Trimdeltakelse modellert med to eksponentialledd
Lov på eksamen
- Kalkulator
- CAS
- Graftegner og regneark
- Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kan den løses uten PC?
Alle deloppgavene kan løses uten PC.
Fra 2027 er det bare kalkulator og skriftlige hjelpemidler på del 2. Vurderingen er gjort med KI og kan inneholde feil.
Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.
Du skal svare på enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene teller like mye ved vurderingen.
Alternativ II
Ledelsen i et idrettslag planlegger en ukentlig trim året igjennom. De regner med at antall deltakere vil følge modellen
Her er antall deltakere per uke uker etter den første trimuka. Det vil si at er antall deltakere den første uka, er antall deltakere den andre uka, og så videre.
Tegn grafen til . Hvor mange deltakere regner de med at det er den andre og den tiende uka?
Bestem når det ifølge modellen er deltakere. Bruk uttrykket til å forklare hva antall deltakere vil stabilisere seg på hvis modellen gjelder i lang tid.
Bestem ved regning i hvilken uke man kan regne med flest deltakere.
Hvor mange vil ha deltatt på trimmen i løpet av de første ukene?
Fasit
og deltakere
for og ; på lang sikt stabiliserer antallet seg på deltakere
Flest deltakere i uke (om lag deltakere)
Om lag deltakelser i løpet av de første ukene
LøsningsforslagKI-generert
Vi har modellen
der er antall uker etter den første trimuka. Det betyr at “den andre uka” tilsvarer , “den tiende uka” tilsvarer , og generelt tilsvarer “uke ” verdien .
Vi tegner grafen til digitalt.

Fra grafen (punktene markert på kurven) leser vi av
Siden svarer til den andre uka og svarer til den tiende uka, betyr dette at de regner med om lag deltakere den andre uka og om lag deltakere den tiende uka.
Løsning av : Vi tegner linja sammen med grafen til (se figuren over). Skjæringspunktene ligger ved
Modellen gir altså deltakere to ganger: én gang på vei opp, etter om lag uker (dvs. i den tredje trimuka), og én gang på vei ned igjen, etter om lag uker (dvs. i attende trimuka).
Stabiliseringsnivå: Vi ser på når blir stor:
Når går både og , siden eksponentene er negative og går mot . Dermed går
Hvis modellen gjelder i lang tid, vil altså antall deltakere .
Vi deriverer :
Vi setter :
Dette er et maksimumspunkt (grafen vokser før og avtar etter, se figuren). Siden må være et helt tall (antall uker), sammenlikner vi de to nærmeste ukene:
er størst, og svarer til uke . Man kan altså regne med flest deltakere i , med om lag deltakere.
Totalt antall deltakelser i løpet av de første ukene ( fra til ) finner vi ved å integrere over dette intervallet:
Dette gir omtrent i løpet av de første ukene (summen av antall deltakere hver uke, tilnærmet med integralet av modellen).