Vektorparameter k med lineærkombinasjon og vinkel større enn 60 grader

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vi har to vektorer $\vec{a} = [3,1]$ og $\vec{b} = [k, 2]$ , der $k \in ℝ$ .

For hånd

Bestem $k$ slik at $3 \vec{a} + 5 \vec{b} = [- 6,13]$ .

Kalkulator

Bestem $k$ slik at vinkelen mellom $\vec{a}$ og $\vec{b}$ blir større enn $60 °$ .

Fasit

$k = - 3$

$k < \frac{- 12 + 10 \sqrt{3}}{13} \approx 0,41$

LøsningsforslagKI-generert

Vi har $\vec{a} = [3, 1]$ og $\vec{b} = [k, 2]$ .

Vi regner ut $3 \vec{a} + 5 \vec{b}$ med koordinatene til vektorene:

3 \vec{a} + 5 \vec{b} = 3 \cdot [3, 1] + 5 \cdot [k, 2] = [9 + 5 k, 3 + 10] = [9 + 5 k, 13]

Dette skal være lik $[- 6, 13]$ . Andrekoordinaten stemmer automatisk ( $13 = 13$ ), så vi trenger bare å løse likningen for førstekoordinaten:

9 + 5 k = - 6

Vi løser likningen med GeoGebra CAS.

CAS-løsning av likningen og andregradslikningen i b)

Fra linje 1 i CAS-utklippet ser vi at

k = - 3

Svar: $k = - 3$

Vinkelen $v$ mellom $\vec{a}$ og $\vec{b}$ er gitt ved formelen for skalarproduktet:

\cos v = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{| \vec{a} | \cdot | \vec{b} |} = \frac{3 k + 2}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{k^{2} + 4}}

siden $\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot k + 1 \cdot 2 = 3 k + 2$ , $| \vec{a} | = \sqrt{3^{2} + 1^{2}} = \sqrt{10}$ og $| \vec{b} | = \sqrt{k^{2} + 2^{2}} = \sqrt{k^{2} + 4}$ .

Siden $\cos v$ er en avtagende funksjon på $⟨ 0 °, 180 ° ⟩$ , er vinkelen $v > 60 °$ hvis og bare hvis

\cos v < \cos 60 ° = \frac{1}{2}

Vi finner først grensetilfellet $\cos v = \frac{1}{2}$ , altså der $v = 60 °$ nøyaktig:

\frac{3 k + 2}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{k^{2} + 4}} = \frac{1}{2}

Kvadrerer vi begge sider og rydder opp, får vi andregradslikningen $13 k^{2} + 24 k - 12 = 0$ . Vi løser den med CAS (linje 2 i utklippet over):

k = \frac{- 10 \sqrt{3} - 12}{13} eller k = \frac{10 \sqrt{3} - 12}{13}

Kvadrering kan innføre løsninger som ikke stemmer med den opprinnelige likningen, så vi må kontrollere begge:

$k = \frac{10 \sqrt{3} - 12}{13} \approx 0,409$ : Da er $3 k + 2 > 0$ , og innsetting gir $\cos v = \frac{1}{2}$ direkte — dette er en gyldig løsning, med $v = 60 °$ .
$k = \frac{- 10 \sqrt{3} - 12}{13} \approx - 2,255$ : Da er $3 k + 2 < 0$ , så $\cos v = - \frac{1}{2}$ (ikke $+ \frac{1}{2}$ ), altså $v = 120 °$ . Denne løsningen kommer fra kvadreringen og løser ikke den opprinnelige likningen $\cos v = \frac{1}{2}$ , så den forkastes.

Grensen for $v = 60 °$ er altså

k = \frac{- 12 + 10 \sqrt{3}}{13} \approx 0,41

For å avgjøre hvilken side av grensen som gir $v > 60 °$ , sjekker vi noen verdier av $\cos v$ (og dermed $v$ ) for ulike $k$ :

$k$	$- 5$	$- 1$	$0$	$0,41$	$0,5$	$2$
$v$	$139,8 °$	$98,1 °$	$71,6 °$	$60,0 °$	$57,5 °$	$26,6 °$

Vi ser at vinkelen $v$ avtar når $k$ øker: jo mindre $k$ er, desto større blir vinkelen. Det er ingen nedre grense for $k$ — vinkelen fortsetter å øke (mot $180 °$ ) når $k \to - \infty$ . Vinkelen er altså større enn $60 °$ for alle $k$ mindre enn grenseverdien.

Svar: $v > 60 °$ når

k < \frac{- 12 + 10 \sqrt{3}}{13} \approx 0,41

Alternativ løsning med kalkulator (eksamen 2027)

Skalarproduktformelen setter vi opp for hånd:

\cos v = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{| \vec{a} | | \vec{b} |} = \frac{3 k + 2}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{k^{2} + 4}}

Siden $\cos v$ er avtagende på $⟨ 0 °, 180 ° ⟩$ , er $v > 60 °$ nøyaktig når $\cos v < \cos 60 ° = \frac{1}{2}$ . Vi finner grensetilfellet $\cos v = \frac{1}{2}$ :

\frac{3 k + 2}{\sqrt{10} \sqrt{k^{2} + 4}} = \frac{1}{2}

Vi kvadrerer begge sider:

\frac{{(3 k + 2)}^{2}}{10 (k^{2} + 4)} = \frac{1}{4}

4 {(3 k + 2)}^{2} = 10 (k^{2} + 4)

4 (9 k^{2} + 12 k + 4) = 10 k^{2} + 40

36 k^{2} + 48 k + 16 = 10 k^{2} + 40

26 k^{2} + 48 k - 24 = 0

Vi deler alle ledd på 2:

13 k^{2} + 24 k - 12 = 0

Dette løses med abc-formelen, med $a = 13$ , $b = 24$ og $c = - 12$ :

k = \frac{- 24 \pm \sqrt{24^{2} - 4 \cdot 13 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 13} = \frac{- 24 \pm \sqrt{576 + 624}}{26} = \frac{- 24 \pm \sqrt{1200}}{26}

Kalkulatoren gir $\sqrt{1200} \approx 34,64$ , altså

k \approx \frac{- 24 + 34,64}{26} \approx 0,409 eller k \approx \frac{- 24 - 34,64}{26} \approx - 2,255

Siden vi kvadrerte likningen, kan én av løsningene være falsk. Vi kontrollerer med kalkulatoren ved å regne ut $\cos v$ direkte for hver $k$ :

$k \approx 0,409$ : $\cos v = \frac{3 \cdot 0,409 + 2}{\sqrt{10} \sqrt{{0,409}^{2} + 4}} \approx 0,500$ — stemmer med $\cos 60 ° = 0,5$ .
$k \approx - 2,255$ : $\cos v = \frac{3 \cdot (- 2,255) + 2}{\sqrt{10} \sqrt{{(- 2,255)}^{2} + 4}} \approx - 0,500$ — dette gir $v = 120 °$ , ikke $60 °$ , så løsningen forkastes.

Grenseverdien er altså $k \approx 0,409$ . Setter vi inn en testverdi under grensen, f.eks. $k = 0$ , gir kalkulatoren $\cos v = \frac{2}{\sqrt{10} \sqrt{4}} \approx 0,316$ , som svarer til $v \approx 71,6 ° > 60 °$ . Det bekrefter at vinkelen er større enn $60 °$ for $k$ mindre enn grensen.

Samme svar som hovedløsningen:

k < \frac{- 12 + 10 \sqrt{3}}{13} \approx 0,41

Oppgavedata

Hentet fra: R1 V2022, del 2, oppgave 2
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Vektorer, Skalarprodukt, Ulikheter

Vektorparameter k med lineærkombinasjon og vinkel større enn 60 grader

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Vektorparameter k med lineærkombinasjon og vinkel større enn 60 grader

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Vektorparameter k med lineærkombinasjon og vinkel større enn 60 grader

Vektorparameter k med lineærkombinasjon og vinkel større enn 60 grader

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer