfunksjoner-og-maksimalt-overskudd/
### Oppgavetekst
Kostnaden $K$ og inntekten $I$ ved produksjon og salg av $x$ enheter av en vare er gitt ved
$$
K(x) = 0{,}2x^2 + 200x
$$
$$
I(x) = -0{,}3x^2 + 400x
$$
Vi antar at produksjonen er mindre enn 500 enheter. Både kostnaden og inntekten oppgis i kroner.
a) Finn kostnaden og inntekten når bedriften produserer og selger 300 enheter. Hvor stort blir overskuddet?
b) Bestem et uttrykk for overskuddsfunksjonen $P$. Løs likningen $P(x) = 0$.
c) Bruk derivasjon til å finne den produksjonen som gir størst overskudd. Hvor stort er det største overskuddet?
---
## V2010 del 2 oppgave 6 — Lineær optimering for vannprøveanalyse
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2010 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Lineær optimering, Ulikheter
- **Kort beskrivelse:** Skraver et ulikhetsområde, sett opp ulikheter for en laboratoriesituasjon med assistent og tekniker, og maksimer lønnskostnadene innenfor betingelsene.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lineaer-optimering-for-vannproveanalyse/
### Oppgavetekst
Nedenfor følger et sett med ulikheter:
$$
x > 0
$$
$$
y > \dfrac{2}{x} + 2
$$
$$
2y - 16 < -4x
$$
a) Lag et koordinatsystem og skraver/fargelegg det området som er avgrenset av ulikhetene.
Vi studerer følgende situasjon:
Et laboratorium skal analysere vannprøver. Det har kapasitet til å utføre inntil 570 slike analyser. En uerfaren assistent og en erfaren tekniker deler på arbeidet. Assistenten analyserer 4 prøver per time, og teknikeren analyserer 6 prøver per time. Det kan brukes inntil 120 timer på analysene. Teknikeren kan ikke bruke mer enn 70 timer på analysen av disse vannprøvene.
b) Bestem et sett med ulikheter som beskriver betingelsene i teksten over.
c) Lag et koordinatsystem og skraver/fargelegg det området som er avgrenset av ulikhetene i b).
Assistenten lønnes med 100 kroner per time, og teknikeren lønnes med 175 kroner per time. De får i oppdrag å analysere 570 vannprøver. Ellers gjelder de samme betingelsene som i spørsmål b).
d) Hvor mange timer må assistenten arbeide, og hvor mange timer må teknikeren arbeide for at de to til sammen skal tjene mest mulig?
---
## V2010 del 2 oppgave 7-I — Konsentrasjon i kjemisk reaksjon med eksponentialfunksjon
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2010 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7-I
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Eksponentialfunksjon, Vekstfart, Logaritmer
- **Kort beskrivelse:** Tegn graf for eksponentialfunksjon, bestem tidspunkt ved logaritme, beregn gjennomsnittlig og momentan veksthastighet, og finn grenseverdi for konsentrasjonen.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/konsentrasjon-i-kjemisk-reaksjon-med-eksponentialfunksjon/
### Oppgavetekst
Du skal besvare enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene teller like mye ved vurderingen.
**Alternativ I**
Ved en kjemisk reaksjon i en sur løsning endrer konsentrasjonen av et stoff seg med tida. Konsentrasjonen, målt i millimol per liter, etter $t$ sekunder er gitt ved
$$
f(t) = 3{,}00 - 3{,}00 \cdot 10^{-0{,}0007t}
$$
a) Tegn grafen til $f$ når $t \leq 3600$.
b) Bestem ved regning hvor lang tid det tar før konsentrasjonen er 2 millimol per liter.
c) Bestem ved regning den gjennomsnittlige veksthastigheten de 10 første minuttene.
d) Finn en tilnærmet verdi for den momentane veksthastigheten når $t = 600$.
e) Vi lar den sure løsningen stå i mange timer. Bruk modellen til å avgjøre hvilken konsentrasjon vi da kan vente oss.
---
## V2010 del 2 oppgave 7-II — Prisindeks for leiligheter i Stavanger – regresjonsanalyse
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2010 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7-II
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Regresjon, Derivasjon, Funksjonsdrøfting
- **Kort beskrivelse:** Finn 4. gradsfunksjon ved regresjon for prisindeksdata, tegn graf, bruk derivasjon til å finne maksimalpris, og sammenlign med 3. gradsfunksjon for prognose.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/prisindeks-for-leiligheter-i-stavanger-regresjonsanalyse/
### Oppgavetekst
Du skal besvare enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene teller like mye ved vurderingen.
**Alternativ II**
*I deler av denne oppgaven er det en fordel å bruke digitalt verktøy.*
Prisindeks er et mål for pris. Tabellen viser hvordan prisindeksen for leiligheter i Stavanger varierte i perioden fra 1. kvartal 2008 til 2. kvartal 2009. Ett år deles inn i fire kvartaler som hvert er på tre måneder.
| Tidspunkt | 1. kvartal 2008 | 2. kvartal 2008 | 3. kvartal 2008 | 4. kvartal 2008 | 1. kvartal 2009 | 2. kvartal 2009 |
|-----------|----------------|----------------|----------------|----------------|----------------|----------------|
| $x$ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| Prisindeks | 100 | 99,2 | 96,5 | 89,7 | 93,3 | 97,9 |
Vi lar $x$ være antall kvartaler etter 1. kvartal i 2008.
a) Bruk digitalt verktøy og finn en 4. gradsfunksjon $f$ som passer best mulig med dataene i tabellen.
b) Tegn grafen til $f$ i et koordinatsystem sammen med punktene som er gitt i tabellen. Bruk $x$-verdier fra 0 til 8 og $y$-verdier fra 80 til 120. Hvordan syns du funksjonen passer?
c) Bruk derivasjon til å bestemme når prisen på leiligheter vil nå sitt høyeste nivå, ut fra funksjonen i a). Hvilken prisindeks gir funksjonen da?
d)
1\) Vis at det også finnes en 3. gradsfunksjon $g$ som gir en god tilnærming til dataene i tabellen over.
2\) Hvilke tall gir de to funksjonene $f$ og $g$ for prisindeksen på leiligheter i 2. kvartal 2010?
---
## H2010 del 1 oppgave 1 — Likninger, rasjonale funksjoner og derivasjon S1 H10
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2010 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Poeng:** 18
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Likninger, Andregradslikninger, Likningssystem, Eksponentialfunksjon, Rasjonale funksjoner, Derivasjon, Funksjonsdrøfting
- **Kort beskrivelse:** Løse brøklikning, andregradslikning, likningssystem, eksponentiallikning, tegne rasjonal funksjon og drøfte tredjegradsfunksjon.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/likninger-rasjonale-funksjoner-og-derivasjon-s1-h10/
### Oppgavetekst
a) Løs likningene
1\)
$$
\dfrac{1}{6} + \dfrac{x-1}{3} = \dfrac{7}{6} - \dfrac{x+1}{2}
$$
2\)
$$
2x^2 = 10x - 12
$$
b) Løs likningssystemet
$$
\begin{cases} y = x^2 - 3x - 2 & \\ y + 2 = 2x \end{cases}
$$
c)
1\) Løs likningen $3 \cdot 2^x = 24$
2\) Finn en formel for $x$ når $y = a \cdot b^x$
d) Vi har gitt funksjonen:
$$
f(x) = \dfrac{2x-4}{x-1}
$$
Tegn grafen til $f$ for $x \in \langle -3,\ 5 \rangle$
e) Vi har gitt funksjonen:
$$
f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x
$$
1\) Bestem $f'(x)$
2\) Tegn fortegnslinjen til $f'(x)$ og bruk denne til å finne topp- og bunnpunktet på grafen til $f$.
f) Geir jogger en fast runde hver morgen. Dette tar vanligvis 60 minutter. En dag har han dårlig tid og kutter strekningen med 20 % og øker farten med 20 %.
Hvor lang tid tar joggeturen denne morgenen?
---
## H2010 del 2 oppgave 2 — Pascals trekant og binomialkoeffisienter S1 H10
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2010 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Poeng:** 6
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Kombinatorikk, Binomisk fordeling
- **Kort beskrivelse:** Skrive opp rader i Pascals trekant, bestemme binomialkoeffisienter og verifisere at radsum er $2^n$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/pascals-trekant-og-binomialkoeffisienter-s1-h10/
### Oppgavetekst
a) Rad nummer 0, 1 og 2 i Pascals trekant er
$$
\begin{array}{c} 1 \\ 1 \quad 1 \\ 1 \quad 2 \quad 1 \end{array}
$$
Skriv opp de tre neste radene.
b) Bruk Pascals trekant til å bestemme binomialkoeffisientene
$$
\binom{3}{0}, \quad \binom{4}{1}, \quad \binom{4}{3} \quad \text{og} \quad \binom{5}{5}
$$
For rad nummer $n$ i Pascals trekant gjelder følgende sammenheng:
$$
\binom{n}{0} + \binom{n}{1} + \binom{n}{2} + \cdots + \binom{n}{n} = 2^n
$$
c) Vis at dette stemmer for rad nummer 0, 1, 2, 3, 4 og 5.
Finn summen av binomialkoeffisientene i rad nummer 10.
---
## H2010 del 2 oppgave 3 — Elevrådskomité og sannsynlighet ved loddtrekning
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2010 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Kombinatorikk, Sannsynlighet
- **Kort beskrivelse:** Telle mulige komiteer, beregne sannsynlighet for kjønnssammensetning og for bestemte roller ved loddtrekning.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/elevradskomite-og-sannsynlighet-ved-loddtrekning/
### Oppgavetekst
Elevrådet ved en skole består av 9 jenter og 6 gutter. Blant disse skal det velges en komité på 5 personer. De bestemmer seg for å trekke ut de 5 personene tilfeldig.
a) Hvor mange mulige komiteer med 5 personer kan vi sette sammen av medlemmene i elevrådet?
b) Hva er sannsynligheten for at det blir 2 gutter og 3 jenter i komiteen?
Det er trukket ut en komité på 5 medlemmer. Elise og Mathias er med i komiteen. Det er ingen som har lyst til å være leder eller sekretær. De bestemmer seg derfor for å velge ut leder og sekretær ved loddtrekning blant de 5 medlemmene. De trekker først lederen og deretter sekretæren.
c) Hva er sannsynligheten for at Elise blir leder og Mathias sekretær?
d) Hva er sannsynligheten for at Elise blir leder og en annen enn Mathias blir sekretær?
---
## H2010 del 2 oppgave 4 — Lyskryss og binomisk sannsynlighet S1 H10
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2010 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Binomisk fordeling, Sannsynlighet
- **Kort beskrivelse:** Bruke binomisk fordeling til å beregne nøyaktig og kumulativ sannsynlighet for grønt lys ved gjentatte passeringer.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lyskryss-og-binomisk-sannsynlighet-s1-h10/
### Oppgavetekst
Solveig passerer et lyskryss 40 ganger på vei til og fra skolen i løpet av en måned. I krysset er det grønt lys 35 % av tida.
a) Hva er sannsynligheten for at Solveig får grønt lys akkurat 16 ganger?
b) Hva er sannsynligheten for at Solveig får grønt lys minst 16 ganger?
---
## H2010 del 2 oppgave 5 — Eksponentialfunksjoner med faktor 2 i minus x
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2010 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Poeng:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Eksponentialfunksjon, Likningssystem, Derivasjon
- **Kort beskrivelse:** Tegne og sammenligne to funksjoner med $2^{-x}$ som faktor, og finne skjæringspunkter grafisk og ved regning.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/eksponentialfunksjoner-med-faktor-2-i-minus-x/
### Oppgavetekst
Funksjonene $f$ og $g$ er gitt ved
$$
f(x) = 2x^2 \cdot 2^{-x}
$$
$$
g(x) = (8x - 6) \cdot 2^{-x}
$$
a) Tegn grafene til $f$ og $g$ i samme koordinatsystem når $x \in [0,\ 4]$
b) Finn koordinatene til skjæringspunktene mellom grafene både grafisk og ved regning.
---
## H2010 del 2 oppgave 6-I — Drøfting av tredjegradsfunksjon med vekstfart og ekstremalpunkter S1 H10
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2010 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6-I
- **Poeng:** 12
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Funksjonsdrøfting, Vekstfart
- **Kort beskrivelse:** Tegne og drøfte $f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x$: gjennomsnittlig og momentan vekstfart, fortegnslinje, ekstremalpunkter og nullpunkter.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/drofting-av-tredjegradsfunksjon-med-vekstfart-og-ekstremalpunkter-s1-h10/
### Oppgavetekst
Du skal besvare enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene teller like mye ved vurderingen.
**Alternativ I**
Vi har gitt funksjonen
$$
f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x
$$
a) Tegn grafen til $f$ når $x \in \left\langle -\dfrac{1}{2},\ 3 \right\rangle$.
b) Bestem den gjennomsnittlige vekstfarten i intervallet $[1,\ 2]$. Marker denne på figuren i a).
c) Finn den momentane vekstfarten når $x = \dfrac{1}{2}$. Marker denne på figuren i a).
d) Tegn fortegnslinjen til $f'(x)$ og bruk denne til å finne hvor grafen til $f$ stiger, og hvor grafen til $f$ synker.
e) Løs likningen $f'(x) = 0$. Bestem topp- og bunnpunktet på grafen til $f$.
f) Vis ved regning at likningen $f(x) = 0$ bare har løsningen $x = 0$.
---
## H2010 del 2 oppgave 6-II — Kostnadsfunksjon regresjon og maksimalt overskudd for bedrift S1 H10
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2010 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6-II
- **Poeng:** 12
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Kostnadsfunksjon, Regresjon, Derivasjon, Optimering
- **Kort beskrivelse:** Finne kostnadsfunksjon ved andregradsregresjon, sette opp overskuddsfunksjon og optimere produksjon ved derivasjon.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kostnadsfunksjon-regresjon-og-maksimalt-overskudd-for-bedrift-s1-h10/
### Oppgavetekst
Du skal besvare enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene teller like mye ved vurderingen.
**Alternativ II**
En bedrift kan produsere inntil 1 400 enheter av en bestemt vare per dag. Tabellen nedenfor viser totalkostnaden i kroner ved noen produksjonsmengder.
| Antall enheter | 200 | 400 | 600 | 700 | 800 | 1000 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Totalkostnad | 2 300 | 3 000 | 3 800 | 4 200 | 4 700 | 5 900 |
a) Bruk regresjon til å finne et andregradsuttrykk for kostnadsfunksjonen når det produseres $x$ enheter per dag.
Bedriften kan selge hele produksjonen så lenge den holder seg under 1 400 enheter per dag. Inntektene i kroner ved salget er gitt ved funksjonen
$$
I(x) = -0{,}004x^2 + 9{,}5x + 200
$$
Som kostnadsfunksjon velger bedriften nå å bruke
$$
K(x) = 0{,}002x^2 + 2x + 1800
$$
b) Tegn grafene til de to funksjonene i samme koordinatsystem.
c) Bruk grafene til å avgjøre hvor mye som må produseres for at bedriften skal sitte igjen med overskudd. Forklar hvordan du kan bruke grafene til å finne det største overskuddet.
d) Finn et uttrykk for overskuddsfunksjonen $O(x)$. Bruk uttrykket til å undersøke hvilke produksjonsmengder som gir overskudd.
e) Bruk den deriverte til å finne ut hvor mange enheter som må produseres og selges for at inntekten $I(x)$ skal bli størst mulig. Vil dette salget gi overskudd for bedriften?
f) Bruk den deriverte til å finne ut hvilken produksjonsmengde som gir størst overskudd. Hva er det største overskuddet bedriften kan oppnå?
---
## H2010 del 2 oppgave 7 — Ferje med personbiler og lastebiler lineær optimering
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2010 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 7
- **Poeng:** 8
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Lineær optimering, Ulikheter, Likningssystem
- **Kort beskrivelse:** Sette opp og tegne ulikheter for areal og vekt på ferjedekk, og finne bilfordeling som gir høyest inntekt ved lineær optimering.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/ferje-med-personbiler-og-lastebiler-lineaer-optimering/
### Oppgavetekst
En ferje frakter personbiler og lastebiler. En personbil trenger et areal på $15\ \mathrm{m^2}$ når den står parkert på ferja, mens en lastebil trenger $50\ \mathrm{m^2}$. Arealet av hele ferjedekket er $2100\ \mathrm{m^2}$.
En personbil veier i gjennomsnitt 1 t (tonn), og en lastebil veier 10 t. Den samlede vekten av bilene på ferja må ikke overstige 250 t.
Det koster 106 kroner for en personbil på denne ferjestrekningen, mens det koster 603 kroner for en lastebil.
La $x$ være antall personbiler og $y$ antall lastebiler om bord på ferja ved en overfart.
a) Sett opp ulikheter som avgrenser antall personbiler og lastebiler det er mulig å ta med på ferja.
b) Tegn grafer som illustrerer ulikhetene i et koordinatsystem. Marker på figuren hvilket område som angir de mulige antallene av personbiler og lastebiler.
c) Sett opp et uttrykk som viser hvor stor inntekt ferjeselskapet har på en overfart. Finn den fordelingen av personbiler og lastebiler som gir høyest inntekt for selskapet. Hva er den største inntekten selskapet kan oppnå på en overfart?
Det innføres nye regler. Av sikkerhetsgrunner er det ikke lenger tillatt å ta med mer enn 14 lastebiler.
d) Hva blir nå den høyeste inntekten som er mulig å oppnå på en overfart?
---
## V2009 del 1 oppgave 1 — Potenser, logaritmlikning og andregradsfunksjon S1 V09
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2009 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Potenser, Logaritmer, Andregradslikninger, Andregradsfunksjon, Sannsynlighet, Binomisk fordeling
- **Kort beskrivelse:** Del 1-oppgave med algebra, potensregning, logaritmlikninger, andregradsfunksjon, trapesformel og binomisk sannsynlighet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/potenser-logaritmlikning-og-andregradsfunksjon-s1-v09/
### Oppgavetekst
a) Skriv så enkelt som mulig
1\)
$$
\dfrac{x^2 - 1}{(x+1)^2} + \dfrac{2}{x+1}
$$
2\)
$$
\dfrac{(2a^2)^2 \cdot b}{a^3 \cdot b^{-2}}
$$
b) Løs likningene
1\)
$$
2 \cdot 10^{2x} = 2000
$$
2\)
$$
\lg(x^2) + 3 \cdot \lg x - 15 = 0
$$
c) Funksjonen $f$ er gitt ved $f(x) = ax^2 + bx + 5$.
Grafen til $f$ går gjennom punktene $(1, 4)$ og $(-1, 8)$.
Bruk disse opplysningene til å bestemme tallene $a$ og $b$.
d) Formelen for arealet av et trapes er $A = \dfrac{(a+b) \cdot h}{2}$.
Finn en formel for $b$ uttrykt ved $A$, $a$ og $h$.
Bestem $b$ når $A = 40$, $a = 7$ og $h = 5$.
e) Erik fisker med kastesluk. Vi antar at sannsynligheten for å få fisk er $0{,}1$ i hvert kast.
1\) Hva er sannsynligheten for at Erik får akkurat 1 fisk i løpet av de 3 første kastene?
2\) Hva er sannsynligheten for at han får minst 1 fisk i løpet av de 3 første kastene?
---
## V2009 del 2 oppgave 2 — Kubikkfunksjon veksthastighet og drøfting S1 V09
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2009 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Tredjegradsfunksjon, Funksjonsdrøfting, Vekstfart
- **Kort beskrivelse:** Gjennomsnittlig og momentan veksthastighet, topp- og bunnpunkter, og skisse av kubikkfunksjon $f(x) = 2x^3 - 6x^2 + 3$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kubikkfunksjon-veksthastighet-og-drofting-s1-v09/
### Oppgavetekst
Funksjonen $f$ er gitt ved $f(x) = 2x^3 - 6x^2 + 3$.
a) Finn gjennomsnittlig veksthastighet for $f$ fra $x = 0$ til $x = 2$.
b) Finn $f'(x)$. Hva er den momentane veksthastigheten når $x = 1$?
c) Bruk $f'(x)$ til å bestemme koordinatene til eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til $f$.
d) Skisser grafen til $f$ for $x$-verdier mellom $-1$ og $3$. Marker på skissen det du har funnet i a), b) og c).
---
## V2009 del 2 oppgave 3 — Installering av program og binomisk sannsynlighet
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2009 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Binomisk fordeling, Kombinatorikk
- **Kort beskrivelse:** Hypergeometrisk trekking fra klasse og binomisk sannsynlighet for andel elever som trengte hjelp med programinstallering.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/installering-av-program-og-binomisk-sannsynlighet/
### Oppgavetekst
Ved en stor videregående skole blir det brukt en nettbasert ressursside. Bruk av ressurssiden forutsetter at hver elev har installert et bestemt program på datamaskinen sin.
I klasse 2b fikk 15 av 27 elever hjelp av IKT-seksjonen med installeringen av programmet. Resten av elevene installerte det selv.
Det trekkes tilfeldig ut 10 elever i klasse 2b.
a) Finn sannsynligheten for at 6 av de 10 elevene fikk hjelp av IKT-seksjonen.
b) Bestem sannsynligheten for at minst 2 av de 10 elevene installerte programmet selv.
Ved skolen måtte 30 % av alle elevene få hjelp av IKT-seksjonen for å komme inn på ressurssiden.
c) Hva er sannsynligheten for at 9 av 24 tilfeldig valgte elever har fått hjelp av IKT-seksjonen? Forklar hvilke forutsetninger du må legge inn for å kunne regne binomisk.
d) Hva er sannsynligheten for at minst 9 av 24 tilfeldig valgte elever har fått hjelp av IKT-seksjonen?
---
## V2009 del 2 oppgave 4-I — Eskevolum og optimering av kubikkfunksjon
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2009 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4-I
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Optimering, Derivasjon, Tredjegradsfunksjon, Regresjon, Funksjonsdrøfting
- **Kort beskrivelse:** Optimere volumet av en eske brettet fra 30×20 cm ark ved å finne høyde $x$ som gir størst mulig volum via $V(x) = 8x^3 - 140x^2 + 600x$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/eskevolum-og-optimering-av-kubikkfunksjon/
### Oppgavetekst
Du skal besvare enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene er likeverdige ved vurderingen.
**Alternativ I**
En fabrikant ønsker å lage modeller av esker ved å brette rektangulære ark. Vi starter med ark som er 30 cm langt og 20 cm bredt og klipper ut et lite rektangel i hvert hjørne.
Vi bretter langs de stiplete linjene *to* ganger langs kortsidene og *én* gang langs langsidene. Høyden av esken blir $x$ cm.
Dersom vi for eksempel lager en eske med høyde 3 cm, blir lengden av esken 18 cm og bredden 14 cm.
Vi vil undersøke sammenhengen mellom høyden og volumet av esken.
| Høyde i cm | 1 | 2 | 3 | 4 |
|------------|---|---|---|---|
| Volum i cm³ | | 704 | | |
Vi ønsker å finne ut hvor stor høyden må være for at volumet skal bli størst mulig. Vi lar høyden av esken være $x$ cm.
a) Skriv av og fyll ut tabellen ovenfor.
b) Vis at volumet målt i cm³ er gitt ved $V(x) = 8x^3 - 140x^2 + 600x$
1\) ved å bruke regresjon, og
2\) ved å analysere figuren og bruke formelen for volumet av en slik eske.
c) Finn ved regning den høyden som gir størst volum. Hvor stort er dette volumet?
d) Undersøk om vi kan få et større volum ved at det er langsiden som brettes to ganger og kortsiden én gang.
---
## V2009 del 2 oppgave 4-II — Insektpopulasjon med eksponentialregresjon og rasjonalfunksjon
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2009 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4-II
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Regresjon, Eksponentialfunksjon, Rasjonale funksjoner, Derivasjon, Vekstfart
- **Kort beskrivelse:** Finne eksponentialfunksjon ved regresjon, modellere insektpopulasjon med $g(x) = \dfrac{400000}{2+f(x)}$ og analysere grafisk og algebraisk.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/insektpopulasjon-med-eksponentialregresjon-og-rasjonalfunksjon/
### Oppgavetekst
Du skal besvare enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene er likeverdige ved vurderingen.
**Alternativ II**
*I deler av denne oppgaven er det en fordel å bruke digitalt verktøy.*
Tabellen nedenfor viser sammenhengende verdier av to størrelser $x$ og $y$.
| $x$ | 8 | 11 | 15 | 19 | 23 | 27 | 31 |
|-----|---|----|----|----|----|----|----|
| $y$ | 45,3 | 23,2 | 9,50 | 3,89 | 1,59 | 0,653 | 0,267 |
Du får opplyst at $y$ med god tilnærming kan skrives som en eksponentialfunksjon $f$.
a) Bruk regresjon til å finne funksjonsuttrykket $f(x)$.
En modell for antall insekter i en bestemt populasjon er gitt ved
$$
g(x) = \dfrac{400000}{2 + f(x)}
$$
der $g(x)$ er antall insekter, og $x$ er antall døgn etter et bestemt tidspunkt.
b) Tegn grafen til $g$. Bestem antall insekter når $x = 0$.
c) Finn både grafisk og ved regning hvor lang tid det tar før antall insekter er 100 000.
d) Bruk grafen til $g$ til å finne en tilnærmet verdi for den momentane veksthastigheten når $x = 28$. Hva forteller svaret?
e) Hva nærmer antall insekter seg ifølge modellen når $x$ blir veldig stor?
---
## V2009 del 2 oppgave 5 — Lineær optimering for tekstilverksted
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2009 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Lineær optimering, Ulikheter, Likningssystem
- **Kort beskrivelse:** Sette opp og løse lineært optimeringsproblem for Helgas tekstilverksted med kjoler og skjørt, med ulikheter for stoff, tid og kapital.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lineaer-optimering-for-tekstilverksted/
### Oppgavetekst
Helga har sitt eget tekstilverksted. Hun syr kjoler og skjørt. Hun forbereder seg til en utstilling, hvor hun håper å oppnå godt salg.
Kjolene og skjørtene syr hun av stoff som hun selv kjøper inn. Til kjolene bruker hun et silkestoff som koster 200 kroner per meter. I skjørtene bruker hun et bomullsstoff som koster 125 kroner per meter. Hun kan bruke inntil 10 000 kroner på innkjøp av stoff. Men hun vil ikke satse mer enn 7 500 kroner på hvert av stoffene.
En kjole lages av 2,5 meter silkestoff. Til et skjørt går det med 2,0 meter bomullsstoff. Hun trenger 4 timer til å sy en kjole og 1 time til å sy et skjørt. Hun kan bruke inntil 60 timer på å sy før utstillingen.
Helga regner med å kunne selge kjolene for 2 200 kroner stykket og skjørtene for 900 kroner stykket.
Hun syr og selger $x$ kjoler og $y$ skjørt.
a) Forklar at opplysningene ovenfor gir disse ulikhetene:
1\) $x \geq 0$ og $y \geq 0$
2\) $x \leq 15$ og $y \leq 30$
3\)
$$
y \leq -2x + 40
$$
4\)
$$
y \leq -4x + 60
$$
b) Skraver i et koordinatsystem det området som er definert av ulikhetene.
c) Finn den største salgsinntekten Helga kan oppnå. Forklar framgangsmåten.
d) Hva blir overskuddet hvis hun oppnår høyest salgsinntekt?
Overskuddet blir lønn til Helga. Hva blir timelønna når hun i tillegg til syingen må bruke 30 arbeidstimer på selve utstillingen?
---
## H2009 del 1 oppgave 1 — Algebra, likninger, logaritmer og ulikheter S1 H09
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2009 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Potenser, Logaritmer, Likninger, Likningssystem, Ulikheter
- **Kort beskrivelse:** Forenkle algebrauttrykk og logaritmer, løse brøklikning og andregradslikning, sette opp og løse likningssystem fra tekstoppgave, og løse andrads-ulikhet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/algebra-likninger-logaritmer-og-ulikheter-s1-h09/
### Oppgavetekst
a) Skriv så enkelt som mulig:
1\)
$$
5a^2 + (a-2)\cdot(a+2)-(2a+1)
$$
2\)
$$
\dfrac{2(x-2)}{3x}+\dfrac{1}{2}
$$
3\)
$$
\dfrac{a^4 \cdot 2b^2}{(2a)^3}
$$
4\)
$$
\lg(a^2b)-\lg\left(\dfrac{1}{ab}\right)
$$
b) Løs likningene:
1\)
$$
\dfrac{x}{4}-\dfrac{1}{6}=\dfrac{x}{6}-\left(\dfrac{x}{2}-1\right)
$$
2\)
$$
2x^2-2(x+2)=20
$$
c) Tre skruer og to muttere veier 57 gram. Én skrue og tre muttere veier 33 gram. Hvor mye veier én skrue og én mutter?
d) Løs ulikheten $x^2-2x \leq 3$
---
## H2009 del 1 oppgave 2 — Tredjegradsfunksjon med drøfting og gjennomsnittlig vekstfart
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2009 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Funksjonsdrøfting, Vekstfart
- **Kort beskrivelse:** Lage verditabell, finne topp- og bunnpunkter via f' og fortegnsskjema, tegne grafen til en tredjegradsfunksjon, og beregne gjennomsnittlig vekstfart grafisk og ved regning.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tredjegradsfunksjon-med-drofting-og-gjennomsnittlig-vekstfart/
### Oppgavetekst
Gitt funksjonen $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$
a) Skriv av og fyll ut tabellen nedenfor.
| $x$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ |
|-----|------|-----|-----|-----|-----|
| $f(x)$ | | | | | |
b) Finn $f'(x)$. Tegn fortegnsskjema til $f'(x)$. Bruk dette til å finne eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til $f$.
c) Tegn grafen til $f$.
d) Finn gjennomsnittlig veksthastighet fra $x = 2$ til $x = 3$ både grafisk og ved regning.
---
## H2009 del 2 oppgave 3 — Eksponentiallikning med substitusjon og logaritmelikning S1 H09
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2009 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Logaritmer, Likninger, Eksponentialfunksjon
- **Kort beskrivelse:** Løse $10^{2x}-10^x-6=0$ ved substitusjon og løse $\lg(2x-2)-\lg(x+5)=0$ ved logaritmereglene.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/eksponentiallikning-med-substitusjon-og-logaritmelikning-s1-h09/
### Oppgavetekst
a) Løs likningen ved regning $\quad 10^{2x}-10^x-6=0$
b) Løs likningen ved regning $\quad \lg(2x-2)-\lg(x+5)=0$
---
## H2009 del 2 oppgave 4 — Kombinatorikk og binomisk sannsynlighet for kursdeltakere
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2009 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Kombinatorikk, Sannsynlighet, Binomisk fordeling
- **Kort beskrivelse:** Kombinatorikk for utvalg av kursdeltakere fra 2 menn og 18 kvinner, binomisk fordeling med $p=0{,}25$ for kursbestått, og finne minste antall deltakere for $P(\geq 1) \geq 0{,}95$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kombinatorikk-og-binomisk-sannsynlighet-for-kursdeltakere/
### Oppgavetekst
I en bedrift er det ansatt 2 menn og 18 kvinner. Bedriften vil sende 5 av de ansatte på et kurs. Kursdeltakerne velges ut tilfeldig.
a) Hva er sannsynligheten for at begge mennene får delta på kurset?
b) Hva er sannsynligheten for at akkurat én av mennene får delta?
Av erfaring regner man med at bare 25 % av alle de som begynner på kurset, består kurset.
c) Hva er sannsynligheten for at akkurat 1 av de 5 påmeldte består kurset?
d) Finn sannsynligheten for at 2 eller flere av de 5 påmeldte består kurset.
Det er viktig for bedriften at minst 1 av de ansatte består kurset. For å oppnå dette vil de om nødvendig øke antall deltakere.
e) Hva er det minste antallet deltakere bedriften må melde på dersom det skal være en sannsynlighet på 95 % eller mer for at minst 1 av de ansatte skal bestå kurset?
---
## H2009 del 2 oppgave 5-I — Verdensbefolkning og eksponentiell regresjon S1 H09
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2009 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5-I
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Regresjon, Eksponentialfunksjon, Vekstfart, Logaritmer
- **Kort beskrivelse:** Bruke eksponentiell regresjon på befolkningsdata (1950–2003), avlese momentan veksthastighet fra graf, og beregne når folketallet passerer 8,0 milliarder.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/verdensbefolkning-og-eksponentiell-regresjon-s1-h09/
### Oppgavetekst
Du skal besvare enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene er likeverdige ved vurderingen.
**Alternativ I**
Tabellen viser folketallet på jorda i tre utvalgte år.
| År | 1950 | 1980 | 2003 |
|----|------|------|------|
| Milliarder mennesker | 2,5 | 4,4 | 6,3 |
a) Merk av opplysningene i et koordinatsystem. La $x$ være antall år etter 1950, og la $y$ være folketallet i milliarder.
b) Bruk regresjon til å finne en eksponentialfunksjon som passer med tallene i tabellen ovenfor. Tegn grafen til funksjonen i samme koordinatsystem som du brukte i a).
c) Bruk grafen og finn en tilnærmet verdi for den momentane veksthastigheten i 1980.
d) Vi antar at eksponentialfunksjonen i b) gjelder. Hvor mange mennesker vil det være på jorda i 2020? Finn ved regning når folketallet passerer 8,0 milliarder.
---
## H2009 del 2 oppgave 5-II — Rasjonal funksjon med asymptote og skjæring S1 H09
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2009 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5-II
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Rasjonale funksjoner, Likninger, Funksjonsdrøfting
- **Kort beskrivelse:** Drøfte og skissere $f(x)=\frac{2x-3}{2x+6}$ med asymptote og ugyldig x-verdi, finne skjæring med $g(x)=2x+1$, og bestemme verdier av $a$ som gir to løsninger for $f(x)=ax+1$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/rasjonal-funksjon-med-asymptote-og-skjaering-s1-h09/
### Oppgavetekst
Du skal besvare enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene er likeverdige ved vurderingen.
**Alternativ II**
*I deler av denne oppgaven er det en fordel å bruke digitalt verktøy.*
Vi har gitt funksjonen
$$
f(x)=\dfrac{2x-3}{2x+6}
$$
a) Hvilken $x$-verdi kan vi ikke bruke i uttrykket $f(x)$? Forklar hvorfor likningen $f(x)=1$ ikke har noen løsning.
b) Tegn grafen til $f$. Velg $x$-verdier i intervallet $\left[-6,\ 6\right]$
En funksjon $g$ er gitt ved $g(x)=2x+1$
c) Tegn grafen til $g$ i samme koordinatsystem som grafen til $f$. Løs likningen $f(x)=g(x)$.
En funksjon $h$ er gitt ved $h(x)=ax+1$, der $a$ er en konstant. Antall løsninger til likningen $f(x)=h(x)$ avhenger av verdien til $a$.
d) Hvilke verdier må $a$ ha for at likningen skal få to løsninger?
---
## H2009 del 2 oppgave 6 — Lineær optimering av nøtteblandinger i elevbedrift
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2009 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 6
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Lineær optimering, Likningssystem, Ulikheter
- **Kort beskrivelse:** Sette opp og løse lineært optimeringsproblem for maksimal inntekt ved produksjon av to nøtteblandinger med ressursbegrensninger på kasjunøtter, peanøtter, rosiner og sjokoladekuler.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lineaer-optimering-av-notteblandinger-i-elevbedrift/
### Oppgavetekst
*Denne oppgaven teller som fire delspørsmål.*
To elever har startet en elevbedrift. De vil lage og selge poser med to forskjellige blandinger av nøtter, rosiner og sjokolade.
De har kjøpt inn følgende råvarer:
- 5,50 kg kasjunøtter
- 9,00 kg peanøtter
- 6,75 kg rosiner
- 4,50 kg sjokoladekuler
En pose med blanding A inneholder:
100 g kasjunøtter, 75 g peanøtter, 50 g rosiner, 75 g sjokoladekuler
En pose med blanding B inneholder:
50 g kasjunøtter, 125 g peanøtter, 75 g rosiner, 50 g sjokoladekuler
Utsalgsprisen for blanding A er 30 kroner per pose. Utsalgsprisen for blanding B er 25 kroner per pose.
La $x$ være antall poser som selges av blanding A, og $y$ antall poser som selges av blanding B.
Bestem $x$ og $y$ slik at inntekten blir størst mulig. Hvor mye har de til overs av de innkjøpte råvarene i dette tilfellet?
---
## V2008 del 1 oppgave 1 — Pascals trekant, kuletrekking og funksjonsdrøfting
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2008 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Likninger, Sannsynlighet, Derivasjon, Kombinatorikk
- **Kort beskrivelse:** Løse eksponential- og logaritmelikninger, forenkle uttrykk, kuletrekking og topp-/bunnpunkt med $f'$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/pascals-trekant-kuletrekking-og-funksjonsdrofting/
### Oppgavetekst
a) Løs likningen $2 \cdot 10^x = 2000$
b) Løs likningen $2\lg x - 4 = 0$
c) Vi har gitt funksjonene $f(x) = x^2 - 5x + 6$ og $g(x) = 2x + 6$.
1\) Finn nullpunktene til $f$ og $g$.
2\) Finn skjæringspunktene mellom grafene til $f$ og $g$.
d) Bruk Pascals talltrekant til å regne ut $(x + 2)^4$.
e) En eske inneholder 2 blå og 3 røde kuler. Vi trekker tilfeldig ut 2 kuler.
1\) Hva er sannsynligheten for å trekke ut 1 blå og 1 rød kule?
2\) Hva er sannsynligheten for at kulene har samme farge?
f) Skriv så enkelt som mulig:
1\)
$$
\dfrac{x}{x + 2} + \dfrac{4x}{x^2 - 4}
$$
2\)
$$
\dfrac{(a^2 \cdot b)^3 \cdot a^{-2}}{b^2 \cdot a^{-3}}
$$
3\)
$$
\lg(a^2 b) - 2\lg\left(\dfrac{a}{b}\right)
$$
g) Funksjonen $f$ er gitt ved $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$.
1\) Bruk $f'(x)$ til å finne eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til $f$.
2\) I hvilke punkter er den momentane veksthastigheten lik 9?
---
## V2008 del 2 oppgave 2 — Skytekonkurranse og binomisk sannsynlighet
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2008 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Binomisk fordeling
- **Kort beskrivelse:** Binomisk modell: treff på alle skudd, kumulativ sannsynlighet og bestemme $p$ for ønsket premiesjanse.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/skytekonkurranse-og-binomisk-sannsynlighet/
### Oppgavetekst
Knut deltar i skytekonkurranser. Vi lar $p$ være sannsynligheten for at Knut skyter blink på et skudd. Tidligere erfaring gir grunn til å anta at $p = 0{,}70$. I konkurranser skyter man 10 skudd.
a) Hva er sannsynligheten for at Knut skal treffe blink på alle de 10 skuddene? Forklar hvilken sannsynlighetsmodell du har brukt, og hvilke forutsetninger du har gjort.
b) Hva er sannsynligheten for at Knut treffer blink høyst 8 ganger på de 10 skuddene?
For å få premie må en skytter treffe blink på minst 7 skudd.
c) Hva er sannsynligheten for at Knut skal få premie i en bestemt skytekonkurranse?
Knut ønsker at sannsynligheten for å få premie skal være minst $0{,}80$.
d) Hva må da sannsynligheten $p$ for å treffe med ett skudd økes til?
---
## V2008 del 2 oppgave 3-I — Drøfting av tredjegradsfunksjon fra grafen til f-derivert
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2008 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3-I
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Funksjonsdrøfting
- **Kort beskrivelse:** Drøfte tredjegradsfunksjon ut fra grafen til $f'$: vekst, topp-/bunnpunkt, uttrykk for $f'$ og skisse av $f$.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/drofting-av-tredjegradsfunksjon-fra-grafen-til-f-derivert/
### Oppgavetekst
Du skal besvare enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene er likeverdige ved vurderingen.
**Alternativ I**
I denne oppgaven skal du drøfte en polynomfunksjon $f$ av tredje grad. På figuren har vi tegnet grafen til den *deriverte* av funksjonen.
a) Bruk grafen til $f'$ til å avgjøre hvor funksjonen $f$ vokser, og hvor den avtar.
b) Bruk grafen til $f'$ til å finne førstekoordinaten til eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til $f$. Hvor er grafen til $f$ brattest?
c) Bruk grafen til $f'$ til å finne et funksjonsuttrykk for $f'$.
d) Bestem $x$-verdiene til de punktene på grafen til $f$ der momentan veksthastighet er lik $-1$.
e) Skisser en mulig graf til funksjonen $f$ ut fra det du har funnet ovenfor, når $x \in \langle 0, 4\rangle$.
---
## V2008 del 2 oppgave 3-II — Personbiler per 1000 innbyggere og andregradsregresjon
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2008 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3-II
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Regresjon, Derivasjon
- **Kort beskrivelse:** Andregradsregresjon på biltetthet, gjennomsnittlig og momentan veksthastighet og framskriving.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/personbiler-per-1000-innbyggere-og-andregradsregresjon/
### Oppgavetekst
Du skal besvare enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene er likeverdige ved vurderingen.
**Alternativ II**
Tabellen viser antall registrerte personbiler per 1000 innbyggere i Norge for noen år i perioden 1985–2005.
| $x$ | 0 | 5 | 10 | 15 | 20 |
|:------:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|
| $f(x)$ | 417 | 418 | 426 | 460 | 496 |
Her er $f(x)$ antall registrerte personbiler per 1000 innbyggere $x$ år etter 1985.
a) Bestem gjennomsnittlig veksthastighet fra 1990 til 2000. Hva forteller dette tallet oss?
b) Bruk regresjon til å finne en polynomfunksjon $f$ av andre grad som tilnærmet beskriver utviklingen ovenfor.
c) Tegn grafen til $f$, og marker punktene i tabellen i samme koordinatsystem.
d) Bestem momentan veksthastighet i år 2000. Marker den momentane veksthastigheten på grafen til $f$.
e) I år 2001 var det ca. 4 500 000 innbyggere i Norge. Bruk d) til å anslå hvor mange registrerte biler det var dette året.
---
## V2008 del 2 oppgave 4 — Lineær optimering for fruktplukking
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Vår 2008 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Optimering, Ulikheter
- **Kort beskrivelse:** Lineær optimering av fruktpakking: sette opp ulikheter, maksimere inntekt og finne hvem som får ledig tid.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lineaer-optimering-for-fruktplukking/
### Oppgavetekst
Kari, Arne og Harald har tatt seg jobb hos en fruktbonde som dyrker epler og pærer. De har forskjellige arbeidsoppgaver. Kari plukker, Arne sorterer og Harald pakker. Tabellen viser hvor mange minutter hver av dem bruker i gjennomsnitt per kasse på arbeidsoppgaven.
| | Kari | Arne | Harald |
|:-----:|:----:|:----:|:------:|
| Epler | 20 | 12 | 20 |
| Pærer | 20 | 24 | 30 |
Kari arbeider maksimalt 6 timer hver dag. Arne arbeider maksimalt 5 timer og Harald 6,5 time hver dag.
Vi lar $x$ være antall kasser epler og $y$ antall kasser pærer som blir klargjort hver dag.
a) Forklar at opplysningene ovenfor gir oss følgende ulikheter:
1\) $x \geq 0$ og $y \geq 0$
2\)
$$
y \leq -x + 18
$$
3\)
$$
y \leq -\dfrac{1}{2}x + 12{,}5
$$
4\)
$$
y \leq -\dfrac{2}{3}x + 13
$$
b) Skraver det området som er definert av ulikhetene ovenfor i et koordinatsystem.
Bonden betaler 150 kroner per kasse epler og 200 per kasse pærer.
c) Finn ut den største inntekten Kari, Arne og Harald til sammen kan oppnå per dag.
d) De innretter arbeidet slik at samlet inntekt blir størst mulig. Én av dem får da tid til overs og kan utføre andre arbeidsoppgaver. Undersøk hvem det er, og hvor mye tid vedkommende kan bruke på disse arbeidsoppgavene.
---
## H2008 del 1 oppgave 1 — Ulikheter logaritmefunksjon likningssett og potensdivisjon
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2008 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Ulikheter, Logaritmer, Likningssystem, Andregradslikninger, Potenser, Derivasjon, Funksjonsdrøfting
- **Kort beskrivelse:** Løse lineær og andregradsulikhet, lese av logaritmefunksjon grafisk og ved regning, løse et ikke-lineært likningssett, forenkle potensbrøk, derivere tredjegradsfunksjon og bestemme topp- og bunnpunkter.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/ulikheter-logaritmefunksjon-likningssett-og-potensdivisjon/
### Oppgavetekst
a) Løs ulikheten $2x + 4 \leq 4x + 8$
b) Løs ulikheten $2x^2 + 10x > x^2 + 10x + 25$
Vi har gitt funksjonen $f(x) = 2\lg x + 3$. Figuren viser grafen til $f$.
c)
1\) Løs likningen $f(x) = 4$ grafisk og ved regning.
2\) Bruk grafen til å bestemme en tilnærmet verdi for $f'(3)$.
d) Løs likningssettet $2x^2 - 2x - y = 2$ og $4x - y = 6$
e) Skriv så enkelt som mulig
$$
\frac{(a^2)^2 \cdot b^0 \cdot a^{-2} \cdot b^2}{b \cdot a}
$$
Funksjonen $f$ er gitt ved
$$
f(x) = \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 - 6x
$$
f)
1\) Bestem $f'(x)$ og bruk denne til å avgjøre når grafen til $f$ stiger og når den synker.
2\) Bestem eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til $f$.
---
## H2008 del 1 oppgave 2 — Sannsynlighet med røde og blå sykler
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2008 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Kombinatorikk, Hypergeometrisk fordeling
- **Kort beskrivelse:** Beregne sannsynligheter uten tilbakelegging for røde og blå sykler ved kombinatorikk: bevise $\binom{8}{4}=70$, to første røde, 3 røde og 1 blå av 4, minst 3 røde.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/sannsynlighet-med-rode-og-bla-sykler/
### Oppgavetekst
a) Vis at $\dbinom{8}{4} = 70$
På et sykkelverksted var det en dag 8 sykler inne til reparasjon. Av disse var 4 røde, og 4 var blå. Syklene ble reparert i tilfeldig rekkefølge.
b) Finn sannsynligheten for at de to første syklene som blir reparert, er røde.
Før lunsj hadde verkstedet reparert 4 av syklene.
c) Bestem sannsynligheten for at det var 3 røde og en blå sykkel som var reparert.
d) Hva er sannsynligheten for at minst 3 av de 4 syklene var røde?
---
## H2008 del 2 oppgave 3 — Terningkast i maxiyatzy og binomisk sannsynlighet
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2008 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Sannsynlighet, Binomisk fordeling, Kombinatorikk
- **Kort beskrivelse:** Bruke binomisk fordeling på kast av seks terninger for å beregne sannsynlighet for akkurat én, høyst fire og minst én sekser, og finne nødvendig antall kast for å overskride gitt grensesannsynlighet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/terningkast-i-maxiyatzy-og-binomisk-sannsynlighet/
### Oppgavetekst
Jan skal kaste seks terninger på én gang i spillet maxiyatzy.
a) Bestem sannsynligheten for at Jan vil få akkurat én sekser i kastet.
b) Bestem sannsynligheten for at Jan vil få høyst 4 seksere.
c) Finn sannsynligheten for at Jan vil få minst én sekser.
d) Hvor mange ganger må Jan kaste alle seks terningene for at sannsynligheten for å få minst én sekser skal bli større enn $0{,}99$?
---
## H2008 del 2 oppgave 4-I — Kostnadsfunksjon regresjon og maksimalt overskudd for bedrift S1 H08
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2008 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4-I
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Kostnadsfunksjon, Regresjon, Derivasjon, Optimering
- **Kort beskrivelse:** Tegne og tolke kostnads- og inntektsgraf fra tabell, bestemme kubisk kostnadsmodell ved regresjon, undersøke om økt produksjon lønner seg, og finne maksimalt overskudd $I(x)-K(x)$ ved derivasjon.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kostnadsfunksjon-regresjon-og-maksimalt-overskudd-for-bedrift-s1-h08/
### Oppgavetekst
Du skal besvare enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene er likeverdige ved vurderingen.
**Alternativ I**
En bedrift produserer og selger en vare. De totale kostnadene $K(x)$ kroner ved produksjon av $x$ enheter av varen per dag er omtrent slik som vist i tabellen nedenfor.
| $x$ | 0 | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 70 | 90 |
|-----|---|----|----|----|----|----|-----|-----|
| $K(x)$ | 3 000 | 3 130 | 3 400 | 3 930 | 4 840 | 6 250 | 11 000 | 19 300 |
Inntekten i kroner ved salg av $x$ enheter av varen er
$$
I(x) = 660x - 6x^2, \quad x \in [0,\, 90]
$$
a) Merk av punktene i tabellen ovenfor i et koordinatsystem. Trekk en kurve gjennom punktene. Tegn grafen til $I$ i samme koordinatsystem. Hvilken produksjonsmengde gir størst inntekt?
b) Ved hvilken produksjon vil kostnader og inntekter være like store?
c) Bruk regresjon til å skrive $K(x)$ på formen $K(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$
d) Undersøk om det lønner seg å øke produksjonen når $x = 50$.
Bedriften vil tilpasse produksjonen slik at overskuddet $I(x) - K(x)$ blir størst mulig.
e) Bruk derivasjon til å finne den produksjonen som gir størst overskudd per dag. Hvor stort er dette overskuddet?
---
## H2008 del 2 oppgave 4-II — Eksponentialfunksjon korteste avstand fra origo
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2008 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4-II
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Eksponentialfunksjon, Derivasjon, Optimering, Rasjonale funksjoner
- **Kort beskrivelse:** Bestemme koordinater og avstander for punkter på eksponentialfunksjon $f(x)=6\cdot 0{,}65^x$, minimere avstand fra origo med digitalt verktøy, og finne korteste avstand fra origo til rasjonale funksjon ved derivasjon.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/eksponentialfunksjon-korteste-avstand-fra-origo/
### Oppgavetekst
Du skal besvare enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene er likeverdige ved vurderingen.
**Alternativ II**
På figuren har vi tegnet grafen til funksjonen $f$ gitt ved $f(x) = 6 \cdot 0{,}65^x$.
$O$ er origo og $R$ er skjæringspunktet mellom grafen og $y$-aksen. $P$ og $Q$ er punkter på grafen med førstekoordinater henholdsvis 2 og $x$.
a) Bestem koordinatene til punktene $R$ og $P$.
b) Finn lengden av linjestykket $OP$.
c) Bestem lengden av linjestykket $OQ$ uttrykt ved $x$.
d) Bruk digitalt verktøy til å bestemme koordinatene til $Q$ slik at linjestykket $OQ$ blir kortest mulig.
Funksjonen $g$ er gitt ved
$$
g(x) = \frac{6}{1+x}, \quad x \in [0,\, 3]
$$
e) Bestem den korteste avstanden fra origo til et punkt på grafen til $g$.
---
## H2008 del 2 oppgave 5 — Lineær optimering for poteter og kålrabi
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Høst 2008 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Lineær optimering, Ulikheter, Lineære funksjoner
- **Kort beskrivelse:** Identifisere og begrunne tre lineære bibetingelser fra jordbruksscenario, skravere det tillatte området, og maksimere inntektsfunksjonen for produksjon av poteter og kålrabi.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lineaer-optimering-for-poteter-og-kalrabi/
### Oppgavetekst
En bonde har et jorde der han skal dyrke poteter og kålrabi. Jordet er på 11 dekar. Han bruker $x$ dekar til poteter og $y$ dekar til kålrabi.
Investeringene er kr 1 200 per dekar for poteter og kr 800 per dekar for kålrabi. Han har anledning til å investere inntil kr 12 000 til denne produksjonen.
Bonden regner med å bruke 10 timer per dekar til å stelle potetene og 20 timer per dekar til å stelle kålrabien. Han kan bruke inntil 200 timer på dette jordet.
a) På figuren er det tegnet inn tre linjer $y_1$, $y_2$ og $y_3$. Bruk figuren og finn likningen til hver av de tre rette linjene.
b) Forklar hvilke opplysninger i den innledende teksten som kan knyttes til hver av likningene.
c) Bruk den innledende teksten til å begrunne i hvilket område på figuren punktene $(x, y)$ kan ligge. Tegn figuren i egen besvarelse, og skraver området.
Bonden selger avlingen. Han får kr 2,– per kg for poteter og kr 2,50 per kg for kålrabi. Bonden regner med at han produserer 6 000 kg poteter per dekar og 7 000 kg kålrabi per dekar.
d) Sett opp en aktuell problemstilling for bonden, og løs den.
---
## E2007-1 del 1 oppgave 1 — Derivasjon, potenser, rasjonale uttrykk, ligningssystem og kombinatorikk S1 E07-1
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 1 — 2007 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Eksponentialfunksjon, Rasjonale funksjoner, Potenser, Likningssystem, Kombinatorikk, Sannsynlighet
- **Kort beskrivelse:** Blandet del 1: derivasjon, gjennomsnittlig veksthastighet, rasjonale uttrykk, potenser, ligningssystem, binomialkoeffisient og sannsynlighet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/derivasjon-potenser-rasjonale-uttrykk-ligningssystem-og-kombinatorikk-s1-e07-1/
### Oppgavetekst
a) Deriver funksjonen
$$
f(x) = 3x^3 + 2x^2 - 7
$$
b) Bestem den gjennomsnittlige veksthastigheten til funksjonen $f(x) = 3 \cdot 2^x$ fra $x = 0$ til $x = 3$.
c) Skriv så enkelt som mulig
$$
\dfrac{2x}{x^2 - 9} + \dfrac{3}{3x + 9}
$$
d) Skriv så enkelt som mulig
$$
\dfrac{a^{-3} \cdot (a \cdot b)^2}{a \cdot b^{-1}}
$$
e) Løs ligningssystemet
$$
\text{I: } x^2 + 6 = y + 5x
$$
$$
\text{II: } 2x - y = -6
$$
f) Regn ut $\dbinom{8}{6}$. Forklar hvor i Pascals trekant du finner denne binomialkoeffisienten.
g) På en volleyballkamp møter det 8 spillere, 5 jenter og 3 gutter. Det trekkes ut 6 spillere som skal starte å spille. Hva er sannsynligheten for at alle guttene får starte?
---
## E2007-1 del 2 oppgave 2 — Tredjegradsfunksjon skjæringspunkter og veksthastighet
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 1 — 2007 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Funksjonsdrøfting, Rasjonale funksjoner
- **Kort beskrivelse:** Drøfte tredjegradsfunksjonen $f(x) = x^3 - 3x^2$ med skjæringspunkter, topp/bunn, grafskisse og gjennomsnittlig veksthastighet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/tredjegradsfunksjon-skjaeringspunkter-og-veksthastighet/
### Oppgavetekst
Gitt funksjonen $f(x) = x^3 - 3x^2$
a) Finn skjæringspunktene mellom grafen til $f$ og koordinataksene.
b) Regn ut $f'(x)$ og bruk denne til å finne eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til $f$.
c) Tegn grafen til $f$.
d) Finn gjennomsnittlig veksthastighet fra $x = -1$ til $x = 3$ både grafisk og ved regning.
---
## E2007-1 del 2 oppgave 3 — Fotballtipping og binomisk sannsynlighet
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 1 — 2007 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Binomisk fordeling, Sannsynlighet
- **Kort beskrivelse:** Modellere fotballtipping som binomisk forsøk og beregne sannsynligheter for gevinst, samt finne ukjent suksessandel ved prøving og feiling.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/fotballtipping-og-binomisk-sannsynlighet/
### Oppgavetekst
Når vi tipper en enkeltrekke i fotballtipping, skal vi tippe resultatet i 12 fotballkamper. Utfallet av en kamp er enten hjemmeseier (H), uavgjort (U) eller borteseier (B).
a) Hvilke antagelser må du gjøre for at det å tippe en enkeltrekke kan sees på som et binomisk forsøk med $n = 12$ og $p = \dfrac{1}{3}$?
I resten av oppgaven skal vi anta at betingelsene for binomisk forsøk er oppfylt.
For å få gevinst må vi ha minst 10 rette.
b) Hva er sannsynligheten for å få minst 10 rette når vi tipper én enkeltrekke?
En tipper hevdet at det var like vanskelig å få 0 rette som å få 12 rette.
c) Vis at han tar feil, og forklar hvorfor de to sannsynlighetene ikke blir like.
En ekspert på fotballtipping hevder at han i gjennomsnitt vil få gevinst på hver femte enkeltrekke han tipper.
d) Finn, gjerne ved prøving og feiling, hvor stor sannsynlighet $p$ tippeeksperten må ha i gjennomsnitt for å tippe rett resultat på hver enkelt kamp.
---
## E2007-1 del 2 oppgave 4-I — Stigningstall, derivasjon og kostnadsfunksjon ved regresjon S1 E07-1
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 1 — 2007 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4-I
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Funksjonsdrøfting, Regresjon, Kostnadsfunksjon, Optimering
- **Kort beskrivelse:** Bestemme stigningstall ved derivasjon og grafisk avlesning, finne andregradsregresjon for kostnadsfunksjon og bruke derivasjon til optimering av overskudd.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/stigningstall-derivasjon-og-kostnadsfunksjon-ved-regresjon-s1-e07-1/
### Oppgavetekst
Du skal besvare enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene er likeverdige ved vurderingen.
**Alternativ I**
Stigningstallet til tangenten i et punkt på grafen til en funksjon forteller hvor «bratt» grafen er i dette punktet. Denne størrelsen har vi ofte nytte av i praksis. I denne oppgaven skal vi bruke forskjellige metoder for å bestemme stigningstall.
a) Funksjonen $g$ er gitt ved $g(x) = 2x^3 - 12x^2 - 5x + 8$. Deriver funksjonen og bestem $g'(4)$.
Grafen til funksjonen $h$ er tegnet nedenfor:
b)
1\) Tegn fortegnslinja til $h'(x)$.
2\) Tegn grafen til $h'$ på svararket ditt. Vis hvordan du kan bruke grafen til å finne en tilnærmingsverdi for $h'(1)$.
Sammenhengen mellom kostnaden $K(x)$ i kroner ved produksjon av en vare og antall produserte enheter $x$ er gitt i tabellen nedenfor.
| $x$ | 0 | 100 | 300 | 500 | 700 |
|---|---|---|---|---|---|
| $K(x)$ | 30 000 | 83 000 | 207 000 | 355 000 | 527 000 |
c) Bruk regresjon til å skrive $K(x)$ på formen $K(x) = ax^2 + bx + c$.
d) Finn $K'(300)$. Forklar hva dette svaret forteller oss.
Varene selges for 710 kroner per enhet.
e) Vis at overskuddet i kroner er gitt ved uttrykket $O(x) = -0{,}3x^2 + 210x - 30\,000$.
f) Bruk derivasjon til å finne hvilken produksjon som gir størst overskudd.
---
## E2007-1 del 2 oppgave 4-II — Eksponentialfunksjon relativ vekst og momentan vekst
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 1 — 2007 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4-II
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Eksponentialfunksjon, Derivasjon, Vekstfart, Geometrisk vekst
- **Kort beskrivelse:** Studere egenskaper ved $f(x) = a \cdot b^x$, beregne momentan vekst, fordoblingspunkt og vise at den relative veksten er konstant.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/eksponentialfunksjon-relativ-vekst-og-momentan-vekst/
### Oppgavetekst
Du skal besvare enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene er likeverdige ved vurderingen.
**Alternativ II**
I denne oppgaven skal vi studere eksponentialfunksjonen. En eksponentialfunksjon er definert ved $f(x) = a \cdot b^x$, der $a$ og $b$ er konstanter.
Til høyre ser du grafen til funksjonen dersom $a = 100$ og $b = 1{,}1$.
a) Forklar hva verdiene til $a$ og $b$ forteller oss.
b) Hvor mye må $x$ økes for at funksjonsverdien skal fordobles? Vis at økningen er den samme uansett hvor på grafen du starter.
c) Finn den momentane veksten når $x = 10$ og når $x = 20$.
Vi definerer den relative veksten i et punkt $(x_0,\ f(x_0))$ som
$$
\frac{\text{den momentane veksten i punktet}}{\text{funksjonsverdien i punktet}} = \dfrac{f'(x_0)}{f(x_0)}
$$
d) Finn den relative veksten når $x = 10$ og når $x = 20$.
En egenskap ved eksponentialfunksjonen er at den relative veksten er konstant, det vil si at den er den samme for alle verdier av $x$.
e) Velg en annen verdi for $x$ enn verdiene i d), og vis at den relative veksten fortsatt er den samme.
---
## E2007-1 del 2 oppgave 5 — Lineær optimering for T-skjorter og topper
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 1 — 2007 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 5
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Lineær optimering, Ulikheter, Likningssystem
- **Kort beskrivelse:** Sette opp og løse et lineært optimeringsproblem for produksjon av T-skjorter og topper med kapasitetsbegrensninger og maksimere inntekt.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lineaer-optimering-for-t-skjorter-og-topper/
### Oppgavetekst
Aina, Britt og Kim dekorerer T-skjorter og topper. De har spesialisert seg på hver sin del av dekoren.
- Aina bruker 6 minutter på sin del av dekoren på en skjorte, og 30 minutter på sin del av dekoren på en topp.
- Britt bruker 20 minutter på sin del av dekoren på en skjorte og 20 minutter på sin del av dekoren på en topp.
- Kim bruker 30 minutter på sin del av dekoren på en skjorte og 12 minutter på sin del av dekoren på en topp.
Aina kan arbeide inntil 5 timer per dag. Britt kan arbeide maksimalt 6 timer og Kim 8 timer hver dag.
De dekorerer i alt $x$ skjorter og $y$ topper hver dag.
a) Forklar at $x$ og $y$ må tilfredsstille følgende ulikheter:
1\) $x \geq 0$ og $y \geq 0$
2\)
$$
y \leq -\dfrac{1}{5}x + 10
$$
3\)
$$
y \leq -x + 18
$$
4\)
$$
y \leq -\dfrac{5}{2}x + 40
$$
b) Tegn et passende koordinatsystem, og skraver det området som er definert av ulikhetene ovenfor.
c) Hver skjorte selges for 250 kroner, og hver topp selges for 300 kroner. Regn ut den største inntekten Aina, Britt og Kim kan oppnå til sammen per dag.
d) De innretter produksjonen slik at inntekten blir størst mulig. En av dekoratørene får da tid til overs og må rydde arbeidslokalet. Undersøk hvem av de tre som får denne jobben, og hvor mye tid denne personen kan bruke på ryddearbeidet.
---
## E2007-2 del 1 oppgave 1 — Veksthastighet, rektangelareal, ulikheter, logaritmer og binomisk fordeling S1
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2 — 2007 (LK06)
- **Del:** Del 1 (uten hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 1
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Derivasjon, Vekstfart, Optimering, Rasjonale funksjoner, Ulikheter, Logaritmer, Likninger, Eksponentialfunksjon, Binomisk fordeling, Pascals trekant
- **Kort beskrivelse:** Sammensatt del 1: veksthastighet, rektangeloptimering, rasjonale uttrykk, ulikheter, logaritmer, likninger og binomisk sannsynlighet.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/veksthastighet-rektangelareal-ulikheter-logaritmer-og-binomisk-fordeling-s1/
### Oppgavetekst
a) Gitt funksjonen $f(x) = x^3 - 3x + 1$.
1\) Finn gjennomsnittlig veksthastighet mellom $x = 1$ og $x = 3$.
2\) Finn momentan vekst i $x = 2$.
b) Omkretsen av et rektangel er 40. Vi lar lengden av den ene siden være $x$.
1\) Vis at arealet av rektanglet er gitt ved $A(x) = -x^2 + 20x$.
2\) Bruk derivasjon til å bestemme det største arealet rektanglet kan ha.
c) Skriv så enkelt som mulig
$$
1 - \dfrac{2x-2}{x^2-1}
$$
d) Løs ulikheten
$$
x^2 < x + 6
$$
e) Skriv så enkelt som mulig
$$
3\lg x^2 + \lg\dfrac{2}{x^3}
$$
f) Løs likningen
$$
\dfrac{x}{x-2} + \dfrac{x-3}{x-5} = 2
$$
g) Løs likningen
$$
10^{2x} - 10^x - 6 = 0
$$
h) Skriv opp de syv første radene av Pascals talltrekant. Marker hvor du finner binomialkoeffisientene $\binom{5}{1}$, $\binom{5}{2}$ og $\binom{5}{4}$ i trekanten.
i) Formel for binomisk fordeling:
$$
P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}
$$
Antall uavhengige forsøk er $n$. $X$ er antall ganger A inntreffer. $P(A) = p$ i hvert forsøk.
Regn ut sannsynligheten for å få 2 kron når vi kaster en mynt 5 ganger.
---
## E2007-2 del 2 oppgave 2 — Kombinatorikk og sannsynlighet ved trekning fra klasse
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2 — 2007 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 2
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Kombinatorikk, Sannsynlighet
- **Kort beskrivelse:** Beregne sannsynligheter for ulike utfall ved tilfeldig trekning av 6 elever fra en klasse med 14 jenter og 11 gutter.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kombinatorikk-og-sannsynlighet-ved-trekning-fra-klasse/
### Oppgavetekst
I en klasse er det 25 elever, 14 jenter og 11 gutter. Det skal trekkes ut 6 elever til å rydde etter klassefesten.
a) Hva er sannsynligheten for at det trekkes ut 4 jenter og 2 gutter?
b) Hva er sannsynligheten for at det trekkes ut like mange gutter og jenter?
c) Hva er sannsynligheten for at det trekkes ut flere jenter enn gutter?
d) Hva er sannsynligheten for at begge kjønn blir representert i ryddegjengen?
---
## E2007-2 del 2 oppgave 3 — Kostnadsfunksjon, grensekostnad og enhetskostnad for fabrikk
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2 — 2007 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 3
- **Nivå:** Middels (2 av 3)
- **Temaer:** Kostnadsfunksjon, Derivasjon, Optimering, Funksjonsdrøfting
- **Kort beskrivelse:** Verifisere andregrads kostnadsfunksjon fra tabell, bestemme grensekostnad og finne produksjonsmengde som minimerer enhetskostnaden.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/kostnadsfunksjon-grensekostnad-og-enhetskostnad-for-fabrikk/
### Oppgavetekst
En fabrikk produserer en vare. Tabellen nedenfor viser sammenhengen mellom antall produserte enheter $x$ og totalkostnaden $K(x)$ målt i kroner.
| $x$ | 0 | 100 | 250 | 400 |
|---|---|---|---|---|
| $K(x)$ | 6 000 | 12 500 | 29 750 | 56 000 |
a) Vis at funksjonen $K(x) = 0{,}2x^2 + 45x + 6000$ passer med dataene i tabellen ovenfor.
Grensekostnaden ved produksjon av $x$ enheter er definert som $K'(x)$.
b) Bestem grensekostnaden når $x = 200$. Forklar hva grensekostnaden forteller oss.
Enhetskostnaden $G$ ved produksjon av $x$ enheter er definert som $G(x) = \dfrac{K(x)}{x}$.
c) Tegn grafen til $G$. Bruk denne til å finne hvilken produksjonsmengde som gir den laveste enhetskostnaden.
Det kan vises at vi har den laveste enhetskostnaden når grensekostnaden er lik enhetskostnaden.
d) Bruk dette til å kontrollere svaret i c).
---
## E2007-2 del 2 oppgave 4-I — Lineær optimering for gassovnproduksjon
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2 — 2007 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4-I
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Lineær optimering, Likningssystem, Ulikheter
- **Kort beskrivelse:** Sette opp og løse et lineært optimeringsproblem for å minimere produksjonskostnader ved to avdelinger med kapasitetsbegrensninger.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lineaer-optimering-for-gassovnproduksjon/
### Oppgavetekst
Du skal besvare enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene er likeverdige ved vurderingen.
**Alternativ I**
En produsent av gassovner produserer tre ulike modeller av en gassovn, modellene M40, M30 og M20. Produksjonen skjer på to ulike steder, avdeling A og avdeling B. Produksjonen per uke i de to avdelingene er gitt i tabellen nedenfor.
| Avdeling/modell | M40 | M30 | M20 |
|---|---|---|---|
| Avdeling A | 80 | 6 | 38 |
| Avdeling B | 18 | 15 | 20 |
På sted A er produksjonskostnaden 24 000 kr per uke, og på sted B 20 000 kr per uke. Produsenten fikk en bestilling på 162 av modell M40, 60 av modell M30 og 140 av modell M20. I forbindelse med bestillingen må avdeling A arbeide i $x$ uker, og avdeling B må arbeide i $y$ uker.
a) Forklar at produsentens samlede utgifter er gitt ved $f(x, y) = 24000x + 20000y$.
b) Bruk opplysningene ovenfor til å sette opp de ulikhetene som $x$ og $y$ må oppfylle.
c) Tegn et koordinatsystem, og skraver det området som tilfredsstiller ulikhetene i b).
d) Hvor mange uker må avdeling A og avdeling B jobbe for at produksjonskostnaden skal bli lavest mulig?
---
## E2007-2 del 2 oppgave 4-II — Lineær optimering for sykkelproduksjon
- **Fag:** S1
- **Eksamen:** Eksempeloppgave 2 — 2007 (LK06)
- **Del:** Del 2 (med hjelpemidler)
- **Oppgavenummer:** 4-II
- **Nivå:** Krevende (3 av 3)
- **Temaer:** Lineær optimering, Likningssystem, Ulikheter
- **Kort beskrivelse:** Sette opp og løse et lineært optimeringsproblem for å maksimere fortjenesten ved produksjon av cross- og racersykler med kapasitetsbegrensninger.
- **Nettadresse:** https://matematikkoppgaver.no/oppgave/lineaer-optimering-for-sykkelproduksjon/
### Oppgavetekst
Du skal besvare enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene er likeverdige ved vurderingen.
**Alternativ II**
*I denne oppgaven kan du bruke programvare som løser optimeringsproblemer.*
En bedrift produserer to typer sykler, cross og racer.
| | Cross | Racer |
|---|---|---|
| Fortjeneste i kroner per sykkel | 600 | 500 |
Produksjonen er begrenset av kapasiteten i to avdelinger.
| | Cross | Racer |
|---|---|---|
| Timeforbruk i sveiseavdelingen | 2 timer per sykkel | 4 timer per sykkel |
| Timeforbruk i lakkeringsavdelingen | 3 timer per sykkel | 2 timer per sykkel |
Kapasiteten per måned er 1200 timer i sveiseavdelingen og 1000 timer i lakkeringsavdelingen.
Bedriften regner med at den maksimalt kan selge 160 crossykler og 300 racersykler.
Bedriften ønsker å maksimere fortjenesten.
a) Forklar at fortjenesten er gitt ved uttrykket $600x + 500y$, der $x$ er antall crossykler og $y$ er antall racersykler som selges.
b) Bruk opplysningene ovenfor til å sette opp de ulikhetene som $x$ og $y$ må oppfylle.
c) Bruk programvare eller en annen metode til å bestemme hvilke verdier av $x$ og $y$ som gjør fortjenesten størst mulig.
Bedriften starter også produksjon av hybridsykler. Fortjenesten ved produksjon av hybridsykler er 700 kroner per sykkel. Timeforbruket i sveiseavdelingen er 4 timer per sykkel. Timeforbruket i lakkeringsavdelingen er 3 timer per sykkel. Bedriften regner med at den maksimalt kan selge 200 hybridsykler. La $z$ være antall hybridsykler som produseres og selges.
d) Bestem hvilke verdier av $x$, $y$ og $z$ som gjør fortjenesten størst mulig.